الخاصية الأساسية: النقطة M تنتمي إلى منصف القطعة [AB] ⟺ MA = MB
خاصية التعامد: منصف القطعة [AB] عمودي على القطعة [AB]
خاصية المنتصف: منصف القطعة [AB] يمر بمنتصف القطعة [AB]
في المثلث: منصفات الأضلاع تتقاطع في مركز الدائرة المحيطة
في الأشكال المنتظمة: المركز يقع على منصفات جميع الأضلاع
في التطبيقات العملية: إيجاد النقطة المتساوية البعد عن نقطتين
• تحقق من تساوي البعد لإثبات الانتماء
• استخدم الخاصية في الاتجاهين
• اربط بالأشكال الهندسية المعروفة
• تحقق من صحة الحسابات
الخصائص • التطبيقات • الحسابات • الإثباتات
نقطتان P وQ، والنقطة R تحقق: RP = 12 سم و RQ = 8 سم
النقطة S تحقق: SP = SQ = 10 سم
أي من النقطتين R أو S تنتمي إلى منصف القطعة [PQ]؟
لكي تنتمي نقطة إلى منصف القطعة [PQ]، يجب أن تحقق المساواة في البعد إلى طرفي القطعة
تذكر: النقطة M على منصف [AB] ⟺ MA = MB
للنقطة R: نتحقق من العلاقة RP = RQ
للنقطة S: نتحقق من العلاقة SP = SQ
القاعدة: النقطة التي تحقق تساوي البعد تنتمي للمنصف
للنقطة R: RP = 12 سم و RQ = 8 سم
بما أن RP ≠ RQ، فإن النقطة R لا تنتمي إلى منصف القطعة [PQ]
للنقطة S: SP = SQ = 10 سم
بما أن SP = SQ، فإن النقطة S تنتمي إلى منصف القطعة [PQ]
مثلث متساوي الأضلاع ABC، النقطة O مركز المثلث (نقطة تقاطع المنصفات)
أثبت أن O تنتمي إلى منصف كل ضلع من أضلاع المثلث
في المثلث المتساوي الأضلاع، مركز المثلث متساوي البعد عن جميع الرؤوس
تذكر: إذا كان OA = OB = OC، ماذا نستنتج؟
نستخدم خاصية مركز المثلث المتساوي الأضلاع
نطبق خاصية المنصف على كل ضلع من الأضلاع الثلاثة
في المثلث المتساوي الأضلاع ABC، مركز المثلث O يحقق:
OA = OB = OC (متساوي البعد عن جميع الرؤوس)
بالنسبة للضلع [AB]: بما أن OA = OB، فإن O تنتمي إلى منصف [AB]
بالنسبة للضلع [BC]: بما أن OB = OC، فإن O تنتمي إلى منصف [BC]
بالنسبة للضلع [AC]: بما أن OA = OC، فإن O تنتمي إلى منصف [AC]
نقطتان M وN، والمستقيم (Δ) هو منصف القطعة [MN]
النقطة K تنتمي إلى (Δ) بحيث KM = 3x + 5 و KN = 2x + 9 (حيث x عدد موجب)
أوجد قيمة x
بما أن K تنتمي إلى منصف القطعة [MN]، فإنها تحقق: KM = KN
استخدم هذه المساواة لإيجاد قيمة x
نطبق خاصية المنصف: KM = KN
نحل المعادلة: 3x + 5 = 2x + 9
نتحقق من النتيجة بالتعويض
بما أن K تنتمي إلى منصف القطعة [MN]، فإنها تحقق: KM = KN
إذن: 3x + 5 = 2x + 9
3x - 2x = 9 - 5
x = 4
التحقق: عندما x = 4:
KM = 3(4) + 5 = 17 و KN = 2(4) + 9 = 17 ✓
مربع ABCD ضلعه 6 سم، النقطة E منتصف [AB] والنقطة F منتصف [CD]
أثبت أن أي نقطة على المستقيم (EF) تحقق نفس الخاصية بالنسبة للنقطتين A وD
المستقيم (EF) يقسم المربع إلى قسمين متساويين
فكر في التماثل حول المستقيم (EF)
استخدام خصائص المربع والتماثل
إثبات أن (EF) هو منصف القطعة [AD]
في المربع ABCD:
- E منتصف [AB] و F منتصف [CD]
- المستقيم (EF) يقسم المربع إلى قسمين متساويين
- المستقيم (EF) متوازي للضلعين AD و BC ويمر بمنتصف المربع
بما أن المربع متماثل حول المستقيم (EF)، فإن أي نقطة على (EF) تكون متساوية البعد عن النقطتين A وD
إذن المستقيم (EF) هو منصف القطعة [AD]
قرية تقع في النقطة A، ونهر يمثله المستقيم الذي يمر بالنقطتين B وC
يريد سكان القرية بناء جسر عمودي على النهر بحيث يكون المكان المختار على النهر متساوي البعد عن النقطتين B وC
أين يجب أن يبنى الجسر؟
المطلوب إيجاد نقطة على المستقيم (BC) تكون متساوية البعد عن B وC
هذه النقطة تنتمي إلى أي مجموعة هندسية؟
تطبيق تعريف منصف القطعة
إيجاد تقاطع منصف [BC] مع المستقيم (BC)
المطلوب إيجاد نقطة على المستقيم (BC) تكون متساوية البعد عن B وC
هذه النقطة هي النقطة التي تنتمي إلى منصف القطعة [BC]
منصف القطعة [BC] يتقاطع مع المستقيم (BC) في نقطة واحدة هي منتصف القطعة [BC]
الجواب: يجب بناء الجسر في منتصف القطعة [BC]