المستقيمات المتوازية والمتعامدة

الرباعي \(AEFG\) مربع، إذن زاويته في \(A\) قائمة: \((AG) \perp (AE)\).

وبما أن \(E \in [AB]\) فإن المستقيم \((AE)\) هو نفسه المستقيم \((AB)\)، وبالتالي \((AG) \perp (AB)\).

ومن جهة أخرى \((OI) \perp (AB)\).

مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن:

من السؤال السابق: \((AG) \parallel (OI)\).

والمستقيم \(\Delta\) عمودي على \((OI)\) بالبناء.

إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر، إذن:

1) \(ABCD\) مستطيل، إذن زاويته في \(A\) قائمة: \((AB) \perp (AD)\). فالمستقيم المار من \(A\) والعمودي على \((AD)\) هو المستقيم \((AB)\) نفسه (العمود على مستقيم في نقطة منه وحيد).

2) \(I\) منتصف \([AB]\)، إذن \(IB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\,\text{cm}\).

3) نستعمل خاصية الموسط العمودي: كل نقطة على نفس البعد من طرفَي قطعة تنتمي إلى موسطها العمودي.

• \(BI = 3\,\text{cm}\) و \(BC = 3\,\text{cm}\)، إذن \(BI = BC\): النقطة \(B\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([IC]\).
• المثلث \(IEC\) متقايس الأضلاع، إذن \(EI = EC\): النقطة \(E\) تنتمي أيضاً إلى الموسط العمودي لـ\([IC]\).

النقطتان \(B\) و \(E\) متمايزتان (لأن \(BI = 3 \neq IC\) بينما \(EI = IC\))، وهما تنتميان معاً إلى الموسط العمودي لـ\([IC]\) الذي هو مستقيم، إذن:

الموسط العمودي. \(OA = OB = 4\,\text{cm}\) (شعاعا نفس الدائرة)، إذن \(O\) على الموسط العمودي لـ\([AB]\)؛ و \(I\) منتصف \([AB]\) ينتمي إليه أيضاً. إذن \((OI)\) هو الموسط العمودي لـ\([AB]\)، وبالخصوص \((OI) \perp (AB)\).

طبيعة المثلث MAB. \(M \in (OI)\) وهو الموسط العمودي لـ\([AB]\)، إذن \(MA = MB\): المثلث \(MAB\) متساوي الساقين رأسه \(M\).

وضعية (Δ) و (Δ'). \((\Delta) \perp (AB)\) و \((\Delta') \perp (AB)\): مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، إذن \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

C مسقط O على (Δ'). \((D) \perp (\Delta)\) بالبناء و \((\Delta) \parallel (\Delta')\)، إذن \((D) \perp (\Delta')\). وبما أن \(O \in (D)\) و \(C = (D) \cap (\Delta')\)، فإن \(C\) هو قدم العمود المرسوم من \(O\) على \((\Delta')\)، أي مسقطها العمودي. وبنفس الطريقة \(E\) هو مسقط \(O\) العمودي على \((\Delta)\).

ماذا تمثل O بالنسبة إلى [EC]؟ في الرباعي \(OEAI\): الزاوية في \(I\) قائمة (\((OI) \perp (AB)\))، والزاوية في \(A\) قائمة (\((\Delta) \perp (AB)\))، والزاوية في \(E\) قائمة (\((D) \perp (\Delta)\)). فهو مستطيل، ومنه \(OE = IA = 3\,\text{cm}\).

وبنفس البرهان الرباعي \(OCBI\) مستطيل، ومنه \(OC = IB = 3\,\text{cm}\).

النقاط \(E\) و \(O\) و \(C\) على نفس المستقيم \((D)\)، و \(O\) بينهما، مع \(OE = OC\). إذن:

1) شبه المنحرف \(FABE\) قائم في \(A\) و \(F\)، أي \((FA) \perp (AB)\) و \((FA) \perp (FE)\). ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم \((FA)\) هما متوازيان، إذن \((AB) \parallel (FE)\): هما القاعدتان، و \([FA]\) هو الارتفاع.

2) المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، فضلعاه \([AB]\) و \([AC]\) متعامدان:

نحسب نفس المساحة بأخذ \([BC]\) قاعدة. الارتفاع الموافق هو بعد \(A\) عن \((BC)\)، نرمز له بـ\(d\):

إذن بعد \(A\) عن المستقيم \((BC)\) يساوي \(4{,}8\,\text{cm}\).

Λ هو الموسط العمودي لـ[AB]. المستقيم \(\Lambda\) يمر بمنتصف \(I'\) للقطعة \([AB]\) وهو عمودي عليها بالبناء، وهذا هو تعريف الموسط العمودي.

E ∈ Λ. من السؤال السابق \(EA = EB\)، أي أن \(E\) على نفس البعد من طرفَي \([AB]\)، إذن \(E\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([AB]\)، أي \(E \in \Lambda\).

وضعية (EI) و Λ. بيّنّا سابقاً أن \((EI) \parallel (AB)\) (مستقيم المنتصفين في المثلث \(ABC\))، و \(\Lambda \perp (AB)\) بالبناء. وإذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر، إذن:

طول [AD]. \(C\) منتصف \([AD]\)، إذن \(AD = 2 \times AC = 2 \times 2 = 4\,\text{cm}\).

طبيعة الرباعي ABED. قطراه هما \([AE]\) و \([BD]\)، ولهما نفس المنتصف \(I\) بالبناء (\(I\) منتصف \([BD]\) ومنتصف \([AE]\)). ورباعيّ قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع.

وبما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\) وأن \(D \in (AC)\)، فإن \((AD) \perp (AB)\): لمتوازي الأضلاع \(ABED\) زاوية قائمة في \(A\)، إذن هو مستطيل. وأخيراً \(AB = 4\,\text{cm} = AD\)، فهو مربع.

(BI) هو الموسط العمودي لـ[AE]. قطرا المربع متعامدان، إذن \((BD) \perp (AE)\)، أي \((BI) \perp (AE)\). وهذا المستقيم يمر بالنقطة \(I\) التي هي منتصف \([AE]\). فهو إذن عمودي على \([AE]\) ويمر بمنتصفها:

استنتاج BE. النقطة \(B\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([AE]\)، وكل نقطة من الموسط العمودي لقطعة تكون على نفس البعد من طرفيها، إذن:

1) \(\Delta \perp (AB)\) بالبناء، و \((AB) \parallel (CD)\) بالفرض.

إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر، إذن:

2) من السؤال الأول \(\Delta \perp (CD)\)، و \(\Delta' \perp (CD)\) بالبناء.

مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن:

ملاحظة: المستقيمان \(\Delta\) و \(\Delta'\) متوازيان، لكنهما لا ينطبقان في الحالة العامة: المستقيم \(\Delta\) لا يمر بمنتصف \([AD]\) إلا في حالات خاصة. أمّا المستقيم المار بالمنتصفين \(I\) و \(J\) فهو موازٍ للقاعدتين وليس عمودياً عليهما.

1) بما أن \(E \in [AB]\) فإن \((AE)\) هو نفسه المستقيم \((AB)\). والمستقيمان \((AB)\) و \((BD)\) لهما النقطة \(B\) مشتركة وهما متمايزان (لأن \(D \notin (AB)\))، إذن \((AE)\) و \((BD)\) متقاطعان في B.

2) في متوازي الأضلاع \(ABCD\) لدينا \((AB) \parallel (DC)\) و \(AB = DC\). ومنه:

• \([AE]\) و \([DF]\) محمولان على مستقيمين متوازيين؛
• \(AE = \dfrac{AB}{2}\) و \(DF = \dfrac{DC}{2}\)، إذن \(AE = DF\)، والنقطتان \(E\) و \(F\) واقعتان في نفس الجهة بالنسبة إلى المستقيم \(AD\).

إذن الرباعي \(AEFD\) متوازي أضلاع، وبالتالي \((EF) \parallel (AD)\). وبما أن \((AD) \parallel (BC)\) (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع \(ABCD\))، نستنتج بتعدّي التوازي أن \((EF) \parallel (BC)\).

3) في متوازي الأضلاع \(AEFD\)، الضلعان \([EF]\) و \([AD]\) متقابلان، إذن:

تنبيه: \((EF)\) يوازي الضلعين \([AD]\) و \([BC]\)، وليس القطرين \([AC]\) و \([BD]\): قطرا متوازي الأضلاع متقاطعان، فلا يمكن لمستقيم واحد أن يوازيهما معاً.

الإجابة الصحيحة: (ج) المستقيم (IJ).

التعليل بخاصيتَي الموسط العمودي:

• \(I\) منتصف \([AC]\)، إذن \(IA = IC\): النقطة \(I\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([AC]\).
• \(JA = JC\) بالفرض: النقطة \(J\) تنتمي أيضاً إلى الموسط العمودي لـ\([AC]\).

النقطتان \(I\) و \(J\) متمايزتان (لأن \(J \notin (AC)\) بينما \(I \in (AC)\))، ويمر بهما مستقيم وحيد، إذن:

لماذا لا الخياران الآخران؟ المستقيم \(\Delta\) عمودي على \((BC)\) لا على \([AC]\)، والمستقيم \((BI)\) يمر بالمنتصف \(I\) لكن لا شيء يضمن عموديته على \((AC)\) (فهو متوسط في المثلث لا موسط عمودي).

1) \(AB = AC = 5\,\text{cm}\)، أي أن \(A\) على نفس البعد من \(B\) و \(C\): النقطة \(A\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([BC]\).

و \(I\) منتصف \([BC]\)، فهي تنتمي أيضاً إلى هذا الموسط العمودي. والنقطتان \(A\) و \(I\) متمايزتان (لأن \(A \notin (BC)\))، إذن:

2) بما أن \((AI) \perp (BC)\) في النقطة \(I\)، فإن المسقط العمودي للنقطة \(B\) على المستقيم \((AI)\) هو \(I\) نفسها. وبعد نقطة عن مستقيم هو المسافة بينها وبين مسقطها العمودي:

صواب.

في شبه المنحرف \(ABCD\)، القاعدتان \([AB]\) و \([CD]\) متوازيتان، أمّا \([AD]\) و \([BC]\) فهما الضلعان غير المتوازيين.

ولو كان \((AD) \parallel (BC)\) لكان للرباعي زوجان من الأضلاع المتقابلة المتوازية، أي لكان متوازي أضلاع — وهذا مُستبعَد بالفرض.

إذن المستقيمان \((AD)\) و \((BC)\) غير متوازيين، وفي المستوي مستقيمان غير متوازيين يتقاطعان بالضرورة (إن مُدّدا).

الإجابة الصحيحة: \((D) \parallel \Delta'\).

نستعمل تعدّي التوازي: إذا كان مستقيمان يوازيان نفس المستقيم فهما متوازيان.

