تمارين الهندسة - الإنشاءات المتقدمة والتطبيقات المعقدة

التمرين 24

إنشاء الدوائر المتماسة

أنشئ ثلاث دوائر C₁ و C₂ و C₃ بحيث:

➤ C₁ نصف قطرها 4 سم، C₂ نصف قطرها 3 سم وهاتان الدائرتان متماستان خارجياً

➤ C₃ تحتوي الدائرتين الأخريين وتتماس معهما داخلياً

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يتطلب فهم مفاهيم التماس بين الدوائر

تحليل المتطلبات:

• دائرتان C₁ و C₂ متماستان خارجياً

• دائرة C₃ محيطة وتتماس داخلياً مع C₁ و C₂

أسئلة للتفكير:

• ما هي البعد بين مراكز دائرتين متماستين خارجياً؟

• كيف نحدد مركز الدائرة المحيطة؟

• ما نصف قطر الدائرة المحيطة المتماسة داخلياً؟

العلاقات الأساسية:

• التماس الخارجي: البعد بين المراكز = مجموع نصفي القطرين

• التماس الداخلي: البعد بين المراكز = الفرق بين نصفي القطرين

📝 منهجية الحل

المرحلة الأولى - إنشاء C₁ و C₂:

1. نختار نقطة O₁ كمركز للدائرة C₁

2. نرسم C₁ بنصف قطر 4 سم

3. نحدد O₂ على مسافة 7 سم من O₁ (4 + 3)

4. نرسم C₂ بمركز O₂ ونصف قطر 3 سم

المرحلة الثانية - إنشاء C₃:

5. نحدد مركز C₃ باستخدام خاصية التماس الداخلي

6. نحسب نصف قطر C₃ المطلوب

7. نرسم الدائرة C₃

الحسابات الهندسية:

نستخدم خصائص التماس لإيجاد مركز ونصف قطر C₃

✅ الحل النهائي

الإنشاء خطوة بخطوة:

1) إنشاء الدائرتين المتماستين خارجياً:

• نختار نقطة O₁ كمركز للدائرة C₁

• نرسم C₁: مركز O₁، نصف قطر r₁ = 4 سم

• للتماس الخارجي: البعد O₁O₂ = r₁ + r₂ = 4 + 3 = 7 سم

• نضع O₂ على مسافة 7 سم من O₁

• نرسم C₂: مركز O₂، نصف قطر r₂ = 3 سم

2) إنشاء الدائرة المحيطة C₃:

لإيجاد مركز O₃ ونصف قطر r₃:

شروط التماس الداخلي:

• O₃O₁ = r₃ - r₁ = r₃ - 4

• O₃O₂ = r₃ - r₂ = r₃ - 3

حل نظام المعادلات:

O₃ يقع على متناظف القطعة O₁O₂

البعد من O₃ إلى منتصف O₁O₂ = نصف البعد O₁O₂ = 3.5 سم

حساب نصف القطر:

باستخدام المثلث O₃O₁M (حيث M منتصف O₁O₂):

O₃O₁² = O₃M² + MO₁²

(r₃ - 4)² = h² + 3.5²

وبالمثل: (r₃ - 3)² = h² + 3.5²

من المعادلتين: r₃ = 10.25 سم

النتيجة:

• C₁: مركز O₁، نصف قطر 4 سم

• C₂: مركز O₂، نصف قطر 3 سم (O₁O₂ = 7 سم)

• C₃: مركز O₃ على متناظف O₁O₂، نصف قطر 10.25 سم

التمرين 25

الدوائر والقطر والنصف قطر

ضع نقطتين E و F بحيث EF = 3.5 سم.

أ) ارسم جميع الدوائر التي قطرها هو القطعة [EF]

ب) ارسم جميع الدوائر التي نصف قطرها هو القطعة [EF]

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يوضح الفرق بين القطر ونصف القطر

الفرق الأساسي:

• القطر: يمر بمركز الدائرة ويربط نقطتين على المحيط

• نصف القطر: يربط المركز بنقطة على المحيط

أسئلة للتفكير:

• إذا كان [EF] قطراً، أين يكون مركز الدائرة؟

• إذا كان [EF] نصف قطر، كم موقع ممكن للمركز؟

• ما طول نصف القطر إذا كان القطر 3.5 سم؟

• ما طول القطر إذا كان نصف القطر 3.5 سم؟

تذكر:

• القطر = 2 × نصف القطر

• لكل قطعة مستقيم، دائرة وحيدة تجعلها قطراً

• لكل قطعة مستقيم، دوائر لا نهائية تجعلها نصف قطر

📝 منهجية الحل

للجزء أ) - [EF] كقطر:

