الرياضيات - الهندسة

دفواراتي
المثلث ومركز الدائرة المحيطة
تمرين 1

ليكن ABC مثلثًا حيث: AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 9cm.
المستقيمان (d1) و (d2) هما الموسطان العموديان للقطعتين [AB] و [BC] على التوالي.
لتكن I نقطة تقاطع المستقيمين (d1) و (d2).

  1. أثبت أن IA = IB وأن IB = IC. استنتج أن IA = IC.
  2. استنتج أن I تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AC].
  3. أثبت أن I هي مركز الدائرة المارة بالنقاط A, B, و C.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • تذكر تعريف الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • استخدم خاصية التعدي للمساواة: إذا كان A = B و B = C، فماذا يمكنك أن تستنتج عن A و C؟
  • ماذا نسمي النقطة المتساوية البعد عن جميع رؤوس مثلث؟

📝 الطريقة

أ) إثبات تساوي البعد:

  • بما أن I تنتمي إلى (d1)، الموسط العمودي لـ [AB]، طبق التعريف لتجد العلاقة بين IA و IB.
  • بما أن I تنتمي إلى (d2)، الموسط العمودي لـ [BC]، طبق التعريف لتجد العلاقة بين IB و IC.
  • اجمع النتيجتين السابقتين لتستنتج العلاقة بين IA و IC.

ب) الانتماء للموسط العمودي الثالث:

  • استخدم الخاصية العكسية للموسط العمودي: بما أنك أثبتت أن IA = IC، فإن النقطة I متساوية البعد عن طرفي القطعة [AC]. ماذا يعني هذا؟

ج) تحديد مركز الدائرة:

  • الدائرة التي تمر برؤوس المثلث (الدائرة المحيطة) يكون مركزها هو النقطة المتساوية البعد عن كل الرؤوس. استخدم النتيجة IA = IB = IC للإجابة.

✅ الحل الكامل

أ) إثبات أن IA = IB و IB = IC واستنتاج أن IA = IC:

  • المستقيم (d1) هو الموسط العمودي للقطعة [AB]. بما أن النقطة I تنتمي إلى (d1)، فإنها متساوية البعد عن النقطتين A و B. وبالتالي، IA = IB.
  • المستقيم (d2) هو الموسط العمودي للقطعة [BC]. بما أن النقطة I تنتمي إلى (d2)، فإنها متساوية البعد عن النقطتين B و C. وبالتالي، IB = IC.
  • لدينا IA = IB و IB = IC. باستخدام خاصية التعدي، نستنتج مباشرة أن IA = IC.

ب) استنتاج أن I تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AC]:

  • الخاصية العكسية للموسط العمودي تنص على أن كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم، تنتمي إلى الموسط العمودي لهذه القطعة.
  • بما أننا استنتجنا أن IA = IC، فإن النقطة I متساوية البعد عن طرفي القطعة [AC].
  • لذلك، نستنتج أن النقطة I تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AC].

ج) إثبات أن I هي مركز الدائرة المارة بالنقاط A, B, و C:

  • لقد أثبتنا أن IA = IB = IC. هذا يعني أن النقطة I متساوية البعد عن النقاط الثلاث A, B, و C.
  • حسب تعريف الدائرة، فإن I هي مركز الدائرة المارة بهذه النقاط الثلاث (الدائرة المحيطة بالمثلث ABC). نصف قطر هذه الدائرة هو البعد المشتركة IA.
المثلث متقايس الضلعين والتناظر المحوري
تمرين 2

ليكن MIE مثلثًا حيث MI = ME = 7cm و EI = 5,5cm. وليكن (d) مستقيم يمر بالنقطة M.

  1. ما هي طبيعة المثلث MIE؟ برّر إجابتك.
  2. أنشئ النقطة A نظيرة I بالنسبة للمستقيم (d) والنقطة L نظيرة E بالنسبة للمستقيم (d).
  3. احسب محيط المثلث MAL.
  4. ارسم الدائرة التي مركزها M وتمر بالنقطة I. بأي نقاط أخرى من الشكل تمر هذه الدائرة؟ برّر إجابتك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ماذا نسمي مثلثًا له ضلعان متساويان في الطول؟
  • التناظر المحوري هو تحويل هندسي يحافظ على خاصية مهمة جدًا... ما هي؟ (تتعلق بالبعد).
  • تذكر أن محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.

📝 الطريقة

أ) طبيعة المثلث:

  • قارن بين أطوال أضلاع المثلث MIE المعطاة.

ج) حساب المحيط:

  • استخدم خاصية حفظ الأطوال للتناظر المحوري لتحديد أطوال أضلاع المثلث MAL. بما أن A نظيرة I، وL نظيرة E، وM على محور التناظر، فإن:
    • MA = ?
    • ML = ?
    • AL = ?
  • اجمع الأطوال الثلاثة التي وجدتها.

د) الدائرة:

  • نصف قطر الدائرة هو MI. ابحث عن كل النقاط الأخرى في الشكل التي تبعد نفس البعد عن المركز M.

✅ الحل الكامل

أ) طبيعة المثلث MIE:

  • في المثلث MIE، لدينا طول الضلع MI = 7cm وطول الضلع ME = 7cm.
  • بما أن MI = ME، فإن المثلث MIE هو مثلث متقايس الضلعين ورأسه الأساسي هو M.

ج) حساب محيط المثلث MAL:

  • التناظر المحوري يحافظ على الأطوال.
  • بما أن A هي نظيرة I بالنسبة لـ(d) و M تنتمي لـ(d)، فإن MA = MI = 7cm.
  • بما أن L هي نظيرة E بالنسبة لـ(d) و M تنتمي لـ(d)، فإن ML = ME = 7cm.
  • بما أن [AL] هي نظيرة [IE]، فإن AL = IE = 5,5cm.
  • محيط المثلث MAL هو: P = MA + ML + AL = 7 + 7 + 5,5 = 19,5cm.
  • إذًا، محيط المثلث MAL هو 19,5cm.

د) الدائرة التي مركزها M وتمر بالنقطة I:

  • نصف قطر الدائرة هو البعد MI، أي 7cm.
  • نبحث عن النقاط الأخرى التي تبعد مسافة 7cm عن المركز M.
  • لدينا: ME = 7cm، و MA = 7cm، و ML = 7cm.
  • إذًا، الدائرة التي مركزها M وتمر بـ I تمر أيضًا بالنقاط E, A, و L.
منصف الزاوية والمثلث متساوي الأضلاع
تمرين 3

ليكن [Ou) منصّف الزاوية xÔy حيث قياس الزاوية xÔy = 60° ولتكن I نقطة ما على [Ou).
المستقيم العمودي على [Ou) المار من I يقطع [Ox) و [Oy) في النقطتين A و B على التوالي.

  1. ارسم الشكل.
  2. احسب قياس الزاويتين OAI و OBI. استنتج طبيعة المثلث OAB.
  3. الموسط العمودي (d) للقطعة [OI] يقطع [OB] في النقطة C. أثبت أن المستقيمين (d) و (AB) متوازيان.
  4. أثبت أن المثلث OCI متقايس الضلعين في C. ثم احسب قياس الزاوية OĈI.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ما هو مجموع زوايا أي مثلث؟
  • تذكر أن منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين.
  • ماذا يمكن أن نقول عن مستقيمين عموديين على نفس المستقيم الثالث؟
  • ما هي الخاصية الرئيسية لنقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة؟

📝 الطريقة

ب) حساب الزوايا وطبيعة المثلث:

  • حدد قياس الزوايا في المثلثين القائمين OAI و OBI. لديك زاوية قائمة (90°) وزاوية من منصف الزاوية (30°).
  • استنتج قياس الزاوية الثالثة في كل مثلث.
  • بناءً على قياسات زوايا المثلث OAB، حدد طبيعته.

ج) إثبات التوازي:

  • حدد العلاقة بين المستقيم (d) والمستقيم (OI).
  • حدد العلاقة بين المستقيم (AB) والمستقيم (OI) من المعطيات.
  • استخدم خاصية هندسية لربط (d) و (AB).

د) المثلث OCI:

  • بما أن C تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [OI]، استنتج العلاقة بين OC و IC.
  • بناءً على هذه العلاقة، حدد طبيعة المثلث OCI.
  • استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين ومجموع زوايا المثلث لحساب OĈI.

✅ الحل الكامل

ب) حساب الزوايا واستنتاج طبيعة المثلث OAB:

  • بما أن [Ou) هو منصّف الزاوية xÔy، فإن IÔA = IÔB = 60° / 2 = 30°.
  • بما أن (AB) ⊥ (OI)، فإن المثلثين OAI و OBI قائمان في I.
  • في المثلث القائم OAI: قياس OÂI = 180° - 90° - 30° = 60°.
  • في المثلث القائم OBI: قياس OBI = 180° - 90° - 30° = 60°.
  • في المثلث OAB، الزوايا هي 60°, 60°, 60°. إذن، المثلث OAB هو مثلث متساوي الأضلاع.

ج) إثبات أن (d) و (AB) متوازيان:

  • (d) هو الموسط العمودي لـ [OI]، إذن (d) ⊥ (OI).
  • من المعطيات، المستقيم (AB) عمودي على [Ou)، أي (AB) ⊥ (OI).
  • بما أن المستقيمين (d) و (AB) عموديان على نفس المستقيم (OI)، فإنهما متوازيان. (d) // (AB).

د) إثبات أن OCI متقايس الضلعين وحساب الزاوية OĈI:

  • بما أن C تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [OI]، فإنها متساوية البعد عن O و I. أي أن OC = IC.
  • لذلك، المثلث OCI متقايس الضلعين في C.
  • في المثلث متقايس الضلعين، زوايا القاعدة متساوية: CÎO = CÔI = 30°.
  • مجموع زوايا المثلث 180°، إذن: OĈI = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
  • إذًا، قياس الزاوية OĈI هو 120°.