سلسلة تمارين التعامد والتوازي

تمرين عدد 1:
(1)
أ- ارسم قطعة مستقيم $[AB]$ حيث $AB = 6\text{ cm}$ وعين عليها النقطة $M$ بحيث $AM = 3\text{ cm}$.
ب- ابن المستقيم $\Delta$ المار من $M$ والعمودي على $(AB)$.
ج- بين أن $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.
(2)
أ- ابن المستقيم $\Delta'$ العمودي على $(AB)$ والمار من $A$.
ب- ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $\Delta'$؟ علل جوابك.
ج- ما هو المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستقيم $\Delta$؟ استنتج إذن البعد بين المستقيمين $\Delta$ و $\Delta'$.
1) ج- إثبات أن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[AB]$ :
بما أن $M \in [AB]$ و $AM = 3\text{ cm}$ و $AB = 6\text{ cm}$، فإن $M$ هي منتصف القطعة $[AB]$.
وبما أن $\Delta$ يمر من $M$ وعمودي على $(AB)$، فإن $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.
2) ب- الوضعية النسبية لـ $\Delta$ و $\Delta'$ :
لدينا $\Delta \perp (AB)$ و $\Delta' \perp (AB)$.
إذن $\Delta \parallel \Delta'$ (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان).
2) ج- المسقط العمودي والبعد :
المسقط العمودي للنقطة $A$ على $\Delta$ هو النقطة $M$.
البعد بين المستقيمين المتوازيين $\Delta$ و $\Delta'$ هو طول القطعة $[AM] = 3\text{ cm}$.
تمرين عدد 2:
(1) ابن مستقيمين متوازيين $D_1$ و $D_2$ بحيث يكون البعد بينهما $3\text{ cm}$.
(2) عين نقطة $A$ على $D_1$ ثم ابن المستقيم $D_3$ المار من $A$ والعمودي على $D_1$. بين أن $D_2$ و $D_3$ متعامدان.
(3) لتكن $B$ نقطة تقاطع المستقيمين $D_2$ و $D_3$. حدد $AB$ معلا جوابك.
(4) ابن $\Delta$ الموسط العمودي للقطعة $[AB]$. بين أن $\Delta$ و $D_1$ متوازيان و أن $\Delta$ و $D_2$ متوازيان.
(5) لتكن $C$ نقطة تقاطع المستقيمين $\Delta$ و $D_3$. حدد بعد النقطة $C$ عن كل من المستقيمين $D_1$ و $D_2$.
2) إثبات أن $D_2 \perp D_3$ :
لدينا $D_1 \parallel D_2$ و $D_3 \perp D_1$.
إذن $D_3 \perp D_2$ (كل مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
3) تحديد $AB$ :
بما أن $A \in D_1$ و $B \in D_2$ و $(AB) = D_3$ العمودي على كل من $D_1$ و $D_2$.
فإن $AB$ يمثل البعد بين المستقيمين المتوازيين $D_1$ و $D_2$.
إذن $AB = 3\text{ cm}$.
4) إثبات التوازي :
$\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$، إذن $\Delta \perp (AB)$ أي $\Delta \perp D_3$.
بما أن $D_1 \perp D_3$ و $\Delta \perp D_3$ فإن $\Delta \parallel D_1$.
وبنفس الطريقة، بما أن $D_2 \perp D_3$ و $\Delta \perp D_3$ فإن $\Delta \parallel D_2$.
5) بعد $C$ عن $D_1$ و $D_2$ :
النقطة $C$ هي تقاطع $\Delta$ و $D_3$، بالتالي $C$ هي منتصف القطعة $[AB]$.
بعد $C$ عن $D_1$ هو $CA = \frac{AB}{2} = 1,5\text{ cm}$.
بعد $C$ عن $D_2$ هو $CB = \frac{AB}{2} = 1,5\text{ cm}$.
تمرين عدد 3:
(1) ارسم مثلثا $ABC$ قائم الزاوية في $A$ حيث $AB = 3\text{ cm}$ و $AC = 4\text{ cm}$.
أ- ابن المستقيم $D$ المار من $C$ والعمودي على $(AC)$. بين أن $D$ و $(AB)$ متوازيان.
ب- حدد بعد النقطة $A$ عن المستقيم $D$ وبعد النقطة $B$ عن المستقيم $D$.
(2) ارسم المستقيم $D'$ المار من $B$ والموازي للمستقيم $(AC)$.
أ- أثبت أن $D$ و $D'$ متعامدان.
ب- حدد بعد النقطة $C$ عن المستقيم $D'$.
1) أ- إثبات أن $D \parallel (AB)$ :
المثلث $ABC$ قائم في $A$، إذن $(AB) \perp (AC)$.
لدينا $D \perp (AC)$ و $(AB) \perp (AC)$، إذن $D \parallel (AB)$.
1) ب- الأبعاد :
بعد $A$ عن $D$ هو المسافة $AC = 4\text{ cm}$.
بما أن $D \parallel (AB)$، فإن بعد $B$ عن $D$ يساوي بعد $A$ عن $D$ ويساوي $4\text{ cm}$.
2) أ- إثبات أن $D \perp D'$ :
لدينا $D' \parallel (AC)$ و $D \perp (AC)$.
إذن $D \perp D'$.
2) ب- بعد النقطة $C$ عن $D'$ :
بعد النقطة $C$ عن $D'$ هو المسافة $AB = 3\text{ cm}$.
تمرين عدد 4:

ارسم دائرة $\mathcal{C}$ مركزها $O$ وشعاعها $4\text{ cm}$، وليكن $[AB]$ قطرا لهذه الدائرة.