ملاحظة: كون \(\Delta\) و \(\Delta'\) موسطَين عموديَّين لا يتدخّل في البرهان؛ المهم هو علاقتا التوازي المعطاتان فقط.

(EG) هو الموسط العمودي لـ[LM].

• \(EL = EM = 2\,\text{cm}\) (شعاعا الدائرة \(\mathcal{C}\))، إذن \(E\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([LM]\).
• \(GL = GM = 1{,}5\,\text{cm}\) (شعاعا الدائرة \(\mathcal{C}'\))، إذن \(G\) تنتمي أيضاً إليه.

والنقطتان \(E\) و \(G\) متمايزتان (الدائرتان متقاطعتان في نقطتين فمركزاهما مختلفان)، إذن \((EG)\) هو الموسط العمودي لـ\([LM]\)، وبالخصوص:

وضعية Δ و(LM). بيّنّا في السؤال السابق أن \(\Delta \parallel (EG)\).

وإذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر، إذن:

فالمستقيمان \(\Delta\) و \((LM)\) متعامدان (وليسا متوازيين).

(AB) هو الموسط العمودي لـ[CD]. نبيّن أن نقطتين متمايزتين من \((AB)\) على نفس البعد من \(C\) و \(D\):

• النقطة \(O\): بما أن \(C\) و \(D\) تنتميان إلى الدائرة \(\xi\) التي مركزها \(O\)، فإن \(OC = OD\) (شعاعان)، إذن \(O\) على الموسط العمودي لـ\([CD]\).
• النقطة \(B\): \(BC = BD\) بالبناء، إذن \(B\) على الموسط العمودي لـ\([CD]\).

النقطتان \(O\) و \(B\) متمايزتان (\(O\) مركز الدائرة و \(B\) نقطة منها)، والموسط العمودي مستقيم، إذن الموسط العمودي لـ\([CD]\) هو المستقيم \((OB)\).

وبما أن \([AB]\) قطر للدائرة، فإن \(O\) منتصف \([AB]\)، أي \(O \in (AB)\)، ومنه \((OB) = (AB)\). إذن:

ماذا تمثل I لـ[CD]؟ الموسط العمودي لقطعة يقطعها في منتصفها، و \(I\) هي نقطة تقاطع \((AB)\) مع \((CD)\)، إذن \(I\) هي منتصف [CD] (وكذلك \((AB) \perp (CD)\) في \(I\)).

الإجابة الصحيحة: \(\Delta \perp (CD)\).

• \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ\([AB]\)، إذن \(\Delta \perp (AB)\) (بالتعريف).
• \(ABCD\) مستطيل، وضلعاه \([AB]\) و \([CD]\) متقابلان، إذن \((AB) \parallel (CD)\).

وإذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر:

تنبيه: الخيار \(\Delta \parallel (CD)\) خاطئ: لو كان \(\Delta\) موازياً لـ\((CD)\) لكان موازياً لـ\((AB)\) أيضاً، وهو مستحيل لأنه عمودي عليها.

1) I منتصف [AC]. المستقيم \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ\([AC]\)، وهو يقطع \((AC)\) في \(I\). والموسط العمودي لقطعة يقطعها في منتصفها، إذن \(I\) منتصف \([AC]\) و \(AI = \dfrac{AC}{2} = 3\,\text{cm}\).

2) Δ∥(AB). المثلث قائم في \(A\) إذن \((AB) \perp (AC)\)، و \(\Delta \perp (AC)\) (موسط عمودي). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \(\Delta \parallel (AB)\).

3) (AE) هو الموسط العمودي لـ[IB].

• \(AI = 3\,\text{cm}\) و \(AB = 3\,\text{cm}\)، إذن \(AI = AB\): النقطة \(A\) على الموسط العمودي لـ\([IB]\).
• \(E\) منتصف \([IB]\) بالبناء، فهي عليه أيضاً.

والنقطتان \(A\) و \(E\) متمايزتان، إذن \((AE)\) هو الموسط العمودي لـ\([IB]\).

4) I على الدائرة التي مركزها K وتمر من B. النقطة \(K\) تنتمي إلى \((AE)\) الذي هو الموسط العمودي لـ\([IB]\)، إذن \(KI = KB\). فالنقطتان \(I\) و \(B\) على نفس البعد من \(K\)، أي أنّ \(I\) تنتمي إلى الدائرة التي مركزها \(K\) وتمرّ من \(B\).

5) وضعية Δ وΔ'. \(\Delta' \perp (AB)\) بالبناء، و \(\Delta \parallel (AB)\) (السؤال 2). إذن:

الإجابة الصحيحة: (ب) \(A \notin \Delta'\).

مستقيمان متوازيان ومتمايزان ليس لهما أيّ نقطة مشتركة.

وبما أن \(A \in \Delta\)، فلو كانت \(A \in \Delta'\) أيضاً لكانت نقطة مشتركة بين \(\Delta\) و \(\Delta'\)، وهذا مستحيل. إذن \(A \notin \Delta'\).

تنبيه على شرط «متمايزان»: لو لم يُذكر هذا الشرط لكان المستقيمان قد ينطبقان (والمستقيم يوازي نفسه)، وعندئذ تكون \(A \in \Delta'\). فبدون شرط التمايز لا يملك السؤال إجابة وحيدة.

1) صواب. الموسط العمودي لقطعة يقطعها في منتصفها، و \(J = \Delta \cap (AD)\)، إذن \(J\) منتصف \([AD]\).

2) خطأ. \(\Delta\) عمودي على \((AD)\)، و \((BC)\) ليس موازياً لـ\((AD)\) (انظر البند 4)، إذن \(\Delta\) ليس عمودياً على \((BC)\)، فلا يمكن أن يكون موسطها العمودي. (كما أنّ لا شيء يضمن أن \(I\) منتصف \([BC]\).)

3) صواب. \(J\) نقطة من الموسط العمودي لـ\([AD]\)، وكل نقطة من الموسط العمودي لقطعة تكون على نفس البعد من طرفيها، إذن \(JA = JD\). (وهي هنا المنتصف نفسه.)

4) صواب. شبه المنحرف قائم في \(A\) و \(D\)، أي \((AD) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (DC)\)؛ فـ\((AB) \parallel (DC)\): القاعدتان هما \([AB]\) و \([DC]\)، و \([AD]\) و \([BC]\) هما الساقان (الضلعان غير المتوازيين).

ولو كان \((AD) \parallel (BC)\) لكان \(ABCD\) متوازي أضلاع له زاوية قائمة، أي مستطيلاً — وهذا مُستبعَد بالفرض. إذن \((AD)\) و \((BC)\) غير متوازيين، فهما متقاطعان.

انتبه: في هذه الصيغة \(\Delta\) عمودي على \([AD]\) فقط، وليس موسطها العمودي — ولهذا تختلف الأجوبة عن الصيغة السابقة لنفس الشكل.

1) خطأ. \(\Delta \perp (AD)\)، و \((BC)\) ليس موازياً لـ\((AD)\) (البند 4)، إذن \(\Delta\) ليس عمودياً على \((BC)\)، فلا يمكن أن يكون موسطها العمودي.

2) خطأ. المعطى الوحيد هو أن \(\Delta\) عمودي على \([AD]\) ويقطعها في \(I\)؛ ولا شيء يفرض أن تكون \(I\) هي المنتصف. (يوجد عدد لا نهائي من المستقيمات العمودية على \((AD)\)، واحد منها فقط يمر بالمنتصف.)

3) خطأ. النقطة \(J\) تقع على \([BC]\)، ولا شيء في المعطيات يجعلها على نفس البعد من \(A\) و \(D\). ولكي يتحقق \(JA = JD\) يجب أن تنتمي \(J\) إلى الموسط العمودي لـ\([AD]\)، وهذا غير مضمون.

4) صواب. شبه المنحرف قائم في \(A\) و \(D\)، أي \((AD) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (DC)\)، ومنه \((AB) \parallel (DC)\): القاعدتان هما \([AB]\) و \([DC]\)، أمّا \([AD]\) و \([BC]\) فهما الساقان غير المتوازيين (وإلاّ كان الرباعي مستطيلاً). ومستقيمان غير متوازيين في المستوي يتقاطعان، إذن \((AD)\) و \((BC)\) متقاطعان.

1) \(\Delta\) عمودي على \((AB)\) في \(I\)، إذن بعد \(A\) عن \(\Delta\) هو \(AI = \dfrac{6}{2} = 3\,\text{cm}\).

2) المماس \(\Delta'\) للدائرة \((C)\) في \(B\) عمودي على الشعاع \([AB]\) في \(B\)، أي \(\Delta' \perp (AB)\). و \(\Delta \perp (AB)\) أيضاً (موسط عمودي). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \(\Delta \parallel \Delta'\).

3) بعد المركز \(A\) عن \(\Delta\) يساوي \(3\,\text{cm}\)، وهو يساوي شعاع \((C')\): إذن \(\Delta\) مماس لـ\((C')\) في \(I\).

وبعد \(A\) عن \(\Delta'\) يساوي \(AB = 6\,\text{cm} > 3\,\text{cm}\): إذن \(\Delta'\) و \((C')\) منفصلان (لا يتقاطعان).

4) النقطة \(M\) تنتمي إلى \(\Delta\) وهو الموسط العمودي لـ\([AB]\)، إذن \(MA = MB\). وتنتمي كذلك إلى \((C)\)، إذن \(MA = 6\,\text{cm}\). ومنه \(MA = MB = AB = 6\,\text{cm}\): المثلث \(AMB\) متقايس الأضلاع.

وبنفس البرهان \(NA = NB = 6\,\text{cm}\). وبالخصوص \(BM = BN\)، إذن المثلث \(BMN\) متقايس الساقين رأسه B.

1) \(ABCD\) مستطيل، إذن زاويته في \(A\) قائمة: \((AD) \perp (AB)\). والقطعة \([BA]\) شعاع للدائرة \((C)\). ومستقيم عمودي على شعاع في طرفه الواقع على الدائرة هو مماس لها، إذن \((AD)\) مماس لـ\((C)\) في \(A\).

2) المستقيم \(\Delta\) يمر بالنقطة \(A\) وهي نقطة من الدائرة \((C)\)، فله معها نقطة مشتركة على الأقل. ولكي يكون مماساً في \(A\) يجب أن يكون عمودياً على الشعاع \([BA]\)؛ لكنه عمودي على \((BD)\)، والمستقيمان \((BA)\) و \((BD)\) متمايزان (لأن \(D \notin (AB)\)). إذن \(\Delta\) ليس المماس في \(A\)، وبالتالي:

3) \(E\) هي النقطة الثانية لتقاطع \((AB)\) مع \((C)\)؛ وبما أن \((AB)\) يمر بالمركز \(B\)، فإن \([AE]\) قطر للدائرة و \(BE = BA\). والمماس \(\Delta'\) في \(E\) عمودي على الشعاع \([BE]\)، أي \(\Delta' \perp (AB)\).