1. نحدد منتصف القطعة EF

2. هذا المنتصف هو مركز الدائرة الوحيدة

3. نصف قطر هذه الدائرة = نصف طول EF

للجزء ب) - [EF] كنصف قطر:

1. المركز يمكن أن يكون في E أو في F

2. نصف القطر = طول EF = 3.5 سم

3. نرسم دائرة مركزها E ونصف قطرها EF

4. نرسم دائرة مركزها F ونصف قطرها FE

الحالات الأخرى:

يمكن أيضاً أن يكون المركز في أي نقطة أخرى، بشرط أن تكون البعد إلى أحد طرفي EF تساوي 3.5 سم

✅ الحل النهائي

الإعداد:

نرسم القطعة EF بطول 3.5 سم

أ) الدوائر التي قطرها [EF]:

دائرة وحيدة فقط:

• المركز: منتصف القطعة EF (نسميه M)

• نصف القطر = EF ÷ 2 = 3.5 ÷ 2 = 1.75 سم

• الدائرة تمر بالنقطتين E و F

• القطعة EF هي قطر كامل لهذه الدائرة

خاصية مهمة:

أي زاوية محيطية مرسومة على هذا القطر تكون قائمة (90°)

ب) الدوائر التي نصف قطرها [EF]:

حالتان أساسيتان:

الحالة الأولى:

• المركز في E

• نصف القطر = طول EF = 3.5 سم

• الدائرة تمر بالنقطة F

• نرسم دائرة مركزها E ونصف قطرها 3.5 سم

الحالة الثانية:

• المركز في F

• نصف القطر = طول FE = 3.5 سم

• الدائرة تمر بالنقطة E

• نرسم دائرة مركزها F ونصف قطرها 3.5 سم

ملاحظة إضافية:

يمكن رسم دوائر أخرى لا نهائية بنصف قطر 3.5 سم، لكن القطعة EF لن تكون نصف قطر كاملاً فيها

المقارنة:

• كقطر: دائرة واحدة، نصف قطرها 1.75 سم

• كنصف قطر: دائرتان أساسيتان، نصف قطر كل منهما 3.5 سم

التمرين 26

المستقيمات والمتوازيات والعموديات

معطى أربع نقاط غير مستقيمية A و B و C و D.

➤ ارسم باللون الأزرق المستقيم (AC)

➤ ارسم باللون الأخضر القطعة [CD]

➤ ارسم باللون الأحمر العمودي على (AC) المار بـ B

➤ ارسم باللون الأسود المتوازي لـ (AC) المار بـ D

ماذا يمكن أن نقول عن المستقيمين الأحمر والأسود؟

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يختبر فهم العلاقات بين المستقيمات

تحليل العناصر:

• المستقيم الأزرق: (AC) - المستقيم الأساسي

• المستقيم الأحمر: عمودي على (AC) ويمر بـ B

• المستقيم الأسود: موازي لـ (AC) ويمر بـ D

أسئلة للتفكير:

• ما العلاقة بين مستقيم عمودي على مستقيم ومستقيم موازي لنفس المستقيم؟

• إذا كان a ⊥ c و b ∥ c، فما العلاقة بين a و b؟

• كيف تؤثر خاصية التوازي على العلاقات العمودية؟

الخصائص المطلوبة:

• العمودية: زاوية 90° بين المستقيمين

• التوازي: عدم تقاطع المستقيمين أبداً

• النقل الهندسي: انتقال الخصائص عبر التوازي

📝 منهجية الحل

خطوات الإنشاء:

1. نرسم النقاط A، B، C، D كما هو معطى

2. نرسم المستقيم (AC) باللون الأزرق

3. نرسم القطعة [CD] باللون الأخضر

4. ننشئ العمودي على (AC) من B باللون الأحمر

5. ننشئ المتوازي لـ (AC) من D باللون الأسود

التحليل النظري:

نطبق قواعد الهندسة للعلاقات بين المستقيمات:

• إذا كان d₁ ⊥ d₀ و d₂ ∥ d₀

• فإن d₁ ⊥ d₂

البرهان الهندسي:

نستخدم خصائص انتقال العلاقات العمودية عبر التوازي

✅ الحل النهائي

الإنشاء المكتمل:

العناصر المرسومة:

• الأزرق: المستقيم (AC)

• الأخضر: القطعة [CD]

• الأحمر: العمودي على (AC) المار بـ B

• الأسود: المتوازي لـ (AC) المار بـ D

العلاقة بين المستقيمين الأحمر والأسود:

المستقيمان الأحمر والأسود عموديان

البرهان:

نسمي:

• d₁ = المستقيم الأحمر (العمودي على AC المار بـ B)

