التمرين 4

ارسم مثلثًا NOE على ورقتك.

  1. أنشئ المنصّفات العمودية لأضلاع المثلث الثلاثة باستخدام المسطرة والمثلث القائم ثم قم بترميز الشكل.
  2. ماذا تلاحظ؟
  3. ارسم الدائرة المارة بالنقاط N و O و E.
إظهار/إخفاء الحل المفصّل

تصحيح مفصل للتمرين الرابع

1) إنشاء المنصّفات العمودية:

  • المنصّف العمودي للضلع [NO]: باستخدام المسطرة، حدد منتصف القطعة [NO]. ثم ضع أحد أضلاع الزاوية القائمة للمثلث القائم على الضلع [NO] وارسم مستقيمًا يمر من المنتصف. هذا هو المنصّف العمودي الأول.
  • المنصّف العمودي للضلع [OE]: كرر نفس العملية لتحديد منتصف [OE] ورسم العمودي عليه من تلك النقطة.
  • المنصّف العمودي للضلع [EN]: كرر العملية مرة ثالثة للضلع [EN].
  • الترميز: يجب وضع علامة الزاوية القائمة عند تقاطع كل منصّف مع الضلع الخاص به، ووضع علامات التساوي على نصفي كل ضلع (مثلاً، شرطة على كل نصف من [NO]، وشرطتان على كل نصف من [OE]).

2) الملاحظة:

  • نلاحظ أن المنصّفات العمودية الثلاثة لأضلاع المثلث تلتقي جميعها في نقطة واحدة. [6, 11] هذه الخاصية صحيحة لجميع المثلثات. تُسمى نقطة التلاقي هذه بالمركز المحيطي للمثلث (le centre du cercle circonscrit).

3) رسم الدائرة المارة بالنقاط N و O و E:

  • هذه الدائرة تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث. [14, 16]
  • مركز هذه الدائرة هو نقطة تلاقي المنصّفات العمودية التي وجدناها في الخطوة السابقة.
  • لرسم الدائرة، ضع رأس البركار على نقطة التلاقي (المركز المحيطي)، وافتح البركار حتى يصل القلم إلى إحدى رؤوس المثلث (N أو O أو E). ثم ارسم الدائرة. ستلاحظ أنها تمر بالرأسين الآخرين تلقائيًا لأن نقطة التلاقي متساوية البعد عن الرؤوس الثلاثة. [6, 11]

التمرين 5

ارسم مثلثًا ALI على ورقتك.

  1. أنشئ المنصّفات العمودية لأضلاع المثلث الثلاثة باستخدام المسطرة والبركار ثم قم بترميز الشكل.
  2. ماذا تلاحظ؟
  3. ارسم الدائرة المحيطة بالمثلث ALI.
إظهار/إخفاء الحل المفصّل

تصحيح مفصل للتمرين الخامس

1) إنشاء المنصّفات العمودية بالبركار:

  • المنصّف العمودي للضلع [AL]: ضع رأس البركار على النقطة A وارسم قوسًا بنصف قطر أكبر من نصف طول [AL]. حافظ على نفس فتحة البركار، ضع رأسه على النقطة L وارسم قوسًا آخر يتقاطع مع القوس الأول في نقطتين. صل هاتين النقطتين بمسطرة للحصول على المنصّف العمودي.
  • المنصّف العمودي للضلع [LI]: كرر نفس الخطوات للضلع [LI].
  • المنصّف العمودي للضلع [IA]: كرر الخطوات مرة أخرى للضلع [IA].
  • الترميز: كما في التمرين السابق، ضع علامات الزوايا القائمة وعلامات تساوي أنصاف الأضلاع.

2) الملاحظة:

  • تمامًا كما في التمرين 4، نلاحظ أن المنصّفات العمودية الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة. [6, 11] هذه النقطة هي المركز المحيطي للمثلث ALI.

