المستقيمات المتوازية والمتعامدة

التمرين 01مستقيمان يعامدان نفس المستقيم

ابن مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(B\) حيث \(BC = 4\) و \(AB = 6\).

عيّن النقطة \(I\) من قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AI = 2{,}5\).

إظهار التصحيح

النقطة \(I\) تقع على \([AB]\) على بعد \(2{,}5\) من \(A\)، أي على بعد \(AB - AI = 6 - 2{,}5 = 3{,}5\) من \(B\).
ابن المستقيم العمودي على \((AB)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((AC)\) في \(J\).

إظهار التصحيح

نرسم المستقيم \((IJ)\) العمودي على \((AB)\) في \(I\) بالبناء، فيقطع الوتر \((AC)\) في النقطة \(J\).

\[(IJ) \perp (AB)\ \text{بالبناء}\]
ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((BC)\) و \((IJ)\)؟ علّل جوابك.

إظهار التصحيح

\((BC) \perp (AB)\) لأنّ الزاوية قائمة في \(B\)، و \((IJ) \perp (AB)\) بالبناء.

المستقيمان \((BC)\) و \((IJ)\) يعامدان نفس المستقيم \((AB)\)، إذن:

\[(BC) \perp (AB)\ \text{و}\ (IJ) \perp (AB) \Rightarrow (BC) \parallel (IJ)\]

التمرين 02إكمال بـ ∥ أو ⊥

بالاعتماد على الشكل المقابل، أكمل بـ \(\parallel\) (متوازيان) أو \(\perp\) (متعامدان) مع التعليل. في هذا الشكل: المستقيمات \((AB)\)، \((DF)\)، \((EH)\) متوازية فيما بينها، والمستقيم \((CG)\) عمودي عليها جميعًا.

\((EG)\ \dots\ (DF)\)

إظهار التصحيح

\((EG) \parallel (DF)\): كلا المستقيمين عمودي على \((CG)\)، ومستقيمان يعامدان نفس المستقيم متوازيان.
\((DF)\ \dots\ (CG)\)

إظهار التصحيح

\((DF) \perp (CG)\): يتقاطعان مكوّنَين زاوية قائمة، إذن هما متعامدان.
\((AB)\ \dots\ (EH)\)

إظهار التصحيح

\((AB) \parallel (EH)\): كلاهما عمودي على \((CG)\) → مستقيمان يعامدان نفس المستقيم متوازيان.
\((EH)\ \dots\ (CG)\)

إظهار التصحيح

\((EH) \perp (CG)\): يتقاطعان في \(G\) مكوّنَين زاوية قائمة، إذن هما متعامدان.
\((DF)\ \dots\ (AB)\)

إظهار التصحيح

\((DF) \parallel (AB)\): كلاهما عمودي على \((CG)\) → متوازيان.

التمرين 03إثبات التوازي باستعمال المؤسّط العمودي

ليكن \(ABC\) مثلَّثا.

ابن المؤسَّط العمودي لقطعة المستقيم \([AB]\) والذي يقطع \((AB)\) في \(I\) و \((BC)\) في \(J\).

إظهار التصحيح

المؤسَّط العمودي لـ \([AB]\) يمرّ بمنتصف \([AB]\) (النقطة \(I\)) ويكون عموديًا عليه، ثمّ نمدّده حتى يقطع \((BC)\) في \(J\).

\[(IJ) \perp (AB)\quad \text{و}\quad IA = IB\]
ابن المستقيم العمودي على المستقيم \((IJ)\) والمارّ من النقطة \(J\) والذي يقطع \((AC)\) في \(K\).

إظهار التصحيح

نرسم المستقيم \((JK)\) العمودي على \((IJ)\) في \(J\) بالبناء، فيقطع \((AC)\) في \(K\).

\[(JK) \perp (IJ)\ \text{بالبناء}\]
أثبت أنّ المستقيمين \((AB)\) و \((JK)\) متوازيان.

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (IJ)\) لأنّ \((IJ)\) هو المؤسَّط العمودي لـ \([AB]\)، و \((JK) \perp (IJ)\) بالبناء.

المستقيمان \((AB)\) و \((JK)\) يعامدان نفس المستقيم \((IJ)\)، إذن:

\[(AB) \perp (IJ)\ \text{و}\ (JK) \perp (IJ) \Rightarrow (AB) \parallel (JK)\]

⚠️ تصحيح: في الملفّ الأصلي طُلب إثبات \((AB) \parallel (IK)\). هذا خطأ — النقطة \(I\) لا تنتمي إلى المستقيم \((JK)\)، فالمستقيم \((IK)\) يختلف عن \((JK)\) وليس موازيًا لـ \((AB)\). المستقيم الموازي لـ \((AB)\) هو \((JK)\) وحده (تحقّقنا بالحساب: بإحداثيّات مثلًا \(A(0,0),B(6,0),C(2,5)\) نجد \(I(3,0),J(3,\tfrac{15}{4}),K(\tfrac{3}{2},\tfrac{15}{4})\)، فميل \((IK)\) يساوي \(-2{,}5 \neq 0\)).

التمرين 04دراسة طبيعة الرباعي AIJK

ليكن \(ABC\) مثلَّثا قائم الزاوية في \(A\)، و \(I\) منتصف \([AB]\).

أ) ابن المستقيم العمودي على \((AB)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((BC)\) في \(J\).

إظهار التصحيح

نرسم من \(I\) المستقيم \((IJ)\) العمودي على \((AB)\)، فيقطع \((BC)\) في \(J\).

\[(IJ) \perp (AB)\ \text{بالبناء}\]
ب) ابن المستقيم العمودي على \((IJ)\) في \(J\) والذي يقطع \((AC)\) في \(K\).

إظهار التصحيح

نرسم من \(J\) المستقيم \((JK)\) العمودي على \((IJ)\)، فيقطع \((AC)\) في \(K\).

\[(JK) \perp (IJ)\ \text{بالبناء}\]
أثبت أنّ المستقيمين \((AB)\) و \((JK)\) متوازيان.

إظهار التصحيح

\((IJ) \perp (AB)\) بالبناء و \((JK) \perp (IJ)\) بالبناء: المستقيمان \((AB)\) و \((JK)\) يعامدان نفس المستقيم \((IJ)\).

\[(AB) \perp (IJ)\ \text{و}\ (JK) \perp (IJ) \Rightarrow (AB) \parallel (JK)\]
أثبت أنّ المستقيمين \((KJ)\) و \((AK)\) متعامدان.

