الموسط العمودي لقطعة مستقيم: هو المستقيم الذي يمر بمنتصف القطعة ويكون عموديا عليها
الخاصية الأساسية: كل نقطة على الموسط العمودي متساوية البعد من طرفي القطعة
إذا كانت M على الموسط العمودي للقطعة [AB]: فإن MA = MB
العكس صحيح: إذا كانت MA = MB فإن M تنتمي للموسط العمودي للقطعة [AB]
التطبيق: هذه الخاصية تسمح بإنشاء الموسط العمودي
الطريقة الأولى:
الطريقة الثانية:
• الموسط العمودي مستقيم وليس قطعة
• كل قطعة لها موسط عمودي وحيد
• الموسط العمودي يمر بمنتصف القطعة
• المسافتان من أي نقطة على الموسط إلى طرفي القطعة متساويتان
التعريف • الخصائص • التطبيقات • الإنشاءات
لا جاعـلة على قطعة [AB] ووجد النقطة M على موسطها العمودي.
ماذا نستنتج عن الأطوال AM و BM؟
هذا التمرين يتعلق بالخاصية الأساسية للموسط العمودي
تذكر: الموسط العمودي هو مجموعة النقاط المتساوية البعد من طرفي القطعة
المعطيات: M على الموسط العمودي للقطعة [AB]
المطلوب: العلاقة بين AM و BM
الخاصية: كل نقطة على الموسط العمودي متساوية البعد من طرفي القطعة
AM = BM
التفسير: بما أن M على الموسط العمودي للقطعة [AB]، فهي متساوية البعد من A و B
معطى قطعة [CD]. وضعنا نقطة P بحيث PC = PD.
برهن أن P تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [CD].
هذا تطبيق للخاصية العكسية
إذا كانت PC = PD، فماذا نستنتج؟
استخدام تعريف الموسط العمودي والخاصية العكسية
PC = PD
⇒ P على موسط العمودي للقطعة [CD]
النقطة E تقع على الموسط العمودي للقطعة [FG].
إذا كان FE = 7 cm فما مقدار GE؟
استخدم خاصية الموسط العمودي: E على موسط [FG] ⟹ FE = GE
تطبيق مباشر لخاصية تساوي البعد
FE = GE = 7 cm
النقطة H تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [IJ].
وإذا علمت أن IH = 5,2 cm فاحسب JH.
مثل التمرين السابق: H على موسط [IJ] ⟹ IH = JH
تطبيق خاصية تساوي البعد مع الأرقام العشرية
IH = JH = 5,2 cm
معطى القطعة [KL]. توجد نقطة M بحيث KM = LM = 6 cm.
أين تقع النقطة M بالنسبة للقطعة [KL]؟
إذا كانت KM = LM، فما المجموعة الهندسية التي تنتمي إليها M؟
استخدام الخاصية العكسية للموسط العمودي
M تقع على موسط العمودي للقطعة [KL]
أو: KM = LM ⇒ M ∈ موسط العمودي
النقطة N على الموسط العمودي للقطعة [OP]. نعلم أن ON = 4,8 cm و NP = 4,8 cm.
أي خاصية هندسية توضحها هذه الحالة؟
نلاحظ أن ON = NP وأن N على الموسط العمودي
مقارنة النتيجة العملية بالخاصية النظرية
ON = NP
⇒ N نقطة على الموسط العمودي للقطعة [OP]
الخاصية: تأكيد عملي لخاصية تساوي البعد
وضعنا النقطة Q على الموسط العمودي للقطعة [RS] ونعرف أن RQ = 3,5 cm.
احسب SQ.
Q على موسط [RS] ⟹ RQ = SQ
تطبيق مباشر لخاصية تساوي البعد
RQ = SQ = 3,5 cm
في قطعة [TU] اخترنا نقطة V تكون متساوية البعد عن T و U.
أين تقع النقطة V بالنسبة إلى الموسط العمودي؟
إذا كانت VT = VU، فماذا نستنتج؟
استخدام الخاصية العكسية
VT = VU
⇒ V ∈ الموسط العمودي للقطعة [TU]
في مثلث XYZ، النقطة O تقع على موسط [XY] وعلى موسط [XZ].
ماذا يمكنك أن تقول عن أطوال OX و OY و OZ؟
• O على موسط [XY] ⟹ ماذا نستنتج؟
• O على موسط [XZ] ⟹ ماذا نستنتج؟
تطبيق خاصية الموسط العمودي على كل ضلع
OX = OY
OX = OZ
⇒ OX = OY = OZ
النتيجة: O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث
معطى المقطع [AB] ونقطة P تحقق AP = BP.
برر أن P تقع على الموسط العمودي للمقطع [AB].
مثل التمرين 2: استخدام الخاصية العكسية
استخدام تعريف الموسط العمودي
AP = BP
⇒ P نقطة على موسط العمودي للمقطع [AB]
التبرير: بتعريف الموسط العمودي، كل نقطة متساوية البعد من طرفي قطعة تنتمي للموسط العمودي