(1) ابن $D$ الموسط العمودي للقطعة $[AB]$. بين أن $O$ نقطة من $D$.
(2) المستقيم $D$ يقطع الدائرة $\mathcal{C}$ في النقطتين $E$ و $F$. برهن على أن $(AB)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.
(3) ابن المستقيم $D'$ المار من $A$ والموازي للمستقيم $D$. بين أن $D'$ و $(AB)$ متعامدان.
(4) ابن المستقيم $D''$ المار من $B$ والعمودي على $(AB)$. حدد بعد كل من النقطتين $E$ و $F$ عن المستقيم $D''$.
(5) ما هو البعد بين المستقيمين $D'$ و $D''$؟
1) إثبات أن $O \in D$ :
بما أن $[AB]$ قطر للدائرة $\mathcal{C}$ ذات المركز $O$، فإن $O$ هي منتصف القطعة $[AB]$.
الموسط العمودي للقطعة يمر حتماً من منتصفها، إذن $O \in D$.
2) إثبات أن $(AB)$ هو الموسط العمودي لـ $[EF]$ :
بما أن $E \in \mathcal{C}$ و $F \in \mathcal{C}$، فإن $OE = OF = 4\text{ cm}$ (شعاع الدائرة).
إذن $O$ ينتمي إلى الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.
وبما أن $D \perp (AB)$ والنقاط $O, E, F \in D$، فإن $(AB) \perp (EF)$ في منتصفها $O$.
بالتالي $(AB)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.
3) إثبات أن $D' \perp (AB)$ :
لدينا $D' \parallel D$ و $D \perp (AB)$، إذن $D' \perp (AB)$.
4) بعد $E$ و $F$ عن $D''$ :
$D'' \perp (AB)$ في $B$ و $D \perp (AB)$ في $O$، إذن $D'' \parallel D$.
بعد أي نقطة من $D$ عن $D''$ يساوي المسافة $OB = 4\text{ cm}$.
إذن بعد $E$ عن $D''$ هو $4\text{ cm}$، وبعد $F$ عن $D''$ هو $4\text{ cm}$.
5) البعد بين $D'$ و $D''$ :
$D'$ و $D''$ مستقيمان عموديان على $(AB)$ ويمران من طرفي القطر $A$ و $B$.
البعد بينهما هو $AB = 2 \times 4 = 8\text{ cm}$.
تمرين عدد 5: (وحدة القيس هي السنتيمتر)

ارسم مستطيلا $IJKL$ حيث $IJ = 4\text{ cm}$ و $IL = 3\text{ cm}$ وليكن $\Delta$ الموسط العمودي للضلع $[IJ]$.

(1) برهن على أن $\Delta$ عمودي على $[KL]$.
(2) لتكن $M$ منتصف $[IJ]$ و $N$ نقطة من المستوي بحيث يكون $(MN)$ عمودي على $(KL)$. بين أن $N$ نقطة من $\Delta$.
(3) برهن على أن $\Delta$ و $(IL)$ متوازيان و أن $\Delta$ و $(JK)$ متوازيان .
(4) حدد بعد النقطة $N$ عن كل من المستقيمين $(IL)$ و $(JK)$.
(5) لتكن $P$ نقطة تقاطع المستقيمين $\Delta$ و $(KL)$. بين أن $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[KL]$.
1) إثبات أن $\Delta \perp (KL)$ :
بما أن $IJKL$ مستطيل، فإن $(IJ) \parallel (KL)$.
بما أن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[IJ]$، فإن $\Delta \perp (IJ)$.
بالتالي $\Delta \perp (KL)$.
2) إثبات أن $N \in \Delta$ :
لدينا $(MN) \perp (KL)$ و $\Delta \perp (KL)$ مع $M \in \Delta$.
من نقطة واحدة $M$ يمر مستقيم واحد عمودي على $(KL)$، إذن المستقيم $(MN)$ هو نفسه $\Delta$.
بالتالي $N \in \Delta$.
3) إثبات التوازي :
بما أن $IJKL$ مستطيل، فإن $(IL) \perp (IJ)$ و $(JK) \perp (IJ)$.
وبما أن $\Delta \perp (IJ)$، فإن $\Delta \parallel (IL)$ و $\Delta \parallel (JK)$.
4) بعد النقطة $N$ :
بما أن $\Delta$ يمر من منتصف $IJ$ ومتوازي مع الضلعين المتواجهين، فإن بعد أي نقطة من $\Delta$ عن $(IL)$ يساوي $\frac{IJ}{2} = 2\text{ cm}$.
كذلك بعد $N$ عن $(JK)$ يساوي $\frac{IJ}{2} = 2\text{ cm}$.
5) إثبات أن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[KL]$ :
اثبتنا سابقاً أن $\Delta \perp (KL)$ في $P$.
وبما أن الرباعي $IMPL$ مستطيل فإن $LP = IM = 2\text{ cm}$، وحيث أن $KL = 4\text{ cm}$ فإن $P$ هي منتصف $[KL]$.
بالتالي $\Delta$ عمودي على $[KL]$ في منتصفها، فهو الموسط العمودي للقطعة $[KL]$.