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (AC)\) لأنّ الزاوية قائمة في \(A\)، و \((JK) \parallel (AB)\).

مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عموديًا على الآخر، إذن \((JK) \perp (AC)\)، أي:

\[(KJ) \perp (AK)\]
ما هو نوع الرباعي \(AIJK\)؟ علّل جوابك.

إظهار التصحيح

في الرباعي \(AIJK\): \((AI) \parallel (KJ)\) و \((IJ) \parallel (AK)\) (كلّ زوج يعامد نفس المستقيم)، والزاوية قائمة في \(A\).

رباعي أضلاعه متوازية مثنى مثنى وفيه زاوية قائمة هو مستطيل.

\[AIJK\ \text{مستطيل}\]

التمرين 05أبعاد في مربَّع

ليكن \(ABCD\) مربَّعا مركزه \(O\) وطول ضلعه \(4\text{ صم}\). أكمل:

بعد النقطة \(A\) عن المستقيم \((BC)\) يساوي ........

إظهار التصحيح

في المربَّع \((AB) \perp (BC)\)، إذن المسقط العمودي للنقطة \(A\) على \((BC)\) هو \(B\).

\[d(A,(BC)) = AB = 4\text{ صم}\]
بعد النقطة \(A\) عن المستقيم \((AC)\) يساوي ........

إظهار التصحيح

النقطة \(A\) تنتمي إلى المستقيم \((AC)\) (وهو أحد قطري المربَّع)، وبعد نقطة عن مستقيم تنتمي إليه يساوي صفرًا.

\[d(A,(AC)) = 0\text{ صم}\]
بعد النقطة \(O\) عن المستقيم \((BC)\) يساوي ........

إظهار التصحيح

\(O\) مركز المربَّع، والمسقط العمودي لـ \(O\) على \((BC)\) هو منتصف \([BC]\). البعد يساوي نصف طول الضلع:

\[d(O,(BC)) = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\text{ صم}\]
بعد النقطة \(A\) عن المستقيم \((BD)\) يساوي طول قطعة المستقيم ........

إظهار التصحيح

في المربَّع القطران متعامدان: \((AC) \perp (BD)\)، ويتقاطعان في المركز \(O\). إذن المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BD)\) هو \(O\).

إذن البعد المطلوب هو طول القطعة \([AO]\)، أي نصف القطر \([AC]\).

\[d(A,(BD)) = AO = \dfrac{AC}{2}\]

التمرين 06مماسّان لدائرة عند طرفَي قطر

لتكن \((\mathcal{C})\) دائرة مركزها النقطة \(O\) و \([MN]\) قطرا لها.

ابن المماسّ \((\Delta)\) للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \(M\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) مماسّ في \(M\) للدائرة، إذن \((\Delta)\) عمودي على الشعاع \([OM]\)، أي \((\Delta) \perp (MN)\).
ابن المماسّ \((\Delta')\) للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \(N\).

إظهار التصحيح

\((\Delta')\) مماسّ في \(N\)، إذن \((\Delta') \perp [ON]\)، أي \((\Delta') \perp (MN)\).
أثبت أنّ \((\Delta') \parallel (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (MN)\) و \((\Delta') \perp (MN)\): مستقيمان يعامدان نفس المستقيم \((MN)\).
\[(\Delta)\perp(MN)\ \text{و}\ (\Delta')\perp(MN)\Rightarrow (\Delta)\parallel(\Delta')\]

التمرين 07مستقيمات متوازية ومؤسّط عمودي

ارسم مستقيمين \((D)\) و \((\Delta)\) متعامدين في نقطة \(A\).

عيّن على \((\Delta)\) نقطة \(B\) حيث \(AB = 3\text{ صم}\)، وارسم \((D')\) المارّ من \(B\) والعمودي على \((\Delta)\). بيّن أنّ \((D)\) و \((D')\) متوازيان.

إظهار التصحيح

\((D) \perp (\Delta)\) و \((D') \perp (\Delta)\): مستقيمان يعامدان نفس المستقيم \((\Delta)\)، إذن \((D) \parallel (D')\).
ارسم \((D'')\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\). بيّن أنّ \((D'') \parallel (D)\) و \((D'') \parallel (D')\).

إظهار التصحيح

\([AB] \subset (\Delta)\) و \((D'')\) مؤسّط \([AB]\) إذن \((D'') \perp (\Delta)\)، ومنه \((D'') \parallel (D)\) و \((D'') \parallel (D')\).
لتكن \(I\) نقطة تقاطع \((D'')\) و \((\Delta)\). أوجد \(IA\) و \(IB\).

إظهار التصحيح

\((D'')\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\) يقطع \((\Delta)\) في منتصف \([AB]\)، إذن \(I\) منتصف \([AB]\).
\[IA = IB = \dfrac{AB}{2} = 1{,}5\text{ صم}\]

التمرين 08طبيعة الرباعي BAIE

ارسم مثلَّثا \(BUT\) قائم الزاوية في \(B\) حيث \(BT = 4\) و \(BU = 6\).

عيّن \(A\) من \([BU]\) حيث \(UA = 2{,}5\).

إظهار التصحيح

\(A\) نقطة من \([BU]\) على بعد \(2{,}5\) من \(U\)، أي على بعد \(6 - 2{,}5 = 3{,}5\) من \(B\).
ابن المستقيم العمودي على \((BU)\) المارّ من \(A\) والذي يقطع \((UT)\) في \(I\). أثبت أنّ \((IA) \parallel (BT)\).

إظهار التصحيح

\((BT) \perp (BU)\) (الزاوية قائمة في \(B\)) و \((AI) \perp (BU)\) بالبناء، إذن \((IA) \parallel (BT)\).
ابن المستقيم العمودي على \((BT)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((BT)\) في \(E\). أثبت أنّ \((IE) \perp (IA)\).

إظهار التصحيح

\((IE) \perp (BT)\) بالبناء و \((IA) \parallel (BT)\)، ومستقيم عمودي على أحد متوازيين يكون عموديًا على الآخر، إذن \((IE) \perp (IA)\).
ما هي طبيعة الرباعي \(BAIE\)؟ علّل جوابك.