4) \(\Delta \perp (BD)\) و \(\Delta' \perp (AB)\)؛ وبما أن \((BD)\) و \((AB)\) غير متوازيين، فإن \(\Delta\) و \(\Delta'\) غير متوازيين ويتقاطعان فعلاً في نقطة وحيدة \(F\).

والنقطة \(F\) تنتمي إلى \(\Delta'\) العمودي على \((AB) = (AE)\) في \(E\)، إذن \((EF) \perp (AE)\):

تنبيه: الزاوية القائمة هي في \(E\) وليست في \(A\): المستقيم \(\Delta\) عمودي على \((BD)\) لا على \((AB)\)، فلا يجب الخلط بينه وبين المماس في \(A\).

1) شعاع \(\mathfrak{C}\) هو \(\dfrac{AJ}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\,\text{cm}\)، ومركزها \(I\) منتصف \([AJ]\).

المماس في \(A\) عمودي على الشعاع \([IA]\)، والمماس في \(J\) عمودي على الشعاع \([IJ]\). وبما أن \(A\) و \(I\) و \(J\) على نفس المستقيم \((AB)\)، فإن \(\Delta \perp (AB)\) و \(\Delta' \perp (AB)\). ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \(\Delta \parallel \Delta'\).

2) \(IJ = JB = 3\,\text{cm}\)، إذن \(J\) منتصف \([IB]\). و \(\Delta'\) يمر بـ\(J\) وهو عمودي على \((IB)\)، إذن:

3) النقطة \(E\) تنتمي إلى الدائرة \(\mathfrak{C}\) التي \([AJ]\) قطر فيها. وكل مثلث رأسه على دائرة وضلعه المقابل قطرٌ فيها يكون قائم الزاوية عند ذلك الرأس، إذن المثلث \(AEJ\) قائم في \(E\):

4) نبيّن أن \(E\) و \(F\) على نفس البعد من \(I\) و \(J\):

• \(IE = 3\,\text{cm}\) (شعاع \(\mathfrak{C}\)) و \(JE = JB = 3\,\text{cm}\) (شعاع \(\mathfrak{C}'\))، إذن \(IE = JE\): النقطة \(E\) على الموسط العمودي لـ\([IJ]\).
• وبنفس الطريقة \(IF = JF = 3\,\text{cm}\): النقطة \(F\) عليه أيضاً.

والنقطتان \(E\) و \(F\) متمايزتان، إذن:

1) النقاط \(F\)، \(A\)، \(D\) على استقامة واحدة، فالزوايا \(\widehat{FAB}\) و \(\widehat{BAC}\) و \(\widehat{CAD}\) متجاورة ومجموعها زاوية منبسطة:

وبما أن \((BE) \parallel (AC)\)، ومستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر، فإن \((AB) \perp (BE)\).

2) النقطة \(E\) على المستقيم \((BE)\) الموازي لـ\((AC)\)، وبعد أيّ نقطة من \((BE)\) عن \((AC)\) هو نفسه: إنه المسافة بين المستقيمين المتوازيين، أي \(AB\) (لأن \([AB]\) عمودي عليهما معاً).

3) شعاع \((C)\) هو \(EB = 2\,\text{cm}\).

• بالنسبة إلى \((AC)\): \(d\big(E,(AC)\big) = 3\,\text{cm} > 2\,\text{cm}\)، إذن \((AC)\) و \((C)\) منفصلان.
• بالنسبة إلى \((AB)\): بما أن \((AB) \perp (BE)\) في \(B\)، فإن مسقط \(E\) العمودي على \((AB)\) هو \(B\)، ومنه \(d\big(E,(AB)\big) = EB = 2\,\text{cm}\)، وهو يساوي الشعاع: إذن \((AB)\) مماس لـ\((C)\) في \(B\).

4) ترتيب أنصاف المستقيمات انطلاقاً من \(A\) هو: \([AF)\)، \([AB)\)، \([AC)\)، \([AD)\).

• الزاويتان \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{BAF}\) لهما نفس الرأس \(A\) فقط، وليس لهما ضلع مشترك (تفصل بينهما الزاوية \(\widehat{BAC}\)): فهما غير متجاورتين. وهما كذلك غير متقابلتين بالرأس، لأن زاويتين متقابلتين بالرأس متقايستان، بينما \(55^\circ \neq 35^\circ\).
• الزاويتان \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{CAF}\) لهما الضلع المشترك \([AC)\) وتقعان على جانبيه، فهما متجاورتان؛ ومجموعهما زاوية منبسطة لأن \([AF)\) و \([AD)\) متقابلان:

إذن الزاويتان \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{CAF}\) متجاورتان ومتكاملتان.

1) النقطتان \(A\) و \(B\) تنتميان إلى الدائرة \((C)\) التي مركزها \(O\)، إذن \(OA = OB = 3\,\text{cm}\) (شعاعان). فالمثلث \(OAB\) متقايس الساقين رأسه O.

2) في المثلث \(OAB\) المتقايس الساقين، الزاويتان في القاعدة متقايستان: \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\). ومجموع زوايا المثلث يساوي \(180^\circ\):

3) \(OA = OB\)، إذن \(O\) على نفس البعد من طرفَي \([AB]\): فهي تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([AB]\). و \(I\) منتصف \([AB]\) فهي تنتمي إليه أيضاً. والنقطتان متمايزتان (\(O \notin (AB)\))، إذن:

4) المماس لدائرة في نقطة منها يكون عمودياً على الشعاع في تلك النقطة، إذن \(\Delta \perp (OA)\) في \(A\).

ومنه مسقط \(O\) العمودي على \(\Delta\) هو النقطة \(A\) نفسها، فبعد \(O\) عن \(\Delta\) هو:

(وهذا يوافق القاعدة العامة: المستقيم يكون مماساً للدائرة إذا كان بعد المركز عنه يساوي الشعاع.)

1) المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) (لأن \((BA) \perp (AC)\))، ومجموع زواياه يساوي \(180^\circ\)، إذن:

فالزاوية \(\widehat{ABC}\) متتامة للزاوية \(\widehat{ACB}\).

2) المثلث \(MCH\) قائم الزاوية في \(H\) (لأن \((MH) \perp (CH)\))، ومنه:

3) نستعمل خاصية منصف الزاوية: كل نقطة داخل زاوية وعلى نفس البعد من ضلعيها تنتمي إلى منصفها.

• \((MH) \perp (CH)\)، إذن \(MH\) هو بعد \(M\) عن الضلع \([CH)\)، و \(MH = 4\,\text{cm}\).
• \((MK) \perp (CK)\)، إذن \(MK\) هو بعد \(M\) عن الضلع \([CK)\)، و \(MK = 4\,\text{cm}\).

إذن \(MK = MH\): النقطة \(M\) على نفس البعد من ضلعَي الزاوية \(\widehat{KCH}\)، ومنه \([CM)\) هو منصف هذه الزاوية.

4) بما أن \([CM)\) منصف الزاوية \(\widehat{KCH}\)، فإنه يقسمها إلى زاويتين متقايستين:

شعاع الدائرة \((C)\) هو \(R = CH\).

1) \(H\) هو المسقط العمودي لـ\(B\) على \((AC)\)، إذن \((BH) \perp (AC)\) في \(H\). والنقطة \(C\) على \((AC)\)، فمسقطها العمودي على \((BH)\) هو \(H\)، ومنه:

2) المثلث قائم في \(B\)، إذن \((CB) \perp (AB)\) في \(B\)، ومنه \(d\big(C,(AB)\big) = CB\).

والمثلث \(BHC\) قائم في \(H\)، فـ\([CB]\) وترُه و \([CH]\) أحد ضلعَي القائمة؛ والوتر أطول ضلع في المثلث القائم، إذن \(CB > CH\):

3) النقطة \(N\) تنتمي إلى \(\Delta\) وهو الموسط العمودي لـ\([BC]\)، إذن \(NB = NC\).

وتنتمي كذلك إلى الدائرة \((C)\) التي مركزها \(C\) وشعاعها \(CH\)، إذن \(NC = CH\). ومنه:

1) \(\Delta\) مماس لـ\((C)\) في \(A\)، إذن \(\Delta \perp (OA)\). و \(\Delta'\) هو الموسط العمودي لـ\([AB]\)، و \([AB]\) محمولة على \(\Delta\)، إذن \(\Delta' \perp \Delta\).

ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم \(\Delta\) هما متوازيان، إذن \(\Delta' \parallel (OA)\).

2) \(I\) منتصف \([AB]\)، إذن \(AI = \dfrac{4}{2} = 2\,\text{cm}\).

وبما أن \(\Delta' \parallel (OA)\)، فإن جميع نقاط \((OA)\) لها نفس البعد عن \(\Delta'\). ونأخذ النقطة \(A\): مسقطها العمودي على \(\Delta'\) هو \(I\) (لأن \(\Delta' \perp (AB)\) في \(I\))، إذن:

3) \(d(O,\Delta') = 2\,\text{cm} < R = 3\,\text{cm}\)، إذن \(\Delta'\) قاطع للدائرة \((C)\) في نقطتين.

4) \([MN]\) وتر في الدائرة \((C)\)، إذن \(OM = ON\) (شعاعان): النقطة \(O\) على الموسط العمودي لـ\([MN]\). و \(H\) منتصف \([MN]\) فهي عليه أيضاً، ومنه \((OH)\) هو الموسط العمودي لـ\([MN]\)، وبالخصوص \((OH) \perp \Delta'\).

ومن السؤال 1: \(\Delta \perp \Delta'\). فالمستقيمان \((OH)\) و \(\Delta\) عموديان على نفس المستقيم \(\Delta'\)، إذن:

1) \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ\([CD]\)، إذن \(\Delta \perp (CD)\). وشبه المنحرف قائم في \(D\)، إذن \((AD) \perp (CD)\). ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \(\Delta \parallel (AD)\).

2) \(I\) منتصف \([CD]\)، إذن \(CI = ID = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\,\text{cm}\).

في الرباعي \(AEID\): الزاوية في \(A\) قائمة و الزاوية في \(D\) قائمة (شبه منحرف قائم)، والزاوية في \(I\) قائمة (\(\Delta \perp (CD)\)). فهو مستطيل، ومنه:

وبما أن \(AE = 2\,\text{cm} < AB = 5\,\text{cm}\)، فإن \(E \in [AB]\) و \(BE = AB - AE = 5 - 2 = 3\,\text{cm}\).

3) شعاع \((C)\) هو \(ID = 2\,\text{cm}\)، و \(IC = 2\,\text{cm}\) أيضاً، إذن \(C \in (C)\). والنقاط \(D\)، \(I\)، \(C\) على استقامة واحدة و \(I\) منتصف \([DC]\)، إذن \([DC]\) قطر للدائرة \((C)\).

4) \(IE = 3\,\text{cm} \neq 2\,\text{cm} = R\)، إذن \(E \notin (C)\).

