تمارين حول الموسط العمودي

دفواراتي
المثلث متقايس الضلعين
تمرين 4

ابن مثلثًا ABC متقايس الضلعين حيث AB = AC = 5cm و BC = 4cm.
عيّن النقطة O منتصف [BC].

  1. بيّن أن المستقيم (OA) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].
  2. لتكن M نقطة من المستقيم (OA). ما هي طبيعة المثلث MBC؟ علل جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ما هي خصائص المثلث متقايس الضلعين؟ ركز على المستقيم المار من الرأس الأساسي ومنتصف القاعدة.
  • لإثبات أن مستقيم هو موسط عمودي لقطعة، يجب إثبات شرطين: التعامد والمرور بالمنتصف.
  • تذكر الخاصية الأساسية لنقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة.

📝 الطريقة

1) إثبات أن (OA) هو الموسط العمودي:

  • في المثلث ABC المتقايس الضلعين ورأسه الأساسي A، المستقيم (AO) هو الموسط المتعلق بالقاعدة [BC] لأنه يمر من A ومنتصف [BC].
  • استخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين التي تقول إن الموسط الصادر من الرأس الأساسي يكون أيضًا ارتفاعًا.
  • بما أن (AO) هو ارتفاع، فهو عمودي على [BC]. وبما أنه يمر من المنتصف O، فهو إذن الموسط العمودي.

2) طبيعة المثلث MBC:

  • لدينا النقطة M تنتمي إلى (OA)، والذي أثبتنا أنه الموسط العمودي لـ [BC].
  • طبق خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • استنتج العلاقة بين MB و MC، ومن ثم طبيعة المثلث MBC.

✅ الحل الكامل

1) بيّن أن (OA) هو الموسط العمودي للقطعة [BC]:

  • لدينا المثلث ABC متقايس الضلعين في A (حيث AB = AC).
  • لدينا O منتصف القاعدة [BC].
  • في المثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من الرأس الأساسي (وهو هنا المستقيم (AO)) يكون أيضًا ارتفاعًا وحاملاً للموسط العمودي للقاعدة.
  • إذًا، (AO) عمودي على [BC] في منتصفها O.
  • نستنتج أن (OA) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].

2) طبيعة المثلث MBC:

  • النقطة M تنتمي إلى المستقيم (OA).
  • بما أن (OA) هو الموسط العمودي للقطعة [BC]، فإن أي نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة B و C.
  • إذًا، البعد MB تساوي البعد MC.
  • بما أن للمثلث MBC ضلعين متساويين (MB = MC)، فإن المثلث MBC متقايس الضلعين في M.
المركز المحيطي والدائرة المحيطة
تمرين 5

ابن مثلثًا ABC حيث AB = 6cm و BC = 5cm و AC = 4cm.

  1. ابن المستقيمين Δ و 'Δ، وهما الموسطان العموديان لكل من [AB] و [AC] على التوالي. يتقاطع Δ و 'Δ في النقطة K.
  2. بيّن أن KB = KC.
  3. لتكن L منتصف [BC]. أثبت أن المستقيم (KL) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].
  4. ارسم الدائرة Շ التي مركزها K والمّارة من A. بيّن أن النقطتين B و C تنتميان إلى Շ.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • النقطة K هي نقطة تلاقي الموسطين العموديين. ماذا تمثل هذه النقطة بالنسبة للمثلث؟
  • استخدم خاصية التعدي (إذا كان أ=ب و ب=ج فإن أ=ج) للإجابة على السؤال 2.
  • لإثبات أن (KL) هو الموسط العمودي، استخدم الخاصية العكسية.
  • ما هي العلاقة بين البعد KA, KB, KC؟

📝 الطريقة

2) إثبات أن KB = KC:

  • النقطة K تنتمي إلى Δ، الموسط العمودي لـ [AB]. إذًا KA = ...
  • النقطة K تنتمي إلى 'Δ، الموسط العمودي لـ [AC]. إذًا KA = ...
  • اربط بين هاتين المساواتين لتستنتج العلاقة بين KB و KC.

3) إثبات أن (KL) هو الموسط العمودي:

  • من السؤال السابق، أثبتت أن KB = KC. هذا يعني أن K متساوية البعد عن B و C. إذًا K تنتمي إلى...
  • نعلم أن L هي منتصف [BC].
  • المستقيم المار من L و K هو إذن...

4) الدائرة Շ:

  • أثبتنا أن KA = KB = KC. هذا يعني أن النقاط A, B, C كلها متساوية البعد عن النقطة K.
  • ماذا يعني هذا بالنسبة لدائرة مركزها K وتمر بإحدى هذه النقاط؟

✅ الحل الكامل

2) بيّن أن KB = KC:

  • لدينا K تنتمي إلى Δ، الموسط العمودي لـ [AB]. إذًا KA = KB.
  • ولدينا K تنتمي إلى 'Δ، الموسط العمودي لـ [AC]. إذًا KA = KC.
  • بما أن KA = KB و KA = KC، فإننا نستنتج أن KB = KC.

3) أثبت أن (KL) هو الموسط العمودي للقطعة [BC]:

  • من السؤال السابق، أثبتنا أن KB = KC. هذا يعني أن النقطة K متساوية البعد عن طرفي القطعة [BC]. إذًا K تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [BC].
  • نعلم أن L هي منتصف [BC].
  • المستقيم (KL) يمر من نقطة (K) تنتمي للموسط العمودي ومن منتصف القطعة (L)، لكن هذا لا يكفي. بما أن K تنتمي للموسط العمودي لـ [BC] و L تنتمي للموسط العمودي لـ [BC] (لأنها المنتصف)، فإن المستقيم الذي يربطهما (KL) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].

4) ارسم الدائرة Շ وبيّن أن B و C تنتميان إليها:

  • أثبتنا أن KA = KB = KC.
  • الدائرة Շ مركزها K وتمر من A، يعني أن نصف قطرها هو KA.
  • بما أن KB = KA، فإن النقطة B تبعد عن المركز K بنفس نصف القطر، إذًا B تنتمي إلى Շ.
  • بما أن KC = KA، فإن النقطة C تبعد عن المركز K بنفس نصف القطر، إذًا C تنتمي إلى Շ.