إظهار التصحيح

نبيّن أنّ زوايا الرباعي \(BAIE\) الأربع قائمة. الزاوية في \(B\) : الضلعان \([BA]\) و \([BE]\) يحملهما \((BU)\) و \((BT)\)، وهما متعامدان لأنّ المثلَّث \(BUT\) قائم الزاوية في \(B\). الزاوية في \(A\) : \((AI) \perp (BU)\) بالبناء، و \([AB]\) يحمله \((BU)\). الزاوية في \(I\) : \((IE) \perp (IA)\) (السؤال السابق). الزاوية في \(E\) : \((IE) \perp (BT)\) بالبناء، و \([EB]\) يحمله \((BT)\). ورباعيٌّ زواياه الأربع قائمة هو مستطيل.
\[BAIE\ \text{مستطيل}\]

التمرين 09مثلَّث قائم: توازٍ وتعامد

ارسم مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\text{ صم}\).

ارسم المستقيم \((\Delta)\) المارّ من \(C\) والعمودي على \((AC)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AB)\).

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (AC)\) (الزاوية قائمة في \(A\)) و \((\Delta) \perp (AC)\) بالبناء: مستقيمان يعامدان \((AC)\)، إذن \((\Delta) \parallel (AB)\).
ارسم المستقيم \((\Delta')\) المارّ من \(B\) والموازي للمستقيم \((AC)\). بيّن أنّ \((\Delta') \perp (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta') \parallel (AC)\) و \((AB) \perp (AC)\) إذن \((\Delta') \perp (AB)\)، وبما أنّ \((\Delta) \parallel (AB)\) فإنّ \((\Delta') \perp (\Delta)\).

التمرين 10مستطيل ومؤسّطات عمودية

ارسم مستطيلا \(ABCD\) حيث \(AB = 7\) و \(AD = 4\).

ابن المؤسّط العمودي \((\Delta)\) لقطعة المستقيم \([AC]\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) يمرّ بمنتصف \([AC]\) وهو عمودي عليه.
عيّن \(F\) حيث \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([BF]\)، و \(G\) حيث \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([GD]\).

إظهار التصحيح

\(F\) هو مناظر \(B\) و \(G\) هو مناظر \(D\) بالنسبة إلى \((\Delta)\)، وبالتالي \((\Delta) \perp (BF)\) و \((\Delta) \perp (DG)\).
أثبت أنّ \((BF) \parallel (DG)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (BF)\) و \((\Delta) \perp (AC)\) إذن \((BF) \parallel (AC)\)؛ وكذلك \((DG) \parallel (AC)\).
\[(BF)\parallel(AC)\ \text{و}\ (DG)\parallel(AC)\Rightarrow (BF)\parallel(DG)\]

التمرين 11المؤسّط العمودي لـ [AB]

ارسم مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\).

عيّن النقطة \(M\) منتصف \([AB]\).

إظهار التصحيح

\(M\) هي منتصف \([AB]\)، أي \(MA = MB\).
ارسم المستقيم \((\Delta)\) المارّ من \(M\) والعمودي على \((AB)\). ماذا يمثّل \((\Delta)\) بالنسبة لـ \([AB]\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) يمرّ بمنتصف \([AB]\) وهو عمودي عليه، والشرطان معًا يعرّفان المؤسّط العمودي.
\[(\Delta) = \text{المؤسّط العمودي لـ } [AB]\]

التمرين 12المؤسّط العمودي يقطع (BC)

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\)، والمستقيم \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\) يقطع \((AB)\) في \(M\) و \((BC)\) في \(N\).

بيّن أنّ \(NA = NB\).

إظهار التصحيح

\(N \in (\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، وكلّ نقطة من المؤسّط العمودي متساوية البعد عن طرفَي القطعة، إذن \(NA = NB\).
تحقّق أنّ \(N\) منتصف \([BC]\).

إظهار التصحيح

بما أنّ المثلّث قائم في \(A\): \(NA = NB\) و \(N\) على \((BC)\)، ونستنتج \(NA = NB = NC\) (مركز الدائرة المحيطة بمثلّث قائم هو منتصف الوتر)، إذن \(N\) منتصف \([BC]\).
عيّن \(P\) منتصف \([AC]\) وبيّن أنّ \((NP)\) مؤسّط عمودي لـ \([AC]\).

إظهار التصحيح

\(NA = NC\) إذن \(N\) على مؤسّط \([AC]\)، و \(P\) منتصف \([AC]\)، والمستقيم \((NP)\) عمودي على \((AC)\) في منتصفه، إذن هو المؤسّط العمودي لـ \([AC]\).
بيّن أنّ \((NP) \parallel (AB)\).

إظهار التصحيح

\((NP) \perp (AC)\) و \((AB) \perp (AC)\): مستقيمان يعامدان \((AC)\)، إذن \((NP) \parallel (AB)\).

التمرين 13مماسّا دائرة في معيَّن

ارسم معيَّنا \(ABCD\) مركزه \(K\) حيث \(AC = 6\text{ صم}\) و \(BD = 8\text{ صم}\).

أثبت أنّ \((BD)\) مماسّ للدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(A\) وشعاعها \(3\text{ صم}\) في النقطة \(K\).

إظهار التصحيح

\(AK = \dfrac{AC}{2} = 3 = \) الشعاع، إذن \(K \in (\mathcal{C})\). وفي المعيَّن القطران متعامدان: \((AC) \perp (BD)\) أي \([AK] \perp (BD)\)، إذن \((BD)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(K\).
أثبت أنّ \((AC)\) مماسّ للدائرة \((\mathcal{C}')\) التي مركزها \(B\) وشعاعها \(4\text{ صم}\) في النقطة \(K\).

إظهار التصحيح

\(BK = \dfrac{BD}{2} = 4 = \) الشعاع، إذن \(K \in (\mathcal{C}')\). و \([BK] \perp (AC)\)، إذن \((AC)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C}')\) في \(K\).

التمرين 14تقاطع المؤسّطات العمودية الثلاثة

مستقيمان \((\Delta)\) و \((\Delta')\) يتقاطعان في \(O\). عيّن نقطة \(A\) بحيث \(A \notin (\Delta)\) و \(A \notin (\Delta')\).

ابن \(B\) حيث \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([AB]\).