والمستقيم \(\Delta\) يمر بالمركز \(I\)، فبعد المركز عنه يساوي \(0 < R\): إذن \(\Delta\) قاطع للدائرة في نقطتين متقابلتين قطرياً، ولا يمكن أن يكون مماساً لها (المماس يحقق \(d = R \neq 0\)).

5) شبه المنحرف قائم في \(A\)، إذن \((AB) \perp (AD)\)؛ و \(\Delta \parallel (AD)\) (السؤال 1)، ومنه \(\Delta \perp (AB)\) في \(E\). فمسقط \(I\) العمودي على \((AB)\) هو \(E\)، ومنه:

إذن \((C)\) و \((AB)\) منفصلان.

6) \(\Delta'\) هو الموسط العمودي لـ\([DI]\)، و \([DI]\) محمولة على \((CD)\)، إذن \(\Delta' \perp (CD)\). و \(\Delta \perp (CD)\) كذلك. ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \(\Delta' \parallel \Delta\).

1) \(\widehat{xOz} + \widehat{yOt} = 43^\circ + 47^\circ = 90^\circ\): الزاويتان \(\widehat{xOz}\) و \(\widehat{yOt}\) متتامتان.

و \(\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180^\circ\) (لأن \([Ox)\) و \([Oy)\) متقابلان): الزاويتان \(\widehat{xOz}\) و \(\widehat{zOy}\) متكاملتان.

2) الزوايا \(\widehat{xOz}\) و \(\widehat{zOt}\) و \(\widehat{tOy}\) متجاورة ومجموعها زاوية منبسطة:

3) النقطتان \(I\) و \(J\) على المستقيم \((Oz)\)، متمايزتان، و \(OI = OJ = 3\,\text{cm}\): إذن \(J\) على نصف المستقيم المقابل لـ\([Oz)\)، و \(O\) منتصف \([IJ]\).

والمستقيم \((Ot)\) يمر بـ\(O\) وهو عمودي على \((Oz) = (IJ)\) (السؤال 2)، إذن هو الموسط العمودي لـ\([IJ]\).

4) المثلث \(OHI\) قائم في \(H\)، ووتره \([OI]\). والوتر أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية، إذن \(OH < OI\)، أي \(OH < 3\,\text{cm}\).

5) شعاع \((C)\) هو \(R = OH\).

• \((IH) \perp (xy)\) في \(H\)، و \(O \in (xy)\)، إذن مسقط \(O\) العمودي على \((IH)\) هو \(H\) و \(d\big(O,(IH)\big) = OH = R\): المستقيم \((IH)\) مماس لـ\((C)\) في \(H\).
• \(\Delta \perp (OI)\) في \(I\)، إذن \(d\big(O,\Delta\big) = OI = 3\,\text{cm} > OH = R\) (السؤال 4): \(\Delta\) و \((C)\) منفصلان.

6) \(\Delta \perp (Oz)\) و \((Ot) \perp (Oz)\)، ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \(\Delta \parallel (Ot)\).

7) \([OJ)\) مقابل لـ\([Oz)\) و \([Oy)\) مقابل لـ\([Ox)\)، إذن الزاويتان \(\widehat{yOJ}\) و \(\widehat{xOz}\) متقابلتان بالرأس، ومنه \(\widehat{yOJ} = 43^\circ\).

8) النقطة \(M\) تنتمي إلى \([Ot)\)، والمستقيم \((Ot)\) هو الموسط العمودي لـ\([IJ]\) (السؤال 3). وكل نقطة من الموسط العمودي لقطعة تكون على نفس البعد من طرفيها، إذن:

1) \([Oy)\) منصف الزاوية \(\widehat{xOz}\)، إذن \(\widehat{yOz} = \widehat{xOy} = 60^\circ\)، ومنه:

2) \([Ou)\) منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\)، إذن \(\widehat{xOu} = \widehat{uOy} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).

و \([Oy)\) يقع بين \([Ou)\) و \([Oz)\)، إذن:

3) بما أن \(\widehat{uOz} = 90^\circ\) فإن \((Ou) \perp (Oz)\).

4.أ) النقطة \(A\) تنتمي إلى الدائرة \((C)\) التي \([OB]\) قطر فيها. وكل مثلث رأسه على دائرة وضلعه المقابل قطرٌ فيها يكون قائم الزاوية عند ذلك الرأس، إذن المثلث \(OAB\) قائم في \(A\)، أي \((BA) \perp (Ox)\).

وبنفس البرهان المثلث \(OCB\) قائم في \(C\)، أي \((BC) \perp (Oz)\).

4.ب) بما أن \((BA) \perp (Ox)\) في \(A\)، فإن \(BA\) هو بعد \(B\) عن الضلع \([Ox)\)؛ وبنفس الطريقة \(BC\) هو بعد \(B\) عن الضلع \([Oz)\).

والنقطة \(B\) تنتمي إلى \([Oy)\) منصف الزاوية \(\widehat{xOz}\)، وكل نقطة من منصف زاوية تكون على نفس البعد من ضلعيها، إذن \(BA = BC\).

4.ج) \(OA = OC\) بالفرض، إذن \(O\) على الموسط العمودي لـ\([AC]\). و \(BA = BC\) (السؤال السابق)، إذن \(B\) عليه أيضاً. والنقطتان \(O\) و \(B\) متمايزتان، ومنه:

1) شبه المنحرف قائم في \(B\) و \(C\)، أي \((AB) \perp (BC)\) و \((CD) \perp (BC)\). ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \((AB) \parallel (CD)\).

2) \(\Delta \perp (AB)\) و \(\Delta' \perp (CD)\) (تعريف الموسط العمودي). وبما أن \((CD) \parallel (AB)\)، فإن \(\Delta' \perp (AB)\) أيضاً. ومستقيمان عموديان على \((AB)\) متوازيان، إذن \(\Delta \parallel \Delta'\).

3) المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(B\)، فوتره هو \([AC]\). ومركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره، إذن \(E\) هو مركز الدائرة المحيطة بـ\(ABC\)، و \(EA = EB = EC\).

وبالخصوص \(EA = EB\)، أي أن \(E\) على نفس البعد من طرفَي \([AB]\): إذن \(E\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([AB]\)، أي \(E \in \Delta\).

4.أ) \((AB) \perp (CB)\) في \(B\) (شبه منحرف قائم في \(B\))، و \([CB]\) شعاع للدائرة \((\Gamma)\) و \(B \in (\Gamma)\). ومستقيم عمودي على شعاع في طرفه الواقع على الدائرة هو مماس لها، إذن \((AB)\) مماس لـ\((\Gamma)\) في \(B\).

4.ب) \(\Delta \perp (AB)\) و \((BC) \perp (AB)\)، إذن \(\Delta \parallel (BC)\). والبعد بين هذين المستقيمين المتوازيين يُقاس على \((AB)\) الذي يعامدهما: المستقيم \((BC)\) يقطعه في \(B\)، والمستقيم \(\Delta\) يقطعه في منتصف \([AB]\). ومنه:

بعد المركز \(C\) عن \(\Delta\) أصغر من الشعاع، إذن \(\Delta\) قاطع للدائرة \((\Gamma)\) في نقطتين.

2.أ) [FC) هو منصف الزاوية BF̂E

نستعمل خاصية المنصف: كل نقطة داخل زاوية وعلى نفس البعد من ضلعيها تنتمي إلى منصفها. والضلعان هنا هما \([FB)\) و \([FE)\).

• المثلث \(ABC\) قائم في \(B\)، إذن \((AB) \perp (CB)\) في \(B\). و \(F \in (AB)\)، إذن \((FB) \perp (CB)\)، ومنه بعد \(C\) عن الضلع \([FB)\) يساوي \(CB\). (وبالمناسبة هذا يعني أن \((AB)\) مماس للدائرة في \(B\).)
• \(\Delta\) مماس للدائرة في \(E\)، إذن \(\Delta \perp (CE)\) في \(E\)، ومنه بعد \(C\) عن الضلع \([FE)\) يساوي \(CE\).

و \(CB = CE\) لأنهما شعاعان لنفس الدائرة \((C)\). إذن النقطة \(C\) على نفس البعد من ضلعَي الزاوية \(\widehat{BFE}\)، ومنه:

2.ب) حساب BF̂C

النقطة \(E\) على \([Cx)\)، إذن \(\widehat{BCE} = \widehat{BCx} = 120^\circ\).

في الرباعي \(FBCE\): الزاوية في \(B\) قائمة والزاوية في \(E\) قائمة (المماسان)، ومجموع زوايا رباعي يساوي \(360^\circ\):

وبما أن \([FC)\) منصف هذه الزاوية:

أ) شبه المنحرف قائم في \(C\)، أي \((CD) \perp (CB)\): المثلث \(BCD\) قائم الزاوية في \(C\)، ووتره هو \([BD]\).

ومركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره، وشعاعها نصف الوتر. إذن الدائرة \((C)\) هي الدائرة التي \([BD]\) قطر فيها.

ب) \(H\) هو المسقط العمودي لـ\(D\) على \((AB)\)، إذن \((DH) \perp (AB)\). وبما أن \(B \in (AB)\)، فإن \((DH) \perp (HB)\): المثلث \(BHD\) قائم الزاوية في \(H\) ووتره \([BD]\).

وكل مثلث قائم الزاوية يكون رأس زاويته القائمة على الدائرة التي وتره قطر فيها، إذن:

ملاحظة مهمّة: النقطة \(A\) بالمقابل لا تنتمي إلى \((C)\): فلكي تنتمي إليها يجب أن تكون الزاوية \(\widehat{BAD}\) قائمة، وهذا غير محقَّق هنا لأن \(AH = 1\,\text{cm} \neq 0\) (أي \(A \neq H\)) بينما \(H\) وحدها هي قدم العمود الصادر من \(D\) على \((AB)\).

الإجابة الصحيحة: أ) 52°.

شبه المنحرف قائم في \(A\) و \(D\)، إذن:

ومجموع زوايا رباعي يساوي \(360^\circ\):

طريقة ثانية: \((AD) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (DC)\)، إذن \((AB) \parallel (DC)\)؛ والزاويتان \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{BCD}\) متكاملتان لأنهما زاويتان داخليتان على نفس الجهة من القاطع \((BC)\):

(1) أ) النقطة \(C\) هي نقطة تقاطع المستقيمين \((BX)\) و \((AY)\). فالزاويتان \(\widehat{ACB}\) و \(\widehat{XCY}\) لهما نفس الرأس \(C\) وضلعا كل منهما مقابلان لضلعَي الأخرى: فهما متقابلتان بالرأس.

وزاويتان متقابلتان بالرأس متقايستان، إذن:

(1) ب) مجموع زوايا المثلث \(ABC\) يساوي \(180^\circ\):

(1) ج) بما أن \(\widehat{BAC} = 90^\circ\)، فإن المستقيمين \((AC)\) و \((AB)\) يتقاطعان في \(A\) مكوّنَين زاوية قائمة:

(2) أ) الموسط العمودي لـ\([BD]\) هو المستقيم \((AC)\).

