خصائص الموسط العمودي

دفواراتي
إنشاء الموسطات العمودية بالمسطرة
تمرين 4

ارسم مثلثًا NOE على ورقتك.

  1. أنشئ الموسطات العمودية لأضلاع المثلث الثلاثة باستخدام المسطرة والمثلث القائم ثم قم بترميز الشكل.
  2. ماذا تلاحظ؟
  3. ارسم الدائرة المارة بالنقاط N و O و E.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • لإنشاء الموسط العمودي، تحتاج إلى شيئين: منتصف القطعة والتعامد عليها.
  • هل تتلاقى المستقيمات الثلاثة التي رسمتها في نقطة واحدة؟ هذه الملاحظة هي مفتاح التمرين.
  • ما علاقة نقطة التلاقي هذه بالدائرة المطلوبة؟

📝 الطريقة

1) خطوات الإنشاء:

  • لكل ضلع (مثلاً [NO]): قس طوله بالمسطرة وحدد نقطة المنتصف. ثم ضع المثلث القائم على الضلع وارسم المستقيم العمودي المار من المنتصف.
  • كرر العملية للضلعين الآخرين.
  • لا تنس الترميز: ضع رمز الزاوية القائمة وعلامات تساوي على أنصاف كل ضلع.

3) خطوات رسم الدائرة:

  • تسمى هذه الدائرة "الدائرة المحيطة بالمثلث".
  • نقطة تلاقي الموسطات العمودية هي مركز هذه الدائرة.
  • ضع رأس البركار على نقطة التلاقي، واضبط الفتحة لتصل إلى أحد رؤوس المثلث (N مثلاً)، ثم ارسم الدائرة.

✅ الحل الكامل

1) الملاحظة:

  • نلاحظ أن الموسطات العمودية الثلاثة لأضلاع المثلث تلتقي جميعها في نقطة واحدة. هذه الخاصية صحيحة لجميع المثلثات. تُسمى نقطة التلاقي هذه بالمركز المحيطي للمثلث.

2) رسم الدائرة المارة بالنقاط N و O و E:

  • مركز هذه الدائرة (الدائرة المحيطة) هو نقطة تلاقي الموسطات العمودية.
  • لرسم الدائرة، نضع رأس البركار على المركز المحيطي، ونفتح البركار حتى يصل القلم إلى إحدى رؤوس المثلث (N أو O أو E).
  • عند رسم الدائرة، نلاحظ أنها تمر بالرأسين الآخرين تلقائيًا، لأن المركز المحيطي متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة.
إنشاء الموسطات العمودية بالبركار
تمرين 5

ارسم مثلثًا ALI على ورقتك.

  1. أنشئ الموسطات العمودية لأضلاع المثلث الثلاثة باستخدام المسطرة والبركار ثم قم بترميز الشكل.
  2. ماذا تلاحظ؟
  3. ارسم الدائرة المحيطة بالمثلث ALI.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • تذكر أن البركار هو الأداة المثالية لإنشاء الموسط العمودي بدقة.
  • لإنشاء الموسط العمودي لقطعة، تحتاج إلى رسم أقواس من طرفي القطعة بنفس الفتحة.
  • هل تلاحظ نفس الظاهرة كما في التمرين السابق؟

📝 الطريقة

1) خطوات الإنشاء بالبركار (مثال للضلع [AL]):

  1. ضع رأس البركار على A، واختر فتحة أكبر من نصف طول [AL]، ثم ارسم قوسًا.
  2. احتفظ بنفس الفتحة، ضع رأس البركار على L، وارسم قوسًا ثانيًا يقطع القوس الأول في نقطتين.
  3. صل بين نقطتي التقاطع باستخدام المسطرة. هذا هو الموسط العمودي.
  4. كرر هذه الخطوات للضلعين الآخرين.

3) الدائرة المحيطة:

  • كما في التمرين السابق، المركز هو نقطة تلاقي الموسطات، ونصف القطر هو البعد من المركز إلى أي رأس.

✅ الحل الكامل

1) الملاحظة:

  • تمامًا كما في التمرين 4، نلاحظ أن الموسطات العمودية الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة. هذه النقطة هي المركز المحيطي للمثلث ALI.