• d₂ = المستقيم الأسود (المتوازي لـ AC المار بـ D)

• d₀ = المستقيم الأزرق (AC)

الخطوات المنطقية:

1. بالإنشاء: d₁ ⊥ d₀ (الأحمر عمودي على الأزرق)

2. بالإنشاء: d₂ ∥ d₀ (الأسود متوازي مع الأزرق)

3. خاصية هندسية: إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر

4. النتيجة: d₁ ⊥ d₂

التفسير:

العمودية خاصية "تنتقل" عبر التوازي. بما أن المستقيم الأحمر عمودي على (AC)، والمستقيم الأسود موازي لـ (AC)، فإن المستقيم الأحمر يجب أن يكون عمودياً على المستقيم الأسود أيضاً.

الخلاصة:

المستقيمان الأحمر والأسود متعامدان (يتقاطعان بزاوية قائمة 90°)

التمرين 27

مسألة الحبل والكرة

حبل طوله 1.20 م مثبت في إحدى زوايا مرج وجوف. في طرف الحبل مربوطة كرة.

حبل 1.20 م

بمقياس 1 م يمثله 5 سم، لون المنطقة التي يمكن لجوف أن يصل إليها بالكرة.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذه مسألة تطبيقية تربط الهندسة بالواقع العملي

تحليل المسألة:

• الحبل مثبت في نقطة (نقطة التثبيت)

• طول الحبل = 1.20 م (ثابت)

• الكرة يمكن أن تتحرك في دائرة حول نقطة التثبيت

• نصف قطر هذه الدائرة = طول الحبل

المقياس:

• 1 م في الواقع = 5 سم في الرسم

• إذن 1.20 م = 1.20 × 5 = 6 سم في الرسم

أسئلة للتفكير:

• ما شكل المنطقة التي يمكن للكرة الوصول إليها؟

• ما نصف قطر هذه المنطقة بالرسم؟

• هل يمكن للكرة الوصول لجميع النقاط داخل هذه المنطقة؟

📝 منهجية الحل

تحويل المقياس:

1. طول الحبل الحقيقي = 1.20 م

2. المقياس: 1 م ← 5 سم

3. طول الحبل في الرسم = 1.20 × 5 = 6 سم

تحديد المنطقة:

4. نضع نقطة تمثل موقع التثبيت

5. نرسم دائرة مركزها نقطة التثبيت

6. نصف قطر الدائرة = 6 سم

7. نلون داخل الدائرة

المفهوم الهندسي:

المنطقة الممكنة هي دائرة (قرص) لأن الكرة يمكن أن تكون في أي مكان على مسافة ≤ طول الحبل من نقطة التثبيت

✅ الحل النهائي

الحل الكامل:

1) تحويل المقياس:

• طول الحبل الحقيقي = 1.20 م

• مقياس الرسم: 1 م = 5 سم

• طول الحبل في الرسم = 1.20 × 5 = 6 سم

2) تحديد نقطة التثبيت:

نرسم نقطة تمثل زاوية المرج حيث مثبت الحبل

3) رسم المنطقة الممكنة:

• المركز: نقطة تثبيت الحبل

• نصف القطر: 6 سم (يمثل 1.20 م)

• الشكل: دائرة كاملة (قرص)

4) تلوين المنطقة:

نلون كامل المساحة داخل الدائرة، لأن الكرة يمكن أن تكون:

• على محيط الدائرة (الحبل مشدود بالكامل)

• في أي مكان داخل الدائرة (الحبل مرتخي جزئياً)

• في المركز (الحبل مرتخي بالكامل)

التفسير الفيزيائي:

• الحد الأقصى: الكرة على بُعد 1.20 م من التثبيت (الحبل مشدود)

• الحد الأدنى: الكرة عند نقطة التثبيت (الحبل مجمع)

• المنطقة الكاملة: جميع النقاط بين الحدين

الخصائص الهندسية:

• الشكل: دائرة (قرص مصمت)

• نصف القطر: 6 سم في الرسم (1.20 م في الواقع)

• المساحة: π × (6)² = 36π سم² في الرسم

• المساحة الحقيقية: π × (1.20)² = 1.44π م²

النتيجة:

المنطقة الملونة هي دائرة مركزها نقطة التثبيت ونصف قطرها 6 سم، تمثل جميع المواقع الممكنة للكرة.

دليل شامل للإنشاءات الهندسية المعقدة

🔄 التماس والتقاطع

📐 الإنشاء بالأدوات المحدودة

📊 الأماكن الهندسية

⚡ التطبيقات العملية

الفصل الثالث - الإنشاءات المعقدة

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي