المعطيات: نعتبر مربع \(ABCD\) يبلغ طول ضلعه 3cm.
أثبت أن المستقيمين \((AC)\) و \((BD)\) متعامدان.
فكر في استعمال خاصية المتوسط العمودي. إذا كانت نقطة معينة متساوية البعد عن نقطتين، فإن هذه النقطة تنتمي للمتوسط العمودي للقطعة المحددة بهاتين النقطتين.
في المربع، هل النقطتان A و C متساويتا البعد عن B و D؟
لإثبات تعامد قطري المربع باستخدام خاصية المتوسط العمودي:
بما أن \(ABCD\) مربع، فإن جميع أضلاعه متساوية:
\(AB = BC = CD = DA = 3\) cm
لنتحقق من أن A و C متساويتا البعد عن B و D:
إذن النقطة A متساوية البعد عن B و D، والنقطة C متساوية البعد عن B و D.
بما أن النقطتين A و C كلاهما متساويتا البعد عن النقطتين B و D، فإن المستقيم \((AC)\) هو المتوسط العمودي للقطعة \([BD]\).
ومن تعريف المتوسط العمودي، نستنتج أن: \((AC) \perp (BD)\)
المعطيات: نعتبر مربع \(ABCD\) يبلغ طول ضلعه 3cm.
لتكن \(O\) نقطة تقاطع \((AC)\) و \((BD)\). أثبت أن \(O\) منتصف \([BD]\).
استخدم نتيجة التمرين السابق! إذا كان \((AC)\) هو المتوسط العمودي للقطعة \([BD]\)، فماذا يمكن أن نقول عن نقطة تقاطعهما؟
من التمرين 1، أثبتنا أن \((AC)\) هو المتوسط العمودي للقطعة \([BD]\).
من تعريف المتوسط العمودي: المتوسط العمودي لقطعة هو المستقيم العمودي عليها والمار بمنتصفها.
بما أن \((AC)\) هو المتوسط العمودي للقطعة \([BD]\)، فإن \((AC)\) يمر بمنتصف \([BD]\).
وبما أن \(O\) هي نقطة تقاطع \((AC)\) و \((BD)\)، فإن \(O\) هي منتصف القطعة \([BD]\).
(وبنفس الطريقة، يمكن إثبات أن \(O\) هي أيضاً منتصف القطعة \([AC]\)).
المعطيات: نعتبر مربع \(ABCD\) يبلغ طول ضلعه 3cm، و \(O\) نقطة تقاطع قطريه.
استنتج أن \((AC)\) هو المتوسط العمودي للقطعة \([BD]\).
ما هما الشرطان اللذان يجب أن يحققهما مستقيم ليكون متوسطاً عمودياً لقطعة؟ هل يمكنك إثباتهما باستخدام نتائج السؤالين السابقين؟
لإثبات أن \((AC)\) هو المتوسط العمودي لـ \([BD]\)، يجب إثبات أمرين:
بما أن الشرطين محققان، يمكنك استنتاج المطلوب.
من التمرين 1، نعلم أن قطري المربع متعامدان، أي \((AC) \perp (BD)\).
من التمرين 2، نعلم أن القطرين ينصف كل منهما الآخر، أي أن \(O\) هي منتصف \([BD]\)، والمستقيم \((AC)\) يمر بالنقطة \(O\).
بما أن المستقيم \((AC)\) عمودي على القطعة \([BD]\) ويمر بمنتصفها، فإن \((AC)\) هو المتوسط العمودي للقطعة \([BD]\).
المعطيات: نعتبر مربع \(ABCD\) يبلغ طول ضلعه 3cm، و \(O\) نقطة تقاطع قطريه.
ارسم المستقيم \(\Delta\) المار من \(B\) والعمودي على \((BD)\). بين أن \((AC) \parallel \Delta\).
ما هي العلاقة الهندسية بين مستقيمين عموديين على نفس المستقيم الثالث؟
لدينا من المعطيات أن المستقيم \(\Delta\) عمودي على \((BD)\)، أي \(\Delta \perp (BD)\).
ولدينا من التمرين 1 أن المستقيم \((AC)\) عمودي على \((BD)\)، أي \((AC) \perp (BD)\).
بما أن المستقيمين \((AC)\) و \(\Delta\) كلاهما عمودي على نفس المستقيم الثالث \((BD)\)، فإنهما متوازيان.
إذاً، \((AC) \parallel \Delta\).
المعطيات: نعتبر مربع \(ABCD\) والمستقيم \(\Delta\) المار من \(B\) والعمودي على \((BD)\).
لتكن \(E\) نقطة تحقق أن المستقيم \((BE)\) يوازي \((AC)\). أثبت أن النقطة \(E\) تنتمي إلى المستقيم \(\Delta\).
إذا كان مستقيمان متوازيين ويشتركان في نقطة واحدة، فماذا يمكن أن نقول عنهما؟
لدينا \((BE) \parallel (AC)\) (حسب المعطيات).
ومن التمرين السابق، نعلم أن \((AC) \parallel \Delta\).
بخاصية التعدي للتوازي، نستنتج أن \((BE) \parallel \Delta\).
بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن النقطة \(B\) تنتمي إلى المستقيم \((BE)\) (من تعريفه) وأيضاً تنتمي إلى المستقيم \(\Delta\) (من تعريفه).
إذاً، المستقيمان \((BE)\) و \(\Delta\) متوازيان ويشتركان في النقطة \(B\). هذا يعني أنهما مستقيمان متطابقان: \((BE) = \Delta\).
بما أن \(E\) تنتمي إلى المستقيم \((BE)\)، فإنها بالضرورة تنتمي إلى المستقيم المطابق له \(\Delta\).
إذاً، \(E \in \Delta\).