2) رسم الدائرة المحيطة بالمثلث ALI:

  • مركز الدائرة هو نقطة تقاطع الموسطات العمودية.
  • نصف قطرها هو البعد بين هذا المركز وأي رأس من رؤوس المثلث (A أو L أو I).
  • باستخدام البركار، نرسم الدائرة التي مركزها هذه النقطة وتمر بالرؤوس الثلاثة.
تحليل خصائص الموسط العمودي
تمرين 6

نعتبر الشكل أدناه:

شكل هندسي للتمرين 6
  1. ماذا يمثل المستقيم (LS) بالنسبة للقطعة [EI]؟ برّر.
  2. ماذا يمكن أن نقول عن الطولين LE و LI؟ برّر.
  3. ما هي طبيعة المثلث ELI؟ برّر.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • انتبه جيدًا للرموز الموجودة على الشكل: رمز الزاوية القائمة والشرطات الزرقاء. ماذا تعني؟
  • تذكر الخاصية الأساسية لنقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة.
  • ماذا نسمي مثلثًا له ضلعان متساويان؟

📝 الطريقة

1) تعريف (LS):

  • من الشكل، نرى أن (LS) عمودي على [EI].
  • ونرى أيضًا أن S هي منتصف [EI].
  • اجمع هاتين المعلومتين للوصول إلى التعريف الصحيح لـ (LS).

2) و 3) طبيعة المثلث:

  • لاحظ أن النقطة L تنتمي للمستقيم (LS).
  • بما أن (LS) هو الموسط العمودي لـ [EI]، طبق الخاصية التي تربط النقطة L بطرفي القطعة E و I.
  • استنتج طبيعة المثلث ELI من هذه الخاصية.

✅ الحل الكامل

1) المستقيم (LS) والقطعة [EI]:

  • من الترميز على الشكل، نرى أن (LS) عمودي على [EI] وأن S هي منتصف [EI].
  • المستقيم الذي يمر بمنتصف قطعة ويكون عموديًا عليها هو الموسط العمودي لهذه القطعة.
  • إذًا، المستقيم (LS) هو الموسط العمودي للقطعة [EI].

2) و 3) طبيعة المثلث ELI:

  • النقطة L تنتمي إلى (LS)، وهو الموسط العمودي للقطعة [EI].
  • خاصية الموسط العمودي تقول أن كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • إذًا، البعد من L إلى E تساوي البعد من L إلى I. أي أن LE = LI.
  • المثلث الذي له ضلعان متساويان هو مثلث متقايس الضلعين.
  • إذًا، المثلث ELI هو مثلث متقايس الضلعين رأسه L.
الموسط العمودي في الطائرة الورقية
تمرين 7

نعتبر الطائرة الورقية (cerf-volant) أدناه:

شكل هندسي للتمرين 7
  1. برّر لماذا تنتمي النقطة U إلى الموسط العمودي للقطعة [OR].
  2. برّر لماذا تنتمي النقطة N إلى الموسط العمودي للقطعة [OR].
  3. استنتج أن المستقيمين (NU) و (OR) متعامدان.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • استخدم الخاصية العكسية للموسط العمودي: إذا كانت نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة، فماذا نستنتج؟
  • انظر إلى الرموز على الأضلاع [UO] و [UR]، ثم على [NO] و [NR].
  • إذا كانت نقطتان تنتميان إلى الموسط العمودي لقطعة، فماذا يمثل المستقيم المار بهاتين النقطتين؟

📝 الطريقة

1) إثبات انتماء U:

  • من الترميز، لدينا UO = UR. هذا يعني أن U متساوية البعد عن O و R.
  • طبق الخاصية العكسية للموسط العمودي.

2) إثبات انتماء N:

  • من الترميز، لدينا NO = NR. هذا يعني أن N متساوية البعد عن O و R.
  • طبق نفس الخاصية مرة أخرى.

3) استنتاج التعامد:

  • لقد أثبتت أن N و U تنتميان إلى الموسط العمودي لـ [OR].
  • إذًا، المستقيم (NU) هو نفسه الموسط العمودي لـ [OR].
  • ما هي العلاقة بين موسط عمودي والقطعة التي ينصفها؟

✅ الحل الكامل

1) انتماء النقطة U للموسط العمودي لـ [OR]:

  • من الترميز، لدينا UO = UR. هذا يعني أن النقطة U متساوية البعد عن طرفي القطعة [OR].
  • حسب الخاصية العكسية للموسط العمودي، فإن كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة تنتمي إلى الموسط العمودي لهذه القطعة.
  • لذلك، النقطة U تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [OR].

2) انتماء النقطة N للموسط العمودي لـ [OR]:

  • من الترميز، لدينا NO = NR. هذا يعني أن النقطة N متساوية البعد عن طرفي القطعة [OR].
  • لذلك، النقطة N تنتمي أيضًا إلى الموسط العمودي للقطعة [OR].

3) استنتاج أن (NU) و (OR) متعامدان:

  • أثبتنا أن النقطتين U و N تنتميان كلاهما إلى الموسط العمودي للقطعة [OR].
  • بما أن نقطتين تحددان مستقيمًا واحدًا، فإن المستقيم (NU) هو نفسه الموسط العمودي للقطعة [OR].
  • من تعريف الموسط العمودي، فإنه يكون عموديًا على القطعة.
  • لذلك، نستنتج أن المستقيم (NU) عمودي على المستقيم (OR).