سلسلة تمارين : الوضعية النسبية لدائرة و مستقيم

تمرين عدد 1:
(1) ارسم قطعة مستقيم $[AB]$ حيث $AB = 5\text{ cm}$.
ابن المستقيم $D$ الموسط العمودي للقطعة $[AB]$ و المستقيم $\Delta$ العمودي على $(AB)$ في $B$.
(2) حدد الوضعية النسبية للمستقيمين $D$ و $\Delta$.
احسب إذن البعد بين $D$ و $\Delta$.
(3)
أ. عين نقطة $I$ من $\Delta$ حيث $BI = 2\text{ cm}$. المستقيم $D$ يقطع $[AI]$ في النقطة $E$.
ب. إذا علمت أن $AE = 2,7\text{ cm}$ حدد $EB$.
(4)
أ. ارسم الدائرة $\mathcal{C}$ التي مركزها $I$ و شعاعها $2\text{ cm}$.
ب. حدد الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $(AB)$ معللا جوابك.
ج. حدد الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $D$ معللا جوابك.
1) Construction : الرسم يتم باتباع المعطيات المذكورة.
2) الوضعية النسبية لـ $D$ و $\Delta$ :
لدينا $D \perp (AB)$ و $\Delta \perp (AB)$.
إذن $D \parallel \Delta$ (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان).
البعد بين $D$ و $\Delta$ هو نصف طول القطعة $[AB]$، أي: $d(D, \Delta) = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2,5\text{ cm}$.
3) ب. حساب $EB$ :
بما أن $D$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$ و $E \in D$، فإن $EA = EB$.
وبما أن $AE = 2,7\text{ cm}$، فإن $EB = 2,7\text{ cm}$.
4) ب. الوضعية النسبية لـ $\mathcal{C}$ و $(AB)$ :
لدينا $\Delta \perp (AB)$ في $B$ و $I \in \Delta$ حيث $IB = 2\text{ cm}$.
إذن المسافة من $I$ إلى $(AB)$ هي $d(I, (AB)) = IB = 2\text{ cm}$.
بما أن المسافة تساوي شعاع الدائرة ($R = 2\text{ cm}$)، فإن المستقيم $(AB)$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $B$.
4) ج. الوضعية النسبية لـ $\mathcal{C}$ و $D$ :
المسافة بين $I$ والمستقيم $D$ هي البعد بين المستقيمين المتوازيين $D$ و $\Delta$ وتساوي $2,5\text{ cm}$.
بما أن $2,5\text{ cm} > 2\text{ cm}$ (أي $d(I, D) > R$)، فإن الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $D$ منفصلان (لا يتقاطعان).
تمرين عدد 2:

ارسم قطعة مستقيم $[AB]$ حيث $AB = 7\text{ cm}$ وعين عليها نقطة $I$ حيث $AI = 4\text{ cm}$.

(1) ابن المستقيم $\Delta$ المار من $I$ والعمودي على $(AB)$ ثم عين على $\Delta$ نقطة $E$ بحيث $IE = 2\text{ cm}$.
(2) ابن الدائرة $\mathcal{C}$ التي قطرها $[AI]$ و سم $O$ مركزها.
حدد الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $\Delta$ معللا جوابك.
(3) ابن المستقيم $D$ العمودي على $(BE)$ والمار من $E$.
حدد الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $D$ معللا جوابك.
(4) ابن المستقيم $D'$ المار من $E$ والعمودي على $\Delta$.
حدد الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $D'$ معللا جوابك.
1) Construction : الرسم يتم باستعمال المسطرة والبركار.
2) الوضعية النسبية لـ $\mathcal{C}$ و $\Delta$ :
مركز الدائرة $\mathcal{C}$ هو منتصف $[AI]$، إذن شعاعها هو $R = \frac{AI}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$.
بما أن $\Delta \perp (AB)$ في $I$، فإن المسافة من المركز $O$ إلى $\Delta$ هي $OI = \frac{AI}{2} = 2\text{ cm}$.
بما أن $d(O, \Delta) = R = 2\text{ cm}$، فإن المستقيم $\Delta$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $I$.
3) الوضعية النسبية لـ $\mathcal{C}$ و $D$ :
نلاحظ المسافة بين $O$ والمستقيم $D$ المقاطع.
4) الوضعية النسبية لـ $\mathcal{C}$ و $D'$ :
$D'$ يمر من $E$ وعمودي على $\Delta$. بما أن $\Delta \perp (AB)$، فإن $D' \parallel (AB)$.
المسافة بين $O$ و $D'$ تساوي طول $IE = 2\text{ cm}$.
بما أن $d(O, D') = R = 2\text{ cm}$، فإن المستقيم $D'$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$.
تمرين عدد 3:

ارسم دائرة $\mathcal{C}$ مركزها $O$ و شعاعها $4\text{ cm}$ و لتكن $A$ نقطة من $\mathcal{C}$.

(1) ابن $D$ المماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $A$.
(2) ابن $D'$ الموسط العمودي للقطعة $[OA]$.
ما هو البعد بين $D$ و $D'$ ؟
(3) حدد الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $D'$ معللا جوابك.
(4) المستقيم $D'$ يقطع $\mathcal{C}$ في $B$. بين أن $AB = AO$.
1) بناء المماس $D$ : نرسم العمودي على $(OA)$ في النقطة $A$.
2) البعد بين $D$ و $D'$ :
لدينا $D \perp (OA)$ و $D' \perp (OA)$، إذن $D \parallel D'$.
البعد بينهما هو المسافة بين منتصف $[OA]$ والنقطة $A$، وتساوي $\frac{OA}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$.
3) الوضعية النسبية لـ $\mathcal{C}$ و $D'$ :
المسافة من المركز $O$ إلى $D'$ هي $d(O, D') = \frac{OA}{2} = 2\text{ cm}$.
بما أن $d(O, D') = 2\text{ cm} < 4\text{ cm}$ (أي أصغر من الشعاع $R$)، فإن المستقيم $D'$ يقطع الدائرة $\mathcal{C}$ في نقطتين (مستقيم قاطع للدائرة).
4) إثبات أن $AB = AO$ :
بما أن $B$ نقطة من الدائرة $\mathcal{C}$، فإن $OB = OA = 4\text{ cm}$.
وبما أن $B \in D'$ و $D'$ هو الموسط العمودي لـ $[OA]$، فإن $BA = BO$.
بالتالي $AB = BO = OA = 4\text{ cm}$ (المثلث $OAB$ متقايس الأضلاع)، ومنه $AB = AO$.