إظهار التصحيح

\(B\) هو مناظر \(A\) بالنسبة إلى \((\Delta)\). وبما أنّ \(O \in (\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، فإنّ \(OA = OB\).
عيّن \(C\) حيث \((\Delta')\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).

إظهار التصحيح

\(C\) هو مناظر \(B\) بالنسبة إلى \((\Delta')\). وبما أنّ \(O \in (\Delta')\)، فإنّ \(OB = OC\).
ارسم \((\Delta'')\) المؤسّط العمودي لـ \([AC]\). ماذا تلاحظ؟ علّل.

إظهار التصحيح

\(OA = OB\) و \(OB = OC\) إذن \(OA = OC\)، أي \(O\) ينتمي إلى المؤسّط العمودي لـ \([AC]\).
\[OA = OB = OC \Rightarrow O \in (\Delta'')\]
الملاحظة: المؤسّطات العمودية الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة \(O\).

التمرين 15المؤسّط العمودي وبُعد النقطة

ارسم قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 8\text{ صم}\).

ارسم النقطة \(M\) على بعد \(4\text{ صم}\) من \(A\) ومن \(B\). ماذا تمثّل \(M\) بالنسبة لـ \([AB]\)؟

إظهار التصحيح

\(MA = MB = 4 = \dfrac{AB}{2}\)، إذن \(M\) هي منتصف \([AB]\).
ارسم \((\Delta)\) المارّ من \(M\) والعمودي على \((AB)\). ماذا يمثّل \((\Delta)\) لـ \([AB]\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AB)\) في المنتصف \(M\)، إذن \((\Delta)\) هو المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).
عيّن \(C\) على \((\Delta)\) حيث \(MC = 3\text{ صم}\)، و \(C'\) مناظر \(C\) بالنسبة إلى \((AB)\). بيّن أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([CC']\).

إظهار التصحيح

\(MC = MC' = 3\) و \((AB) \perp (CC')\) في المنتصف \(M\)، إذن \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([CC']\).
أوجد بعد \(A\) عن \((\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) عمودي على \((AB)\) في \(M\)، إذن بعد \(A\) عن \((\Delta)\) يساوي \(AM = \dfrac{AB}{2} = 4\text{ صم}\).

التمرين 16المربَّع والمؤسّط العمودي للقطر

نعتبر مربَّعا \(ABCD\) ضلعه \(3\text{ صم}\) ومركزه \(O\).

تحقّق أنّ \((AC) \perp (BD)\).

إظهار التصحيح

في المربَّع القطران متعامدان، إذن \((AC) \perp (BD)\).
بيّن أنّ \(O\) منتصف \([BD]\).

إظهار التصحيح

في المربَّع القطران يتناصفان، إذن \(O\) منتصف \([BD]\) (وأيضًا منتصف \([AC]\)).
استنتج أنّ \((AC)\) مؤسّط عمودي لـ \([BD]\).

إظهار التصحيح

\((AC) \perp (BD)\) و \(O\) منتصف \([BD]\) و \(O \in (AC)\)، إذن \((AC)\) مؤسّط عمودي لـ \([BD]\).
ابن \((\Delta)\) المارّ من \(B\) والعمودي على \((BD)\). بيّن أنّ \((AC) \parallel (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((AC) \perp (BD)\) و \((\Delta) \perp (BD)\): مستقيمان يعامدان \((BD)\)، إذن \((AC) \parallel (\Delta)\).

التمرين 17أبعاد في مثلَّث قائم

ارسم مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\text{ صم}\) و \(AC = 4\text{ صم}\) و \(BC = 5\text{ صم}\).

أوجد بعد \(B\) عن \((AC)\) وبعد \(C\) عن \((AB)\).

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (AC)\)، إذن بعد \(B\) عن \((AC)\) هو \(AB = 3\text{ صم}\)، وبعد \(C\) عن \((AB)\) هو \(AC = 4\text{ صم}\).
أحسب بعد \(A\) عن \((BC)\).

إظهار التصحيح

نسمّي \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\)؛ البعد المطلوب هو \(AH\).

نحسب مساحة المثلّث \(ABC\) بطريقتين:

\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)

\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times BC \times AH = \dfrac{1}{2} \times 5 \times AH\)

إذن \(AH = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\text{ صم}\) (قيمة مضبوطة).
ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\). بيّن أنّ \((AC) \parallel (\Delta)\) ثمّ احسب بعد \(A\) و \(B\) و \(C\) عن \((\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((AC) \perp (AB)\) و \((\Delta) \perp (AB)\) إذن \((AC) \parallel (\Delta)\).
بعد \(A\) = بعد \(B\) = \(\dfrac{AB}{2} = 1{,}5\text{ صم}\). وبما أنّ \((AC) \parallel (\Delta)\)، فكلّ نقاط \((AC)\) — ومنها \(C\) — على نفس البُعد الثابت عن \((\Delta)\)، أي بعد \(C = 1{,}5\text{ صم}\) أيضًا.
⚠️ تصحيح: الملف الأصلي يذكر «بعد C = 4 صم»، وهذا خطأ (خلط مع بعد \(C\) عن \((AB)\) الذي يساوي 4). بما أنّ \((AC) \parallel (\Delta)\) فالبعد ثابت ويساوي \(1{,}5\text{ صم}\) لكلّ نقاط \((AC)\). تحقّقنا بالحساب.

التمرين 18نقاط على استقامة ومؤسّط عمودي

النقاط \(A\)، \(C\)، \(D\)، \(B\) على استقامة واحدة، حيث \(AC = CD = DB = 2\text{ صم}\)، و \(I\) منتصف \([CD]\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([CD]\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) عمودي على المستقيم في منتصف \([CD]\) وهو النقطة \(I\).
برهن أنّ \(I\) منتصف \([AB]\) أيضًا.

إظهار التصحيح

\(AI = AC + CI = 2 + 1 = 3\text{ صم}\) و \(IB = ID + DB = 1 + 2 = 3\text{ صم}\)، إذن \(AI = IB\) أي \(I\) منتصف \([AB]\).
ما هو المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)؟ علّل.

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) عمودي على المستقيم في \(I\) و \(I\) منتصف \([AB]\)، إذن \((\Delta)\) هو أيضًا المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).

