الرياضيات - الهندسة

تصحيح مفصل للتمرين الأول

أ) إثبات أن IA = IB و IB = IC واستنتاج أن IA = IC:

• الجزء الأول: إثبات IA = IB.
  المستقيم (d1) هو المنصّف العمودي للقطعة المستقيم [AB]. حسب تعريف المنصّف العمودي، كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة. [1, 3, 5] بما أن النقطة I تنتمي إلى (d1)، فإنها متساوية البعد عن النقطتين A و B. وبالتالي، نستنتج أن IA = IB.
• الجزء الثاني: إثبات IB = IC.
  بنفس الطريقة، المستقيم (d2) هو المنصّف العمودي للقطعة المستقيم [BC]. بما أن النقطة I تنتمي إلى (d2) أيضًا، فإنها متساوية البعد عن النقطتين B و C. وبالتالي، نستنتج أن IB = IC.
• الجزء الثالث: استنتاج أن IA = IC.
  لقد أثبتنا أن IA = IB و IB = IC. باستخدام خاصية التعدي في المساواة (إذا كان أ=ب و ب=ج، فإن أ=ج)، يمكننا أن نستنتج مباشرة أن IA = IC.

ب) استنتاج أن I تنتمي إلى المنصّف العمودي للقطعة [AC]:

• تنص الخاصية العكسية للمنصّف العمودي على أن كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم، فإنها تنتمي إلى المنصّف العمودي لهذه القطعة. [3, 5]
• في السؤال السابق، استنتجنا أن IA = IC. هذا يعني أن النقطة I متساوية البعد عن طرفي القطعة المستقيم [AC].
• لذلك، يمكننا استنتاج أن النقطة I تنتمي إلى المنصّف العمودي للقطعة [AC].

ج) إثبات أن I هي مركز الدائرة المارة بالنقاط A, B, و C:

• الدائرة التي تمر بجميع رؤوس مثلث تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث. مركز هذه الدائرة هو نقطة تلاقي المنصّفات العمودية لأضلاع المثلث، ويُسمى "المركز المحيطي".
• لقد أثبتنا أن IA = IB = IC. هذا يعني أن النقطة I متساوية البعد عن النقاط الثلاث A, B, و C.
• حسب تعريف الدائرة، هي مجموعة النقاط المتساوية البعد عن نقطة ثابتة (المركز). بما أن البعد من I إلى A, B, و C هي نفسها، فإن I هي مركز الدائرة المارة بهذه النقاط الثلاث. ونصف قطر هذه الدائرة هو البعد المشتركة IA = IB = IC.

تصحيح مفصل للتمرين الثاني

أ) طبيعة المثلث MIE:

• المثلث الذي يحتوي على ضلعين متساويين في الطول يُسمى مثلثًا متقايس الضلعين. [15]
• في المثلث MIE، لدينا طول الضلع MI = 7cm وطول الضلع ME = 7cm.
• بما أن MI = ME، فإن المثلث MIE هو مثلث متقايس الضلعين ورأسه الأساسي هو M.

ب) حساب محيط المثلث MAL:

• التناظر المحوري هو تحويل هندسي يحافظ على الأطوال والبعد. [2, 4, 9] هذا يعني أن طول قطعة مستقيم يساوي طول نظيرتها.
• النقطة A هي نظيرة النقطة I بالنسبة للمستقيم (d). والنقطة M تنتمي إلى محور التناظر (d)، وبالتالي فإن نظيرة M هي M نفسها. إذن، القطعة [MA] هي نظيرة القطعة [MI]. وعليه فإن MA = MI = 7cm.
• النقطة L هي نظيرة النقطة E بالنسبة للمستقيم (d). إذن، القطعة [ML] هي نظيرة القطعة [ME]. وعليه فإن ML = ME = 7cm.
• كذلك، القطعة [AL] هي نظيرة القطعة [IE]. وعليه فإن AL = IE = 5,5cm.
• محيط المثلث MAL هو مجموع أطوال أضلاعه: P = MA + ML + AL.
• بالتعويض بالقيم التي وجدناها: P = 7 + 7 + 5,5 = 19,5cm.
• إذًا، محيط المثلث MAL هو 19,5cm.