3) رسم الدائرة المحيطة بالمثلث ALI:

  • مركز الدائرة هو نقطة تقاطع المنصّفات العمودية.
  • نصف قطرها هو البعد بين هذا المركز وأي رأس من رؤوس المثلث (A أو L أو I).
  • استخدم البركار لرسم الدائرة التي مركزها هذه النقطة وتمر بالرؤوس الثلاثة. [14, 16]

خصائص المنصّف العمودي

التمرين 6

نعتبر الشكل أدناه:

شكل هندسي للتمرين 6
  1. ماذا يمكن أن نقول عن المستقيم (LS) بالنسبة للقطعة [EI]؟ برّر.
  2. ماذا يمكن أن نقول عن الطولين ES و SI؟ برّر.
  3. ما هي طبيعة المثلث ESI؟ برّر. (ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في السؤال، من المرجح أن المقصود هو المثلث ELI)
إظهار/إخفاء الحل المفصّل

تصحيح مفصل للتمرين السادس

1) المستقيم (LS) والقطعة [EI]:

  • نلاحظ من الترميز على الشكل أن المستقيم (LS) عمودي على القطعة [EI] (وجود رمز الزاوية القائمة).
  • ونلاحظ أيضًا من الترميز (الشرطتان الزرقاوان المتماثلتان) أن النقطة S هي منتصف القطعة [EI].
  • المستقيم الذي يمر بمنتصف قطعة ويكون عموديًا عليها هو المنصّف العمودي لهذه القطعة. [1]
  • إذًا، المستقيم (LS) هو المنصّف العمودي للقطعة [EI].

2) الطولان ES و SI:

  • كما ذكرنا، الترميز على الشكل (الشرطتان المتماثلتان) يدل على أن الطولين متساويان.
  • هذا لأن النقطة S هي منتصف القطعة [EI].
  • إذًا، ES = SI.

3) طبيعة المثلث (ELI):

  • (نفترض أن السؤال يقصد المثلث ELI، لأن النقاط E, S, I تقع على مستقيم واحد ولا تشكل مثلثًا).
  • النقطة L تنتمي إلى المستقيم (LS)، والذي أثبتنا أنه المنصّف العمودي للقطعة [EI].
  • تنص إحدى الخصائص الأساسية للمنصّف العمودي على أن كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة. [3, 7]
  • بما أن L تنتمي إلى المنصّف العمودي لـ [EI]، فإنها متساوية البعد عن E و I. أي أن LE = LI.
  • المثلث الذي له ضلعان متساويان هو مثلث متقايس الضلعين. [15]
  • إذًا، المثلث ELI هو مثلث متقايس الضلعين رأسه L.

التمرين 7

نعتبر الطائرة الورقية (cerf-volant) أدناه:

شكل هندسي للتمرين 7
  1. برّر لماذا تنتمي النقطة U إلى المنصّف العمودي للقطعة [OR].
  2. ماذا يمكن أن نقول عن الطولين NO و NR؟ برّر.
  3. استنتج أن المستقيمين (NU) و (OR) متعامدان.
إظهار/إخفاء الحل المفصّل

تصحيح مفصل للتمرين السابع

1) انتماء النقطة U للمنصّف العمودي لـ [OR]:

  • الترميز على الشكل (العلامة x على الضلعين [UO] و [UR]) يعني أن طوليهما متساويان، أي UO = UR.
  • هذا يعني أن النقطة U متساوية البعد عن طرفي القطعة المستقيم [OR].
  • حسب الخاصية العكسية للمنصّف العمودي، فإن كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة تنتمي إلى المنصّف العمودي لهذه القطعة. [3, 7]
  • لذلك، النقطة U تنتمي إلى المنصّف العمودي للقطعة [OR].

2) الطولان NO و NR:

  • الترميز على الشكل (الشرطتان المتماثلتان على الضلعين [NO] و [NR]) يعني أن طوليهما متساويان.
  • إذًا، NO = NR.

3) استنتاج أن (NU) و (OR) متعامدان:

  • من السؤال 2، وجدنا أن NO = NR. هذا يعني أن النقطة N هي أيضًا متساوية البعد عن طرفي القطعة [OR].
  • إذًا، النقطة N تنتمي أيضًا إلى المنصّف العمودي للقطعة [OR].
  • لقد أثبتنا أن النقطتين U و N تنتميان كلاهما إلى المنصّف العمودي للقطعة [OR].
  • بما أن نقطتين تحددان مستقيمًا واحدًا فقط، فإن المستقيم المار بهما، وهو المستقيم (NU)، هو نفسه المنصّف العمودي للقطعة [OR].
  • من تعريف المنصّف العمودي، فإنه يكون عموديًا على القطعة التي ينصّفها. [1]
  • لذلك، نستنتج أن المستقيم (NU) عمودي على المستقيم (OR). (وهذه خاصية معروفة في الطائرة الورقية، حيث يكون قطراه متعامدين). [12]