التمرين 19مستطيل ومؤسّط عمودي

ارسم مستطيلا \(ABCD\) حيث \(AB = 4\) و \(AD = 3\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي للضلع \([AB]\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) عمودي على \((AB)\) في منتصفه \(M\).
برهن أنّ \((CD) \perp (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AB)\) و \((AB) \parallel (CD)\) (مستطيل)، إذن \((CD) \perp (\Delta)\).

التمرين 20خصائص المستطيل والمؤسّط

في مستطيل \(ABCD\) حيث \(AB = 4\) و \(AD = 3\)، \(M\) منتصف \([AB]\) و \((MN) \perp (CD)\).

بيّن أنّ \(N \in (\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).

إظهار التصحيح

\((MN) \perp (CD)\) و \((AB) \parallel (CD)\) إذن \((MN) \perp (AB)\)، و \(M\) منتصف \([AB]\)، فـ \((MN)\) هو المؤسّط العمودي \((\Delta)\) لـ \([AB]\)، ومنه \(N \in (\Delta)\).
بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta) \parallel (BC)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (AB)\) إذن \((\Delta) \parallel (AD)\)، وكذلك \((\Delta) \parallel (BC)\).
حدّد بعد \(N\) عن \((AD)\) و \((BC)\).

إظهار التصحيح

\(N\) على \((\Delta)\) في منتصف المستطيل، إذن بعد \(N\) عن \((AD)\) = بعد \(N\) عن \((BC)\) = \(\dfrac{AB}{2} = 2\text{ صم}\).

التمرين 21دائرة تقطع مستقيما

النقطة \(O\) لا تنتمي إلى المستقيم \((\Delta)\). دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) تقطع \((\Delta)\) في \(A\) و \(B\).

بيّن أنّ \(O\) ينتمي إلى المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).

إظهار التصحيح

\(OA = OB\) (شعاعا نفس الدائرة)، إذن \(O\) على المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).
لتكن \(M\) منتصف \([AB]\). اثبت أنّ \((OM) \perp (AB)\).

إظهار التصحيح

\(O\) و \(M\) على المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، إذن \((OM)\) هو المؤسّط العمودي ومنه \((OM) \perp (AB)\).
\((OM)\) يقطع الدائرة في \(C\). بيّن أنّ \(CA = CB\).

إظهار التصحيح

\(C \in (OM)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، إذن \(CA = CB\).

التمرين 22قطر ومؤسّط عمودي وبُعد المماسَّين

دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\)، و \([AB]\) قطر لها.

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\). بيّن أنّ \(O \in (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\(O\) منتصف \([AB]\) و \((\Delta) \perp (AB)\) في \(O\)، إذن \(O \in (\Delta)\).
\((\Delta)\) يقطع الدائرة في \(E\) و \(F\). اثبت أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([EF]\).

إظهار التصحيح

\(OE = OF\) (شعاعان) و \((AB) \perp (EF)\) في \(O\) منتصف \([EF]\)، إذن \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([EF]\).
ما البعد بين المماسّ \((\Delta')\) في \(A\) والمماسّ \((\Delta'')\) في \(B\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta') \perp (AB)\) و \((\Delta'') \perp (AB)\) إذن \((\Delta') \parallel (\Delta'')\)، والبعد بينهما \(= AB = 2 \times 3 = 6\text{ صم}\).

التمرين 23مؤسّط نصف قطر ومماس

\(A\) نقطة من الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([OA]\) والذي يقطع \((\mathcal{C})\) في \(B\) و \(C\). بيّن أنّ \(AB = 3\).

إظهار التصحيح

\(B \in (\Delta)\) مؤسّط \([OA]\) إذن \(OB = AB\)، و \(B\) على الدائرة إذن \(OB = 3\)، ومنه \(AB = 3\text{ صم}\).
بيّن أنّ \((OA)\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).

إظهار التصحيح

\(OB = OC = 3\) (شعاعان) و \(AB = AC = 3\)، إذن \(O\) و \(A\) على مؤسّط \([BC]\)، أي \((OA)\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).
ابن \((\Delta')\) المماسّ في \(A\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (OA)\) (مؤسّط \([OA]\)) و \((\Delta') \perp (OA)\) (مماسّ في \(A\))، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

التمرين 24أبعاد وتوازٍ عموديّان

ليكن \((D)\) مستقيمًا و \(A\) نقطة على بعد \(1\) وحدة منه، و \((\Delta)\) المارّ من \(A\) والعمودي على \((D)\).

عيّن \(B\) على \((D)\) يبعد \(2\) عن \((\Delta)\)، ثمّ \(C\) حيث \(B\) منتصف \([AC]\).

إظهار التصحيح

\(B\) على \((D)\) على بعد \(2\) من \((\Delta)\)، و \(C\) هو مناظر \(A\) بالنسبة إلى \(B\) (لأنّ \(B\) منتصف \([AC]\)).
ارسم \((\Delta')\) المارّ من \(C\) والعمودي على \((D)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (D)\) و \((\Delta') \perp (D)\): مستقيمان يعامدان \((D)\)، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\).
أعط بعد \(C\) عن \((\Delta)\).

إظهار التصحيح

\(B\) منتصف \([AC]\) وبعد \(B\) عن \((\Delta)\) يساوي \(2\)، فبالتناظر بعد \(C\) عن \((\Delta)\) يساوي \(2 \times 2 = 4\) وحدات.

التمرين 25مؤسّط نصف القطر (2)

\(A\) نقطة من الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([OA]\) والذي يقطع \((\mathcal{C})\) في \(B\) و \(C\). بيّن أنّ \(AB = 3\text{ صم}\).

إظهار التصحيح

\(B \in (\Delta)\) مؤسّط \([OA]\) إذن \(OB = AB\)، و \(OB = 3\) (شعاع)، ومنه \(AB = 3\text{ صم}\).
بيّن أنّ \((OA)\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).

إظهار التصحيح

\(OB = OC = 3\) و \(AB = AC = 3\)، إذن \(O\) و \(A\) على مؤسّط \([BC]\)، أي \((OA)\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).
ابن \((\Delta')\) المماسّ في \(A\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (OA)\) و \((\Delta') \perp (OA)\)، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

التمرين 26دائرة قطرها [AB] وزاوية قائمة

نعتبر قطعة المستقيم \([AB]\)، وارسم الدائرة \((\mathcal{C})\) التي قطرها \([AB]\) ومركزها \(O\).