ج) الدائرة التي مركزها M وتمر بالنقطة I:

• الدائرة هي مجموعة النقاط التي تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر) عن نقطة معينة (المركز).
• الدائرة التي مركزها M وتمر بـ I يكون نصف قطرها هو البعد MI، أي 7cm.
• علينا التحقق من النقاط الأخرى التي تبعد مسافة 7cm عن المركز M.
• من معطيات التمرين، نعلم أن ME = 7cm.
• ومن السؤال السابق (ب)، استنتجنا أن MA = 7cm و ML = 7cm.
• بما أن البعد ME, MA, و ML كلها تساوي نصف القطر (7cm)، فإن هذه النقاط تنتمي جميعها إلى نفس الدائرة.
• إذًا، الدائرة التي مركزها M وتمر بـ I تمر أيضًا بالنقاط E, A, و L.

تصحيح مفصل للتمرين الثالث

أ) رسم الشكل:

1. نرسم زاوية xÔy قياسها 60°.
2. نرسم نصف المستقيم [Ou) الذي يقسم الزاوية xÔy إلى زاويتين متساويتين، كل منهما 30°.
3. نختار نقطة I على [Ou).
4. نرسم مستقيماً يمر بالنقطة I ويكون عموديًا على [Ou). هذا يعني أن الزاوية بين هذا المستقيم و [Ou) هي 90°.
5. نقطة تقاطع هذا المستقيم العمودي مع [Ox) هي A، ونقطة تقاطعه مع [Oy) هي B.

ب) حساب الزوايا واستنتاج طبيعة المثلث OAB:

• لننظر إلى المثلثين OAI و OBI.
• بما أن [Ou) هو منصّف الزاوية xÔy، فإن الزاوية IÔA = الزاوية IÔB = 60° / 2 = 30°.
• بما أن المستقيم (AB) عمودي على (OI)، فإن المثلثين OAI و OBI قائما الزاوية في I. أي أن OÎA = OÎB = 90°.
• مجموع زوايا أي مثلث هو 180°.
• في المثلث القائم OAI: قياس الزاوية OÂI = 180° - 90° - 30° = 60°.
• في المثلث القائم OBI: قياس الزاوية OBI = 180° - 90° - 30° = 60°.
• إذًا، قياس الزاوية OÂI = 60° وقياس الزاوية OBI = 60°.
• طبيعة المثلث OAB: في المثلث OAB، لدينا زاويتان عند القاعدة [AB] متساويتان: OÂB = OBA = 60°. المثلث الذي فيه زاويتان متساويتان هو مثلث متقايس الضلعين. [13, 15] بما أن الزاوية الثالثة AÔB = 60° أيضًا، فإن المثلث OAB هو مثلث متساوي الأضلاع (وهو حالة خاصة من المثلث متقايس الضلعين).

ج) إثبات أن (d) و (AB) متوازيان:

• المستقيم (d) هو المنصّف العمودي للقطعة [OI]. من تعريف المنصّف العمودي، فإن (d) ⊥ (OI). [1]
• من معطيات التمرين، المستقيم (AB) يمر من I وهو عمودي على [Ou). المستقيم [Ou) هو نفسه المستقيم (OI). إذن، (AB) ⊥ (OI).
• لدينا الآن مستقيمان، (d) و (AB)، وكلاهما عمودي على نفس المستقيم الثالث (OI).
• حسب الخاصية الهندسية، إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم الثالث، فإنهما متوازيان. [18, 20]
• لذلك، نستنتج أن (d) // (AB).

د) إثبات أن OCI متقايس الضلعين وحساب الزاوية OĈI:

• النقطة C تنتمي إلى المستقيم (d)، وهو المنصّف العمودي للقطعة [OI].
• كل نقطة تنتمي إلى المنصّف العمودي لقطعة تكون متساوية البعد عن طرفيها. [3, 7]
• بما أن C تنتمي إلى المنصّف العمودي لـ [OI]، فإن البعد من C إلى O تساوي البعد من C إلى I. أي أن OC = IC.
• المثلث الذي له ضلعان متساويان هو مثلث متقايس الضلعين. بما أن OC = IC، فإن المثلث OCI متقايس الضلعين ورأسه الأساسي هو C.
• في المثلث متقايس الضلعين، تكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين متساويتين. [15] الزاوية المقابلة للضلع IC هي CÔI، والزاوية المقابلة للضلع OC هي CÎO.
• إذًا، CÎO = CÔI. نحن نعلم أن CÔI هي نفسها الزاوية IÔB والتي تساوي 30°. بالتالي، CÎO = 30°.
• مجموع زوايا المثلث OCI هو 180°. لحساب الزاوية OĈI، نطرح مجموع الزاويتين الأخريين من 180°.
• OĈI = 180° - (CÔI + CÎO) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
• إذًا، قياس الزاوية OĈI هو 120°.