التعليل: \(A\) منتصف \([BD]\) بالفرض، إذن \((AC)\) يمر بمنتصف \([BD]\). ومن جهة أخرى \(D\) على المستقيم \((AB)\) (لأن \(A\) منتصف \([BD]\))، أي \((BD) = (AB)\)، و \((AC) \perp (AB)\) حسب السؤال السابق. فالمستقيم \((AC)\) عمودي على \([BD]\) ويمر بمنتصفها: إنه موسطها العمودي.

1) حساب بعد M عن (Oy). ليكن \(H\) المسقط العمودي لـ\(M\) على \((Oy)\). في المثلث \(OMB\) نأخذ \([OB]\) قاعدة (وهي محمولة على \((Oy)\))، فيكون الارتفاع الموافق هو \(MH\):

2) مقارنة البعدين.

• \(K\) هو المسقط العمودي لـ\(M\) على \((Ox)\)، إذن بعد \(M\) عن الضلع \([Ox)\) هو \(MK = 3\,\text{cm}\).
• \(H\) هو المسقط العمودي لـ\(M\) على \((Oy)\)، إذن بعد \(M\) عن الضلع \([Oy)\) هو \(MH = 3\,\text{cm}\).

3) الاستنتاج. \(MK = MH\): النقطة \(M\) تقع داخل الزاوية \(\widehat{xOy}\) وهي على نفس البعد من ضلعيها. وكل نقطة داخل زاوية وعلى نفس البعد من ضلعيها تنتمي إلى منصفها، إذن:

أ) الدائرة \((C)\) مركزها \(A\) وتمر من \(B\)، إذن شعاعها هو \(R = AB\).

وبالفرض \(AO = AB\)، أي أن بعد \(O\) عن المركز \(A\) يساوي الشعاع، ومنه \(O \in (C)\).

ب) النقطتان \(O\) و \(B\) متمايزتان وكلتاهما تنتمي إلى المستقيم \((xy)\) (لأن \(O \in (xy)\) و \(B \in [Oy) \subset (xy)\))، وكلتاهما تنتمي إلى الدائرة \((C)\). إذن:

لماذا ليس مماساً؟ لكي يكون \((xy)\) مماساً لـ\((C)\) في \(O\) يجب أن يكون عمودياً على الشعاع \([AO]\)، أي \(\widehat{AOy} = 90^\circ\). ونحسب هذه الزاوية:

(ويؤكد ذلك المثلث \(AOB\) المتقايس الساقين في \(A\): \(\widehat{AOB} = \widehat{ABO} = \dfrac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ\)، وهو ما يوافق الحساب السابق.)

وبصفة عامة: مستقيم يمرّ بنقطتين متمايزتين من دائرة لا يمكن أن يكون مماساً لها، لأن المماس لا يلتقي الدائرة إلا في نقطة واحدة.

(2) الدائرة \((C)\) مماسة لـ\((Sx)\) في \(A\) ولـ\((Sy)\) في \(B\)، والمماس عمودي على الشعاع في نقطة التماس:

إذن بعد \(O\) عن الضلع \([Sx)\) هو \(OA = 2\,\text{cm}\)، وبعده عن الضلع \([Sy)\) هو \(OB = 2\,\text{cm}\) (شعاعان).

فالنقطة \(O\) داخل الزاوية \(\widehat{xSy}\) وعلى نفس البعد من ضلعيها، إذن \([SO)\) هو منصف هذه الزاوية، ومنه:

(3) نعتبر الرباعي \(SAOB\). زاويتاه في \(A\) و \(B\) قائمتان (المماسان)، ومجموع زوايا رباعي يساوي \(360^\circ\):

وهذا الحساب نفسه يبيّن العلاقة العامة:

إذن الزاويتان \(\widehat{ASB}\) و \(\widehat{AOB}\) متكاملتان.

(2) أ. المثلث \(BDC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(D\)، أي \(DB = DC\). إذن \(D\) على نفس البعد من طرفَي \([BC]\): فهي تنتمي إلى الموسط العمودي لـ\([BC]\).

و \(I\) منتصف \([BC]\) فهي تنتمي إليه أيضاً. والنقطتان \(D\) و \(I\) متمايزتان، إذن:

(2) ب. النقطة \(L\) تنتمي إلى موسطَين عموديَّين اثنين من المثلث:

• \(L \in (DI)\) وهو الموسط العمودي لـ\([BC]\)، إذن \(LB = LC\)؛
• \(L\) على الموسط العمودي لـ\([DC]\)، إذن \(LD = LC\).

ومنه:

فالنقطة \(L\) على نفس البعد من رؤوس المثلث الثلاثة \(B\) و \(D\) و \(C\): إذن هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \(BDC\)، وشعاعها \(LB\).

ملاحظة: النقطة \(L\) تنتمي كذلك إلى الموسط العمودي للضلع الثالث \([BD]\)، لأن الموسطات العمودية الثلاثة لمثلث تتلاقى في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة.

ضلعا الزاوية \(\widehat{ACB}\) هما \([CA)\) و \([CB)\).

• \(I\) هو المسقط العمودي لـ\(M\) على \((CA)\)، إذن \(MI\) هو بعد \(M\) عن الضلع \([CA)\).
• \(J\) هو المسقط العمودي لـ\(M\) على \((CB)\)، إذن \(MJ\) هو بعد \(M\) عن الضلع \([CB)\).

والنقطة \(M\) تنتمي إلى \([Cz)\) منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\). وكل نقطة من منصف زاوية تكون على نفس البعد من ضلعَي هذه الزاوية، إذن:

تنبيه على الصياغة: لا يمكن أخذ المسقطين على \((AB)\) و \((Ax)\) لأن \(B \in [Ax)\)، فالمستقيمان \((AB)\) و \((Ax)\) منطبقان والمسقطان يكونان نفس النقطة. كما أن النقطة \(C\) نفسها ليست على منصف الزاوية \(\widehat{xAy}\)، فلا تنطبق عليها خاصية تساوي الأبعاد.

نحسب الزاويتين \(\widehat{ACO}\) و \(\widehat{BCO}\) ونقارنهما.

1) الزاوية AĈO. نصف المستقيم \([Oz)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\) التي قيسها \(60^\circ\)، و \(C \in [Oz)\) و \(A \in [Ox)\)، إذن \(\widehat{AOC} = 30^\circ\).

والمثلّث \(OAC\) قائم الزاوية في \(A\) (السؤال 1أ)، ومجموع زواياه \(180^\circ\):

2) الزاوية BĈO. النقطة \(B\) هي المسقط العمودي لـ\(C\) على \([Oy)\)، إذن \(\widehat{OBC} = 90^\circ\). و \(\widehat{BOC} = 30^\circ\) (لأن \([Oz)\) منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\)).

وفي المثلّث \(OBC\) القائم في \(B\):

3) الاستنتاج. \(\widehat{ACO} = \widehat{BCO} = 60^\circ\)، ونصف المستقيم \([CO)\) يقع داخل الزاوية \(\widehat{ACB}\)، إذن:

ملاحظة: نستنتج بالمناسبة أنّ \(\widehat{ACB} = 120^\circ\)، وأنّ المثلّثين \(OAC\) و \(OBC\) لهما نفس الزوايا ويشتركان في الضلع \([OC]\)، ومنه \(OA = OB\) و \(CA = CB\).

أ) \(H\) هو مسقط \(M\) العمودي على \([Ox)\)، إذن:

والمستقيم \((AM)\) عمودي على \((MH)\) بالبناء.

فالمستقيمان \((AM)\) و \((Ox)\) عموديان على نفس المستقيم \((MH)\)، ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن:

ب) \(K\) هو مسقط \(M\) العمودي على \([Oy)\)، إذن \((MK) \perp (Oy)\).

ولو كان \((AM) \parallel (MK)\) لانطبقا (لأن لهما النقطة \(M\) مشتركة)، فيكون \((Ox) \parallel (Oy)\) — وهو مستحيل لأن \(\widehat{xOy} = 80^\circ \neq 0^\circ\) و \(\neq 180^\circ\).

إذن المستقيمان \((AM)\) و \((MK)\) متقاطعان في M (وهما ليسا متعامدين، لأن ذلك يستلزم \((Ox) \perp (Oy)\) أي \(\widehat{xOy} = 90^\circ\)).

تنبيه: لو أُنشئ المستقيم عمودياً على \((MK)\) بدل \((MH)\)، لكانت النتيجة \((AM) \parallel (Oy)\) وليس \((AM) \parallel (Ox)\): فالمستقيم المرسوم يوازي دائماً الضلع الذي يعامده العمود المستعمَل في البناء.

نستعمل الخاصية الأساسية للفصل: مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان.

• المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\)، إذن \((AB) \perp (AC)\).
• \(\widehat{ACD} = 90^{\circ}\)، إذن \((CD) \perp (AC)\).

والنقاط \(A\)، \(C\)، \(E\) على استقامة واحدة، فالمستقيم \((AC)\) هو نفسه \((AE)\). ومنه:

تنبيه على الصياغة: لا يمكن أن نطلب إثبات \((CD) \parallel (BD)\): فالمستقيمان يمران معاً بالنقطة \(D\)، ومستقيمان متمايزان لهما نقطة مشتركة يكونان متقاطعين لا متوازيين.

(1) حساب AĈB. مجموع زوايا المثلث \(ABC\) يساوي \(180^{\circ}\)، والمثلث قائم في \(A\):

(2) التوازي. النقاط \(A\)، \(C\)، \(E\) على استقامة واحدة، فالمستقيم \((CE)\) هو نفسه المستقيم \((AC)\).

• المثلث قائم في \(A\)، إذن \((AB) \perp (AC)\).
• \(\widehat{DCE} = 90^{\circ}\)، إذن \((CD) \perp (AC)\).

ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان:

طريقة ثانية (بالزوايا): المستقيم \((AE)\) قاطع للمستقيمين \((AB)\) و \((CD)\). والزاويتان \(\widehat{BAE} = 90^{\circ}\) و \(\widehat{DCE} = 90^{\circ}\) متناظرتان ومتقايستان، إذن المستقيمان متوازيان.

تنبيه على الصياغة: بما أن \(D \in (BF)\) فإن \((BF)\) هو نفسه \((BD)\)، والمستقيمان \((CD)\) و \((BD)\) يشتركان في النقطة \(D\): فهما متقاطعان ولا يمكن أن يكونا متوازيين. والمستقيم الموازي لـ\((CD)\) هنا هو \((AB)\).

(1) حساب AĈB. مجموع زوايا المثلث \(ABC\) يساوي \(180^{\circ}\)، والمثلث قائم في \(A\):

(2) التوازي. النقاط \(A\)، \(C\)، \(E\) على استقامة واحدة، فالمستقيم \((CE)\) هو نفسه المستقيم \((AC)\).

• المثلث قائم في \(A\)، إذن \((AB) \perp (AC)\).
• \(\widehat{DCE} = 90^{\circ}\)، إذن \((CD) \perp (AC)\).

ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان:

طريقة ثانية (بالزوايا): المستقيم \((AE)\) قاطع للمستقيمين \((AB)\) و \((CD)\). والزاويتان \(\widehat{BAE} = 90^{\circ}\) و \(\widehat{DCE} = 90^{\circ}\) متناظرتان ومتقايستان، إذن المستقيمان متوازيان.

تنبيه على الصياغة: بما أن \(D \in (BF)\) فإن \((BF)\) هو نفسه \((BD)\)، والمستقيمان \((CD)\) و \((BD)\) يشتركان في النقطة \(D\): فهما متقاطعان ولا يمكن أن يكونا متوازيين. والمستقيم الموازي لـ\((CD)\) هنا هو \((AB)\).

أ) قيس الزاوية AM̂E. في المربّع \(AMIE\) (رؤوسه بهذا الترتيب) القطران هما \([AI]\) و \([ME]\). والزاوية الداخلية في الرأس \(M\) هي \(\widehat{AMI} = 90^\circ\)، والقطر \([ME]\) ينصّفها (قطر المربّع منصّف لزواياه):

1) أ) قطرا المربّع متعامدان، إذن \((ME) \perp (AI)\). و \(\Delta \perp (AI)\) بالبناء، أي \((AL) \perp (AI)\).

ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم \((AI)\) متوازيان، إذن \((AL) \parallel (ME)\).

1) ب) في المربّع \(AMIE\) الضلعان \([AM]\) و \([IE]\) متقابلان، إذن \((AM) \parallel (IE)\). والنقطة \(L\) على \((EI)\)، إذن \((AM) \parallel (EL)\).

فللرباعي \(AMEL\) زوجان من الأضلاع المتقابلة المتوازية (\([AL]\) مع \([ME]\)، و \([AM]\) مع \([EL]\)): إذن هو متوازي أضلاع.

2) أ) \(\widehat{LAI} = 90^\circ\) (لأن \(\Delta \perp (AI)\)).

و \(\widehat{LIA} = 45^\circ\): فهي الزاوية بين الضلع \((IE)\) والقطر \((IA)\) في المربّع، والقطر منصّف للزاوية القائمة في \(I\).

ومجموع زوايا المثلّث \(ALI\) يساوي \(180^\circ\):

فالمثلّث \(ALI\) متقايس الضلعين قمّته الرئيسية \(A\)، ومنه \(AL = AI = 4\,\text{cm}\).

2) ب) مساحة متوازي الأضلاع AMEL. نأخذ \([AL]\) قاعدة. الارتفاع الموافق هو بعد \(M\) عن المستقيم \((AL)\).

وبما أنّ \((AL) \parallel (ME)\)، فهذا البعد هو المسافة بين هذين المستقيمين المتوازيين، وهي تُقاس على \((AI)\) الذي يعامدهما: المستقيم \((AL)\) يقطعه في \(A\)، والمستقيم \((ME)\) يقطعه في المركز \(O\) (لأنّ القطرين يتقاطعان في المركز). إذن:

3) طبيعة الرباعي ALDO ومساحته.

• \(\widehat{LAO} = 90^\circ\) (لأن \((AL) \perp (AI)\) و \(O \in (AI)\))؛
• \(\widehat{ALD} = 90^\circ\) (لأن \((LD) \perp (ME)\) و \((AL) \parallel (ME)\))؛
• \(\widehat{LDO} = 90^\circ\) (لأن \(D\) هو المسقط العمودي لـ\(L\) على \((ME)\) و \(O \in (ME)\)).

رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل، إذن \(ALDO\) مستطيل، ومساحته:

(ونلاحظ أنّ المساحتين متساويتان: فمتوازي الأضلاع \(AMEL\) والمستطيل \(ALDO\) لهما نفس القاعدة \([AL]\) ونفس الارتفاع.)

1) المثلّث \(ABC\) متقايس الأضلاع، وبالخصوص \(CA = CB\): إذن \(C\) على الموسط العمودي لـ\([AB]\). و \(I\) منتصف \([AB]\) فهي عليه أيضاً، ومنه \((CI)\) هو الموسط العمودي لـ\([AB]\):

2) بما أنّ \(\widehat{AIC} = 90^\circ\) (السؤال 1)، يمكن إتمام الرباعي \(AICD\) ليكون مستطيلاً: نرسم العمود على \((AI)\) في \(A\) والعمود على \((IC)\) في \(C\)، فيتقاطعان في \(D\).

وفي المستطيل \(AICD\) (رؤوسه بهذا الترتيب) الضلعان \([IC]\) و \([DA]\) متقابلان، والضلعان المتقابلان في مستطيل متوازيان ومتقايسان:

3) في نفس المستطيل، الضلعان \([AI]\) و \([CD]\) متقابلان، إذن \((AI) \parallel (CD)\) و \(CD = AI = 3\,\text{cm}\).

ومن جهة أخرى \(IB = 3\,\text{cm}\) و \(I \in [AB]\) فـ\((IB) = (AI)\)، ومنه:

فللرباعي \(IBCD\) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان: إذن هو متوازي أضلاع.

4) \(O\) هو مركز المستطيل \(AICD\)، أي نقطة تقاطع قطريه \([AC]\) و \([ID]\)، وهو منتصف كلّ منهما. وبالخصوص \(O\) منتصف \([AC]\).

وفي المثلّث \(ABC\): \(O\) منتصف \([AC]\) و \(J\) منتصف \([BC]\)، فالمستقيم \((OJ)\) هو مستقيم المنتصفين المتعلّق بالضلع \([AB]\):

تمهيد. \((xz)\) و \((yt)\) مستقيمان متقاطعان في \(O\)، فـ\([Ox)\) و \([Oz)\) متقابلان، وكذلك \([Oy)\) و \([Ot)\). إذن الزاويتان \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{zOt}\) متقابلتان بالرأس، فهما متقايستان:

2) \(\Delta\) مماس في \(C\) إذن \((OC) \perp \Delta\) ومنه \(\widehat{OCA} = 90^\circ\)؛ و \(\Delta'\) مماس في \(B\) إذن \(\widehat{OBA} = 90^\circ\).

ومجموع زوايا الرباعي \(OCAB\) يساوي \(360^\circ\):

3) أ) بعد \(O\) عن الضلع \([AC)\) هو \(OC = 4\,\text{cm}\) (لأن \((OC) \perp \Delta\))، وبعده عن الضلع \([AB)\) هو \(OB = 4\,\text{cm}\) (لأن \((OB) \perp \Delta'\)).

فالنقطة \(O\) داخل الزاوية \(\widehat{CAB}\) وعلى نفس البعد من ضلعيها، إذن \([AO)\) هو منصّفها.

3) ب) \(\widehat{CAO} = \dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ\). وفي المثلّث \(AOC\) القائم في \(C\):

3) ج) بنفس الحساب في المثلّث \(AOB\) القائم في \(B\) نجد \(\widehat{AOB} = 35^\circ\). ومنه:

إذن \([OA)\) يقسم الزاوية \(\widehat{BOC}\) إلى زاويتين متقايستين: فهو منصّفها.

4) أ) الزاويتان \(\widehat{AOC}\) و \(\widehat{COU}\) متجاورتان ومتتامّتان، إذن:

4) ب) في المثلّث \(OBC\) لدينا \(OB = OC = 4\,\text{cm}\) (شعاعان)، فهو متقايس الساقين رأسه \(O\) وزاويته الرئيسية \(\widehat{BOC} = 70^\circ\):

فالزاويتان \(\widehat{COU}\) و \(\widehat{OCB}\) متقايستان، وهما متبادلتان داخلياً بالنسبة إلى القاطع \((OC)\) للمستقيمين \((OU)\) و \((BC)\). ومنه:

في المربّع \(AMIE\) (رؤوسه بهذا الترتيب) القطران هما \([AI]\) و \([ME]\)، أمّا \([AM]\) و \([MI]\) و \([IE]\) و \([EA]\) فهي الأضلاع.

• قطرا المربّع متعامدان، إذن \((ME) \perp (AI)\).
• \(\Delta \perp (AI)\) بالبناء، والنقطة \(L\) على \(\Delta\)، إذن \((AL) \perp (AI)\).

ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان:

الزاوية في A. \(\Delta \perp (AI)\) بالبناء، إذن \(\widehat{LAI} = 90^\circ\).

الزاوية في I. الزاوية الداخلية للمربّع في الرأس \(I\) هي \(\widehat{MIE} = 90^\circ\) (بين الضلعين \([IM]\) و \([IE]\)). والقطر \([IA]\) ينصّف هذه الزاوية القائمة، إذن:

والنقطة \(L\) تقع على نصف المستقيم \([IE)\)، إذن \(\widehat{AIL} = \widehat{AIE} = 45^\circ\).

الزاوية في L. مجموع زوايا المثلّث \(ALI\) يساوي \(180^\circ\):

الاستنتاج. \(\widehat{ALI} = \widehat{AIL} = 45^\circ\): المثلّث \(ALI\) متقايس الضلعين قمّته الرئيسية \(A\)، ومنه:

[1] المثلث OIB متقايس الأضلاع. المثلّث \(OBC\) قائم في \(B\) ووتره \([OC]\)، و \(I\) منتصف هذا الوتر. ومنتصف وتر مثلّث قائم هو مركز دائرته المحيطة، إذن:

فالمثلّث \(OIB\) متقايس الساقين رأسه \(I\)، وزاويته في \(O\) تساوي \(\widehat{BOC} = 60^\circ\). وزاويتا قاعدته \([OB]\) متقايستان، إذن \(\widehat{IOB} = \widehat{IBO} = 60^\circ\) والثالثة \(60^\circ\) كذلك: المثلّث متقايس الأضلاع، ومنه \(OB = OI = IB\).

[2أ] BOEI معيّن.

• \(E \in \mathcal{C}\) ومركزها \(O\) وشعاعها \(OB\)، إذن \(OE = OB\).
• \(E \in \mathcal{C}'\) ومركزها \(I\) وشعاعها \(IB\)، إذن \(IE = IB\).

ومن السؤال 1: \(OB = OI = IB\). ومنه:

فللرباعي \(BOEI\) أربعة أضلاع متقايسة: إنّه معيّن.

[2ب] B و E و J على استقامة واحدة. قطرا المعيّن \(BOEI\) هما \([BE]\) و \([OI]\)، وهما يتقاطعان في منتصف كلّ منهما ويتعامدان.

وبما أنّ \(J\) هو منتصف \([OI]\)، فإنّ \(J\) هي نقطة تقاطع القطرين، أي \(J \in [BE]\). إذن \(B\) و \(E\) و \(J\) على استقامة واحدة، و \((BE) \perp (OI)\) في \(J\).