عيّن \(M\) على \((\mathcal{C})\) غير \(A\) و \(B\). ارسم \((AM)\) و \((BM)\) وتحقّق أنهما متعامدان.

إظهار التصحيح

\(M\) على دائرة قطرها \([AB]\)، فالزاوية \(\widehat{AMB}\) قائمة، إذن \((AM) \perp (BM)\).
ابن \((\Delta)\) المارّ من \(O\) والعمودي على \((AM)\). برهن أنّ \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([AM]\).

إظهار التصحيح

\(OA = OM\) (شعاعان) إذن \(O\) على مؤسّط \([AM]\)، و \((\Delta) \perp (AM)\) تمرّ من \(O\)، إذن \((\Delta)\) هو المؤسّط العمودي لـ \([AM]\).

التمرين 27مؤسّط عمودي وتوازٍ

ارسم قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 6\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\) يقطعه في \(M\). بيّن أنّ \(M\) منتصف \([AB]\) واحسب \(MB\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) مؤسّط \([AB]\) يقطعه في منتصفه \(M\)، إذن \(MB = \dfrac{AB}{2} = 3\text{ صم}\).
ابن \((D)\) المارّ من \(B\) والعمودي على \((AB)\). بيّن أنّ \((D) \parallel (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((D) \perp (AB)\) و \((\Delta) \perp (AB)\): مستقيمان يعامدان \((AB)\)، إذن \((D) \parallel (\Delta)\).
عيّن \(N\) على \((D)\) حيث \(BN = 3\)، و \(I\) منتصف \([MN]\). بيّن أنّ \((BI)\) مؤسّط عمودي لـ \([MN]\).

إظهار التصحيح

\(BM = BN = 3\) إذن \(B\) على مؤسّط \([MN]\)، و \(I\) منتصف \([MN]\)، إذن \((BI)\) مؤسّط عمودي لـ \([MN]\).

التمرين 28مستطيل: أبعاد وتوازٍ

ارسم مستطيلا \(ABCD\) طوله \(AB = 5\) وعرضه \(AD = 2\).

\(I\) منتصف \([AB]\). ابن \((IJ) \perp (CD)\). بيّن أنّ \((IJ) \perp (AB)\) و \((IJ) \parallel (BC)\).

إظهار التصحيح

\((IJ) \perp (CD)\) و \((AB) \parallel (CD)\) إذن \((IJ) \perp (AB)\)؛ و \((IJ) \perp (AB)\) و \((BC) \perp (AB)\) إذن \((IJ) \parallel (BC)\).
\(M\) منتصف \([IJ]\). ابن \((\Delta)\) من \(M\) موازٍ لـ \((AB)\). بيّن أنّ \((\Delta) \perp (AD)\) و \((\Delta) \parallel (CD)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \parallel (AB)\) و \((AD) \perp (AB)\) إذن \((\Delta) \perp (AD)\)؛ و \((\Delta) \parallel (AB) \parallel (CD)\) إذن \((\Delta) \parallel (CD)\).

التمرين 29مثلَّث قائم ودوائر متماسّة

مثلَّث \(ABH\) قائم الزاوية في \(H\) حيث \(AB = 5\) و \(AH = 3\text{ صم}\) (ومنه \(BH = 4\)).

ارسم الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(A\) وشعاعها \(3\). اثبت أنّ \((BH)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(H\).

إظهار التصحيح

\(AH = 3 = \) الشعاع إذن \(H \in (\mathcal{C})\)، و \((BH) \perp (AH)\) (الزاوية قائمة في \(H\))، إذن \((BH)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(H\).
ارسم \((\mathcal{C}')\) مركزها \(B\) وشعاعها \(2\). بيّن أنّ \((\mathcal{C})\) و \((\mathcal{C}')\) متماسّتان خارجيا.

إظهار التصحيح

\(AB = 5 = 3 + 2 = \) مجموع الشعاعين، إذن الدائرتان متماسّتان خارجيا.
ارسم \((\mathcal{C}'')\) قطرها \([AB]\). تحقّق أنها تمرّ من \(H\).

إظهار التصحيح

الزاوية \(\widehat{AHB}\) قائمة، إذن \(H\) على الدائرة التي قطرها \([AB]\).

التمرين 30مؤسّط عمودي ومحيط

ارسم قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 6\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، وعيّن \(E\) على \((\Delta)\) حيث \(AE = 5\text{ صم}\). احسب محيط المثلَّث \(AEB\).

إظهار التصحيح

\(E\) على المؤسّط العمودي لـ \([AB]\) إذن \(EA = EB = 5\).
\[\text{المحيط} = EA + EB + AB = 5 + 5 + 6 = 16\text{ صم}\]
ابن \((\Delta')\) المارّ من \(A\) والعمودي على \((AB)\). ما الوضعية النسبية لـ \((\Delta)\) و \((\Delta')\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AB)\) و \((\Delta') \perp (AB)\): مستقيمان يعامدان \((AB)\)، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

التمرين 31إثبات المؤسّط العمودي بالمتساويَين

ارسم \([AB]\) حيث \(AB = 5\text{ صم}\)، ثمّ \(E\) حيث \(EA = EB = 3\text{ صم}\) و \(F\) حيث \(FA = FB = 4\text{ صم}\).

بيّن أنّ \((EF)\) مؤسّط عمودي لـ \([AB]\).

إظهار التصحيح

\(EA = EB\) و \(FA = FB\)، إذن \(E\) و \(F\) على مؤسّط \([AB]\)، أي \((EF)\) هو المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).
ابن \((\Delta)\) من \(A\) عمودي على \((AB)\). ما علاقة \((\Delta)\) و \((EF)\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AB)\) و \((EF) \perp (AB)\)، إذن \((\Delta) \parallel (EF)\).
عيّن \(C\) و \(I\) على المستقيم \((AB)\) حيث \(A\) منتصف \([CI]\). بيّن أنّ \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([CI]\).

إظهار التصحيح

\(A\) منتصف \([CI]\) و \((\Delta) \perp (AB) = (CI)\) في \(A\)، إذن \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([CI]\).

التمرين 32مثلَّث قائم ومؤسّط عمودي لضلع

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) من \(C\) عمودي على \((AC)\). بيّن أنّ \((AB) \parallel (\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (AC)\) و \((\Delta) \perp (AC)\)، إذن \((AB) \parallel (\Delta)\).
ما بعد \(B\) عن \((\Delta)\)؟

إظهار التصحيح

\((AB) \parallel (\Delta)\) والبعد بينهما يساوي \(AC = 4\)، إذن بعد \(B\) عن \((\Delta)\) هو \(4\text{ صم}\).
ليكن \(O\) منتصف \([AC]\)، وارسم \((\Delta')\) المارّ من \(O\) والموازي لـ \((\Delta)\). بيّن أنّ \((\Delta') \perp (AC)\) واستنتج أنّه مؤسّط عمودي لـ \([AC]\).

إظهار التصحيح

\((\Delta') \parallel (\Delta)\) و \((\Delta) \perp (AC)\) إذن \((\Delta') \perp (AC)\)، و \(O\) منتصف \([AC]\)، إذن \((\Delta')\) مؤسّط عمودي لـ \([AC]\).

التمرين 33مؤسّط عمودي لضلع ودائرة مماسة

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\text{ صم}\).

\((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AC]\) يقطع \((BC)\) في \(I\) و \([AC]\) في \(J\). اثبت أنّ \(IA = IC\).

إظهار التصحيح

\(I \in (\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AC]\)، إذن \(IA = IC\).
لتكن \((\mathcal{C})\) الدائرة \((C\,;\,CJ)\). ما وضعية \((\Delta)\) و \((\mathcal{C})\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AC)\) في \(J\) و \(CJ = \) الشعاع، إذن \((\Delta)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(J\).
\(M\) مسقط \(I\) العمودي على \((AB)\). بيّن أنّ \((IM) \parallel (AC)\).

إظهار التصحيح

\((IM) \perp (AB)\) و \((AC) \perp (AB)\)، إذن \((IM) \parallel (AC)\).

التمرين 34مستطيل: توازٍ وأبعاد ومؤسّط

مستطيل \(ABCD\) حيث \(AB = 5\) و \(AD = 3\). \(M\) نقطة من المستقيم \((CD)\) حيث \(DM = 7\).

ابن \((\Delta)\) من \(M\) عمودي على \((CD)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta) \perp (AB)\)، وأوجد البعد بين \((\Delta)\) و \((AD)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (CD)\) و \((AD) \perp (CD)\) إذن \((\Delta) \parallel (AD)\)؛ و \((AD) \perp (AB)\) إذن \((\Delta) \perp (AB)\). البعد بين \((\Delta)\) و \((AD)\) يساوي \(DM = 7\) وحدات.
عيّن \(N\) حيث \(A\) منتصف \([DN]\). بيّن أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([DN]\).

إظهار التصحيح

\(A\) منتصف \([DN]\) و \((AB) \perp (DN)\) (لأنّ \((AD) \perp (AB)\))، إذن \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([DN]\).

التمرين 35مستطيل: توازٍ وأبعاد (2)

مستطيل \(ABCD\) حيث \(AB = 5\) و \(AD = 3\) (صياغة أخرى للتمرين 34).

ابن \((\Delta)\) العمودي على \((AB)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta) \perp (AB)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (AB)\)، إذن \((\Delta) \parallel (AD)\).
عيّن \(N\) حيث \(A\) منتصف \([DN]\). بيّن أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([DN]\).

إظهار التصحيح

\(A\) منتصف \([DN]\) و \((AB) \perp (DN)\)، إذن \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([DN]\).
ابن \(P\) من \((NB)\) متساوية البعد عن \(A\) و \(B\).

إظهار التصحيح

\(P\) هي نقطة تقاطع المستقيم \((NB)\) مع المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، فتكون \(PA = PB\).

التمرين 36مثلَّث قائم: أبعاد وتوازٍ وتعامد

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\)، \(AC = 4\)، \(BC = 5\).

أوجد بعد \(B\) عن \((AC)\) وبعد \(C\) عن \((AB)\).

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (AC)\)، إذن بعد \(B\) عن \((AC)\) هو \(AB = 3\text{ صم}\)، وبعد \(C\) عن \((AB)\) هو \(AC = 4\text{ صم}\).
ابن \((\Delta)\) من \(B\) عمودي على \((BC)\)، و \((\Delta')\) من \(C\) عمودي على \((BC)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\) وأوجد البعد بينهما.

إظهار التصحيح

\((\Delta) \perp (BC)\) و \((\Delta') \perp (BC)\): مستقيمان يعامدان \((BC)\)، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\)، والبعد بينهما \(= BC = 5\text{ صم}\).
⚠️ تصحيح: الملف الأصلي يطلب رسم \((\Delta')\) «موازٍ لـ \((\Delta)\)» ثمّ «إثبات \((\Delta') \perp (\Delta)\)»، وهذا تناقض. الصحيح: \((\Delta')\) عمودي على \((BC)\) مثل \((\Delta)\)، فهما متوازيان والبعد بينهما \(5\text{ صم}\). تحقّقنا بالحساب.
عيّن \(F\) حيث \(BF = 3\) و \(CF = 4\). بيّن أنّ \((BC) \perp (AF)\).

إظهار التصحيح

\(BA = BF = 3\) و \(CA = CF = 4\)، إذن \(B\) و \(C\) على مؤسّط \([AF]\)، أي \((BC)\) مؤسّط عمودي لـ \([AF]\)، ومنه \((BC) \perp (AF)\).

التمرين 37شبه منحرف: أبعاد وتوازٍ

شبه منحرف \(ABCD\) قائم الزاوية في \(A\) و \(D\) حيث \(AB = 3\)، \(AD = 4\)، \(CD = 8\).

أوجد بعد \(C\) عن \((AD)\) وبعد \(C\) عن \((CD)\) والبعد بين \((AB)\) و \((CD)\).

إظهار التصحيح

بعد \(C\) عن \((AD)\) يساوي \(CD = 8\text{ صم}\)؛ بعد \(C\) عن \((CD)\) يساوي \(0\) (لأنّ \(C \in (CD)\))؛ والبعد بين \((AB)\) و \((CD)\) يساوي \(AD = 4\text{ صم}\).
⚠️ تصحيح: الملف الأصلي يذكر «بعد \(C\) عن \((AD) = 3\)»، وهذا خطأ (خلط مع \(AB = 3\)). القيمة الصحيحة هي \(CD = 8\text{ صم}\) لأنّ \((AD) \perp (CD)\) والمسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\) هو \(D\). تحقّقنا بالحساب.
ابن \((\Delta)\) من \(C\) موازٍ لـ \((AD)\)، و \((\Delta')\) من \(B\) موازٍ لـ \((AD)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

إظهار التصحيح

\((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta') \parallel (AD)\)، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\).
بيّن أنّ \((\Delta') \perp (CD)\).

إظهار التصحيح

\((CD) \perp (AD)\) و \((\Delta') \parallel (AD)\)، إذن \((\Delta') \perp (CD)\).

التمرين 38دائرة مماسة لمستقيم

\((\Delta)\) مستقيم و \(M \in (\Delta)\). الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(2\text{ صم}\) مماسّة لـ \((\Delta)\) في النقطة \(A\).

ابن \((\Delta')\) المارّ من \(A\) والعمودي على \((\Delta)\).

إظهار التصحيح

\((\Delta')\) هو المستقيم العمودي على \((\Delta)\) في \(A\).
بيّن أنّ \((\Delta')\) يحمل نصف القطر \([OA]\) (أي يمرّ من \(O\)).

إظهار التصحيح

\((\mathcal{C})\) مماسّة لـ \((\Delta)\) في \(A\) إذن \((OA) \perp (\Delta)\). و \((\Delta') \perp (\Delta)\) في \(A\)، ومن \(A\) يوجد مستقيم واحد عمودي على \((\Delta)\)، إذن \((\Delta') = (OA)\) ويمرّ من \(O\).
⚠️ تصحيح: الملف الأصلي يطلب إثبات أنّ \((\Delta')\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(A\)، وهذا خطأ: \((\Delta')\) يمرّ بالمركز \(O\) فهو حامل قطر وليس مماسًّا. المماسّ في \(A\) هو \((\Delta)\) نفسه.
ما هو بعد \(O\) عن \((\Delta)\)؟

إظهار التصحيح

\((OA) \perp (\Delta)\)، إذن بعد \(O\) عن \((\Delta)\) يساوي \(OA = \) الشعاع \(= 2\text{ صم}\).

التمرين 39دائرتان مماسّتان لمستقيم في نقطة

دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(I\) وشعاعها \(2\)، و \(A\) نقطة منها.

ابن \((\Delta)\) المماسّ للدائرة \((\mathcal{C})\) في \(A\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) مماسّ في \(A\) إذن \((IA) \perp (\Delta)\).
ابن الدائرة \((\mathcal{C}')\) مركزها \(J\) وشعاعها \(3\) حيث \((\Delta)\) مماسّ لها في \(A\) أيضًا.

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C}')\) في \(A\) إذن \((JA) \perp (\Delta)\).
بيّن أنّ \(A\) و \(I\) و \(J\) على استقامة واحدة.

إظهار التصحيح

\((IA) \perp (\Delta)\) و \((JA) \perp (\Delta)\)، ومن \(A\) يوجد مستقيم واحد عمودي على \((\Delta)\)، إذن \((IA)\) و \((JA)\) نفس المستقيم، أي \(A\)، \(I\)، \(J\) على استقامة واحدة.

التمرين 40دائرتان مماسّتان لأضلاع مثلَّث قائم

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 2{,}5\) و \(AC = 3\text{ صم}\).

ارسم \((\mathcal{C})\) مركزها \(B\) وشعاعها \(BA\). بيّن أنّ \((AC)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(A\) وحدّد نقطة التماس.

إظهار التصحيح

\(A \in (\mathcal{C})\) (لأنّ \(BA = \) الشعاع)، و \((AC) \perp [BA]\) (الزاوية قائمة في \(A\))، إذن \((AC)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في النقطة \(A\).
ارسم \((\mathcal{C}')\) مركزها \(C\) ومماسّة لـ \((AB)\). ما شعاع \((\mathcal{C}')\)؟

إظهار التصحيح

شعاع \((\mathcal{C}')\) = بعد \(C\) عن \((AB)\) = \(AC = 3\text{ صم}\) (لأنّ \((AC) \perp (AB)\)).

التمرين 41مماسّ ومتساوي البعد

دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\)، و \(M\) نقطة منها.

ابن \((\Delta)\) المماسّ للدائرة في \(M\).

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) مماسّ في \(M\)، إذن \((OM) \perp (\Delta)\).
عيّن \(A\) و \(B\) على \((\Delta)\) حيث \(M\) منتصف \([AB]\). اثبت أنّ \(OA = OB\).

إظهار التصحيح

\((OM) \perp (\Delta)\) و \(M\) منتصف \([AB]\)، إذن \((OM)\) مؤسّط عمودي لـ \([AB]\)، ومنه \(O\) متساوي البعد عن الطرفين: \(OA = OB\).

التمرين 42اختيار من متعدّد: بُعد ودائرة

I) مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AC = 3\)، \(AB = 4\)، \(BC = 5\text{ صم}\).
II) دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(2\)، و \(A'\) مسقط \(O\) العمودي على مستقيم \((\Delta)\).

بعد \(B\) عن \((AC)\) يساوي: \(3\text{ صم}\) — \(4\text{ صم}\) — \(5\text{ صم}\)؟

إظهار التصحيح

\((AB) \perp (AC)\)، إذن بعد \(B\) عن \((AC)\) هو \(AB = 4\text{ صم}\). ✓
بعد \(A\) عن \((AB)\) يساوي: \(0\text{ صم}\) — \(3\text{ صم}\) — \(4\text{ صم}\)؟

إظهار التصحيح

\(A \in (AB)\)، إذن بعد \(A\) عن \((AB)\) يساوي \(0\text{ صم}\). ✓
\((\Delta)\) و \((\mathcal{C})\) منفصلان إذا: \(OA' = 1{,}9\) — \(2\) — \(2{,}1\)؟

إظهار التصحيح

يكونان منفصلين (لا يتقاطعان) إذا كان \(OA' > \) الشعاع \(= 2\)، أي \(OA' = 2{,}1\text{ صم}\). ✓
\((\Delta)\) يمرّ من \(O\) إذا: \(OA' = 0\) — \(1\) — \(2\)؟

إظهار التصحيح

\((\Delta)\) يمرّ من \(O\) إذا كان بعد \(O\) عنه معدومًا، أي \(OA' = 0\). ✓

تمارين الفصل — المستقيمات المتوازية والمتعامدة