[3أ] DIJB مستطيل. نتحقّق أوّلاً من أنّ \(I \in \mathcal{C}\): فعلاً \(OI = OB\) (السؤال 1) وهو شعاع \(\mathcal{C}\). نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(DIJB\):

• في I: \(\Delta\) مماس لـ\(\mathcal{C}\) في \(I\)، إذن \(\Delta \perp (OI)\). و \(J \in [OI]\) و \(D \in \Delta\)، ومنه \(\widehat{DIJ} = 90^\circ\).
• في D: \(D\) هو المسقط العمودي لـ\(B\) على \(\Delta\)، إذن \((BD) \perp \Delta\)، ومنه \(\widehat{BDI} = 90^\circ\).
• في J: من السؤال 2ب، \((BE) \perp (OI)\) في \(J\)، ومنه \(\widehat{IJB} = 90^\circ\).

رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل، إذن \(DIJB\) مستطيل.

[3ب] DJ = OB. في المستطيل \(DIJB\) (رؤوسه بهذا الترتيب) القطران هما \([DJ]\) و \([IB]\)، وقطرا المستطيل متقايسان:

ومن السؤال 1: \(IB = OB\) (المثلّث \(OIB\) متقايس الأضلاع). إذن \(DJ = OB\).

الإجابة الصحيحة: ب) \(\widehat{ADB} = 70^\circ\).

1) في المستطيل، القطران متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما، إذن \(OA = OB = OC = OD\).

2) ومنه المثلّث \(BOC\) متقايس الساقين رأسه \(O\)، وزاويته الرئيسية \(\widehat{BOC} = 40^\circ\):

3) النقطة \(O\) تنتمي إلى القطر \([BD]\)، إذن \(\widehat{DBC} = \widehat{OBC} = 70^\circ\).

وفي المستطيل \((AD) \parallel (BC)\)، والمستقيم \((BD)\) قاطع لهما. فالزاويتان \(\widehat{ADB}\) و \(\widehat{DBC}\) متبادلتان داخلياً ومتقايستان:

[1أ] AICD مستطيل. نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(AICD\) (رؤوسه بهذا الترتيب).

• في I: المثلّث \(ABC\) متقايس الأضلاع و \(I\) منتصف \([BC]\)، إذن \((AI)\) هو الموسط العمودي لـ\([BC]\) ومنه \((AI) \perp (BC)\). وبما أنّ \(C \in (BC)\) فإنّ \(\widehat{AIC} = 90^\circ\).
• في A: \(\Delta \parallel (BC)\) و \((AI) \perp (BC)\)، إذن \((AI) \perp \Delta\). و \(D \in \Delta\)، ومنه \(\widehat{DAI} = 90^\circ\).
• في D: \(D\) هو المسقط العمودي لـ\(C\) على \(\Delta\)، إذن \((CD) \perp \Delta\)، ومنه \(\widehat{CDA} = 90^\circ\).

رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل: إذن \(AICD\) مستطيل.

[1ب] AB = DI. في المستطيل \(AICD\) القطران هما \([AC]\) و \([ID]\)، وقطرا المستطيل متقايسان، إذن \(DI = AC\).

والمثلّث \(ABC\) متقايس الأضلاع، إذن \(AC = AB\). ومنه:

[1ج] ABID متوازي أضلاع. نستعمل الضلعين \([BI]\) و \([AD]\) (وهما متقابلان في الرباعي \(ABID\)).

• التوازي: \([BI] \subset (BC)\) و \([AD] \subset \Delta\)، و \(\Delta \parallel (BC)\) بالبناء، إذن \((BI) \parallel (AD)\).
• التقايس: في المستطيل \(AICD\) الضلعان \([AD]\) و \([IC]\) متقابلان، إذن \(AD = IC = \dfrac{BC}{2}\). و \(I\) منتصف \([BC]\) إذن \(BI = \dfrac{BC}{2}\). ومنه \(BI = AD\).

فللرباعي \(ABID\) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان: إنّه متوازي أضلاع.

[1د] B و O و D على استقامة واحدة. قطرا متوازي الأضلاع \(ABID\) هما \([AI]\) و \([BD]\)، وهما يتقاطعان في منتصف كلّ منهما.

وبما أنّ \(O\) هو منتصف \([AI]\)، فإنّ \(O\) هي نقطة تقاطع القطرين، أي \(O \in [BD]\). إذن \(B\) و \(O\) و \(D\) على استقامة واحدة.

[1ب] ABCD معيّن. نستعمل خاصية القطرين.

• \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ\([AC]\)، إذن \(O\) منتصف \([AC]\) و \(OA = OC = 2\,\text{cm}\)، كما أنّ \(\Delta \perp (AC)\).
• \(B\) و \(D\) نقطتا تقاطع \(\Delta\) مع الدائرة \(\mathcal{C}\) التي مركزها \(O\)؛ و \(\Delta\) يمرّ بالمركز، فـ\([BD]\) قطر لها و \(O\) منتصفه، مع \(OB = OD = 3\,\text{cm}\).

فقطرا الرباعي \(ABCD\) هما \([AC]\) و \([BD]\)، ولهما نفس المنتصف \(O\): إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع. وهما كذلك متعامدان (\(\Delta \perp (AC)\)): ومتوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن.

[2أ] OCED مستطيل. نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(OCED\) (رؤوسه بهذا الترتيب).

• في O: \((OD) \subset \Delta\) و \(\Delta \perp (AC)\) و \(C \in (AC)\)، إذن \(\widehat{DOC} = 90^\circ\).
• في D: \(\Delta'\) مماس للدائرة في \(D\)، إذن \(\Delta' \perp (OD)\)، ومنه \(\widehat{ODE} = 90^\circ\).
• في E: \(E\) هو المسقط العمودي لـ\(C\) على \(\Delta'\)، إذن \((CE) \perp \Delta'\)، ومنه \(\widehat{CED} = 90^\circ\).

رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل: إذن \(OCED\) مستطيل.

[2ب] AB = OE. في المستطيل \(OCED\) القطران هما \([OE]\) و \([CD]\)، وقطرا المستطيل متقايسان، إذن \(OE = CD\).

وفي المعيّن \(ABCD\) كلّ الأضلاع متقايسة، إذن \(CD = AB\). ومنه:

الإجابة الصحيحة: ب) \(40^\circ\).

1) \((BF)\) منصّف الزاوية \(\widehat{DBC}\)، إذن:

2) في المستطيل \(ABCD\) لدينا \((AD) \parallel (BC)\)، والمستقيم \((BD)\) قاطع لهما. فالزاويتان \(\widehat{ADB}\) و \(\widehat{DBC}\) متبادلتان داخلياً ومتقايستان:

تحقّق بطريقة ثانية: المثلّث \(BCD\) قائم في \(C\)، إذن \(\widehat{BDC} = 90^\circ - \widehat{DBC} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). والزاوية \(\widehat{ADC} = 90^\circ\) (زاوية المستطيل)، ومنه \(\widehat{ADB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).

تنبيه: القيمة \(50^\circ\) هي قيس الزاوية \(\widehat{BDC}\) وليست قيس \(\widehat{ADB}\)؛ فالخيار ج) خاطئ.

1) في متوازي الأضلاع \(ABCD\) لدينا \((BC) \parallel (AD)\)، والمستقيم \((AB)\) قاطع لهما. فالزاويتان \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{BAD}\) داخليتان على نفس الجهة من القاطع، فهما متكاملتان:

2) النقطة \(F\) تنتمي إلى \([DC]\)، فنصف المستقيم \([AF)\) يقع داخل الزاوية \(\widehat{BAD}\)، والزاويتان \(\widehat{BAF}\) و \(\widehat{FAD}\) متجاورتان ومجموعهما \(\widehat{BAD}\):

$(BD) \perp (AC)$ أي متعامدان ✅

$E$ هي تقاطع المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(OC)$ مع المستقيم المار من $C$ والموازي لـ $(OB)$ ✅

$ABEF$ مستطيل ✅

نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(EFGH\) (رؤوسه بهذا الترتيب).

1) في F. \((EF)\) هو المماس للدائرة في \(F\)، والمماس عمودي على الشعاع في نقطة التماس، إذن \((EF) \perp (AF)\). وبما أنّ \(G \in (AF)\) فإنّ \((EF) \perp (FG)\)، أي \(\widehat{EFG} = 90^\circ\).

2) في G. \((GH) \parallel (EF)\) بالبناء، و \((EF) \perp (AF)\). وإذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر، إذن \((GH) \perp (AF) = (FG)\)، أي \(\widehat{FGH} = 90^\circ\).

3) في H. من البناء \((AF) \parallel (d)\)، و \(H\) و \(E\) تنتميان إلى \((BE) = (d)\). وبما أنّ \((GH) \perp (AF)\) فإنّ \((GH) \perp (d)\)، ومنه \(\widehat{GHE} = 90^\circ\).

الخلاصة. رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل:

ملاحظة: نستنتج بالخصوص أنّ الضلعين المتقابلين \([FG]\) و \([EH]\) متوازيان، لأنّ \([FG] \subset (AF)\) و \([EH] \subset (d)\) و \((AF) \parallel (d)\).

$(AM) \parallel (GH)$ ✅

نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(ABEF\) (رؤوسه بهذا الترتيب).

1) في B. \((d)\) مماس للدائرة في \(B\)، إذن \((d) \perp (AB)\). و \(E \in (d)\)، ومنه \(\widehat{ABE} = 90^\circ\).

2) في A. بالبناء \((AF) \parallel (d)\)، و \((AB) \perp (d)\). وإذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر، إذن \((AB) \perp (AF)\)، أي \(\widehat{BAF} = 90^\circ\).

3) في F. \((FE)\) هو المماس للدائرة في \(F\)، إذن \((FE) \perp (AF)\)، أي \(\widehat{AFE} = 90^\circ\).

الخلاصة. رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل، إذن \(ABEF\) مستطيل.

ملاحظة على التعليل: التوازي \((AF) \parallel (BE)\) ناتج ببساطة عن كون \((AF) \parallel (d)\) بالبناء وأنّ \(B\) و \(E\) تنتميان إلى \((d)\) — لا عن «توازي المماسين»، فالمماس في \(B\) والمماس في \(F\) ليسا متوازيين هنا (بل متعامدان، لأنّ \((AB) \perp (AF)\)).

نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(EFGH\) (رؤوسه بهذا الترتيب).

1) في F. \((EF)\) مماس للدائرة في \(F\)، إذن \((EF) \perp (AF)\). و \(G \in (AF)\)، ومنه \((EF) \perp (FG)\) أي \(\widehat{EFG} = 90^\circ\).

2) في G. \((GH) \parallel (EF)\) بالبناء، و \((EF) \perp (AF)\)، إذن \((GH) \perp (AF) = (FG)\) أي \(\widehat{FGH} = 90^\circ\).

3) في H. بالبناء \((AF) \parallel (d)\) و \((BE) = (d)\)، ومنه \((GH) \perp (BE)\) أي \(\widehat{GHE} = 90^\circ\).

الخلاصة. رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل:

ملاحظة: بما أنّ \((AF)\) يمرّ بالمركز \(A\)، فإنّ \([FG]\) قطر للدائرة و \(FG = 12\,\text{cm}\).

$(AM) \parallel (GH)$ ✅

$(OI) \perp (AB)$ ✅

$(OJ) \perp (AD)$ ✅

$IJ=4 \, cm$ ✅

1أ) نُنشئ \(D\) على نصف المستقيم المقابل لـ\([IB)\) حيث \(ID = IB\)، فتكون \(I\) منتصف \([BD]\).

2ب) BDCE متوازي الأضلاع. في المثلّث \(AEC\): النقطة \(B\) منتصف \([AE]\) والنقطة \(I\) منتصف \([AC]\)، فالمستقيم \((BI)\) هو مستقيم المنتصفين:

ومن جهة أخرى \(I\) منتصف \([BD]\)، إذن \(BD = 2 \times BI = EC\). وكذلك \((BD) = (BI) \parallel (EC)\).

فللرباعي \(BDCE\) ضلعان متقابلان (\([BD]\) و \([EC]\)) متوازيان ومتقايسان: إنّه متوازي أضلاع.

3) MBIC معيّن.

أولاً: متوازي أضلاع. \(M\) منتصف \([EC]\)، إذن \(MC = \dfrac{EC}{2} = BI\). و \((MC) = (EC) \parallel (BI)\). فللرباعي \(MBIC\) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان: إنّه متوازي أضلاع.

ثانياً: ضلعان متجاوران متقايسان. المثلّث قائم في \(B\)، أي \((BC) \perp (AB) = (AE)\)، و \(B\) منتصف \([AE]\): إذن \((BC)\) هو الموسط العمودي لـ\([AE]\)، ومنه \(CA = CE\).

وبالتالي:

متوازي أضلاع له ضلعان متجاوران متقايسان هو معيّن: إذن \(MBIC\) معيّن.

1ج) ACBD مربع. قطرا الرباعي \(ACBD\) هما \([AB]\) و \([CD]\)، وهما قطران للدائرة:

• يتقاطعان في المركز \(O\) وهو منتصف كلّ منهما؛
• متقايسان: \(AB = CD = 8\,\text{cm}\)؛
• متعامدان بالفرض.

رباعي قطراه متقايسان ومتعامدان ويتقاطعان في منتصفهما هو مربّع.

1د) \([AB]\) قطر للدائرة و \(C\) نقطة منها، فالمثلّث \(ACB\) قائم الزاوية في \(C\):

(ويمكن أيضاً القول: زاوية المربّع \(ACBD\) في الرأس \(C\) قائمة.)

2أ) OAEC مربع. نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(OAEC\) (رؤوسه بهذا الترتيب):

• في O: \((AB) \perp (CD)\) بالفرض، إذن \(\widehat{AOC} = 90^\circ\).
• في A: \(\Delta \parallel (CD)\) و \((AB) \perp (CD)\)، إذن \(\Delta \perp (AB)\) ومنه \(\widehat{OAE} = 90^\circ\).
• في C: \(\Delta' \parallel (AB)\) و \((CD) \perp (AB)\)، إذن \(\Delta' \perp (CD)\) ومنه \(\widehat{OCE} = 90^\circ\).

فالرباعي مستطيل. وأخيراً \(OA = OC = 4\,\text{cm}\) (شعاعان)، ومستطيل له ضلعان متجاوران متقايسان هو مربّع.

3) OECB متوازي أضلاع. نستعمل الضلعين المتقابلين \([EC]\) و \([BO]\):

• التقايس: في المربّع \(OAEC\) الضلعان \([EC]\) و \([AO]\) متقابلان، إذن \(EC = AO = 4\,\text{cm}\). و \(OB = 4\,\text{cm}\) (شعاع)، ومنه \(EC = OB\).
• التوازي: \((EC) = \Delta' \parallel (AB)\) بالبناء، و \(O\) و \(B\) على \((AB)\)، إذن \((EC) \parallel (OB)\).

ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان: إذن \(OECB\) متوازي أضلاع.

وبالتالي ضلعاه المتقابلان الآخران متوازيان كذلك:

تنبيه: في المربّع \(OAEC\) القطعتان \([OE]\) و \([AC]\) هما القطران: فهما متعامدان (لا متوازيين)، وطول كلّ منهما أكبر من طول الضلع.

الإجابة الصحيحة: ب) \(40^\circ\).

1) \((BF)\) منصّف الزاوية \(\widehat{DBC}\)، إذن:

2) في المستطيل \(ABCD\) لدينا \((AD) \parallel (BC)\)، والمستقيم \((BD)\) قاطع لهما. فالزاويتان \(\widehat{ADB}\) و \(\widehat{DBC}\) متبادلتان داخلياً ومتقايستان:

تحقّق بطريقة ثانية: المثلّث \(BCD\) قائم في \(C\)، إذن \(\widehat{BDC} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)؛ وبما أنّ \(\widehat{ADC} = 90^\circ\) فإنّ \(\widehat{ADB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).

تنبيه: القيمة \(50^\circ\) هي قيس \(\widehat{BDC}\) لا قيس \(\widehat{ADB}\)؛ فالخيار ج) خاطئ.

1أ) ABID مستطيل. شبه المنحرف قائم في \(A\) و \(D\)، أي \((AD) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (DC)\)، ومنه \((AB) \parallel (DC)\).

نبيّن ثلاث زوايا قائمة في الرباعي \(ABID\) (رؤوسه بهذا الترتيب):

• في A: \(\widehat{DAB} = 90^\circ\) (شبه المنحرف قائم في \(A\)).
• في I: \(I\) هو المسقط العمودي لـ\(B\) على \((DC)\)، إذن \((BI) \perp (DC)\) ومنه \(\widehat{BID} = 90^\circ\).
• في B: \((BI) \perp (DC)\) و \((DC) \parallel (AB)\)، إذن \((BI) \perp (AB)\) ومنه \(\widehat{ABI} = 90^\circ\).

رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل: إذن \(ABID\) مستطيل، وبالخصوص \(DI = AB = 4\,\text{cm}\) و \(BI = AD = 3\,\text{cm}\).

1ب) O و B و D على استقامة واحدة. قطرا المستطيل \(ABID\) هما \([AI]\) و \([BD]\)، وهما يتقاطعان في منتصف كلّ منهما.

و \(O\) منتصف \([AI]\) بالفرض، إذن \(O\) هي نقطة تقاطع القطرين، ومنه \(O \in [BD]\): النقاط \(O\) و \(B\) و \(D\) على استقامة واحدة.

1ج) طبيعة المثلث BDC. قطرا المستطيل متقايسان، إذن:

ومن المعطيات \(DC = 5\,\text{cm}\). ومنه \(DB = DC = 5\,\text{cm}\):

ملاحظة: النقطة \(I\) تقع بين \(D\) و \(C\) لأنّ \(DI = 4\,\text{cm} < DC = 5\,\text{cm}\)، ومنه \(IC = 5 - 4 = 1\,\text{cm}\).

ABCD معيّن ✅

• O منتصف [AC] و O على Δ → AO = OC
• B و D على Δ الموسط العمودي لـ [AC] → BA = BC و DA = DC
• الأضلاع الأربعة متقايسة
• ✅ ABCD معيّن

1) (DE) ∥ (AC). المماس في \(D\) عمودي على الشعاع \([OD]\)، و \([OD] \subset \Delta\)، إذن \((DE) \perp \Delta\).

ومن جهة أخرى \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ\([AC]\)، إذن \((AC) \perp \Delta\).

ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم \(\Delta\) متوازيان:

2) DE = AC. بما أنّ \(\Delta\) يمرّ بالمركز \(O\)، فإنّ \([BD]\) قطر للدائرة و \(O\) منتصفه.

نعتبر المثلّث \(BDE\): النقطة \(O\) منتصف \([BD]\)، والمستقيم \((OC) = (AC)\) يمرّ من \(O\) وهو موازٍ للضلع \([DE]\). إذن (بخاصية مستقيم المنتصفين) هو يقطع الضلع \([BE]\) في منتصفه، وهذا المنتصف هو \(C\)، مع:

3) الاستنتاج. للرباعي \(ACED\) ضلعان متقابلان (\([AC]\) و \([ED]\)) متوازيان ومتقايسان: إنّه متوازي أضلاع.

تنبيه: المستقيم \((OD)\) هو \(\Delta\) نفسه، وهو ليس موازياً لـ\((CE)\)؛ التوازي الصحيح في هذا الشكل هو \((AD) \parallel (CE)\) (وهو الضلعان الآخران لمتوازي الأضلاع).

DE = AC = 4cm ✅

C منتصف [BE] ✅

• ABCD معيّن → BC = CD
• ACED متوازي الأضلاع → CE = AD
• بالحساب نستنتج أن C منتصف [BE]
• ✅ C منتصف [BE]

1) F هي منتصف [CD]. بيّنّا في السؤال السابق أنّ \(ACED\) متوازي أضلاع، وقطراه هما \([AE]\) و \([CD]\).

وقطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصف كلّ منهما، والنقطة \(F\) هي بالضبط نقطة تقاطعهما، إذن:

2) الرباعي OCID مستطيل. نبيّن ثلاث زوايا قائمة (الرؤوس بالترتيب \(O\)، \(C\)، \(I\)، \(D\)):

• في O: \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ\([AC]\)، إذن \((OD) \perp (OC)\) ومنه \(\widehat{DOC} = 90^\circ\).
• في I: \(I\) هو المسقط العمودي لـ\(C\) على \((DE)\)، إذن \((CI) \perp (DE)\)، ومنه \(\widehat{CID} = 90^\circ\) (لأنّ \(D \in (DE)\)).
• في C: \((CI) \perp (DE)\) و \((DE) \parallel (AC)\) (السؤال السابق)، إذن \((CI) \perp (AC) = (OC)\)، ومنه \(\widehat{OCI} = 90^\circ\).

رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو مستطيل: إذن \(OCID\) مستطيل.

3) الاستنتاج. قطرا المستطيل \(OCID\) هما \([OI]\) و \([CD]\)، وهما يتقاطعان في منتصف كلّ منهما.

ومنتصف \([CD]\) هو \(F\) (الخطوة 1)، إذن \(F\) هي أيضاً منتصف \([OI]\). وبالتالي:

تنبيه: المستقيمان \((AE)\) و \((CD)\) ليسا متوازيين: فهما قطرا متوازي الأضلاع \(ACED\)، ولهذا يتقاطعان فعلاً في \(F\) كما ينصّ عليه نص التمرين.