تمارين الهندسة - الإنشاءات الهندسية والبعد

التمرين 16

الإنشاء الهندسي

أنجز الإنشاء التالي:

➤ دائرة مركزها I وقطرها يقيس 6 سم

➤ نقطة A تنتمي إلى هذه الدائرة

➤ باستعمال البركار، أنشئ نقطة B على الدائرة بحيث الوتر [AB] يقيس 4 سم ومتناظف m للقطعة [AB]

➤ نقطتا تقاطع C و D للمتناظف m مع الدائرة

أ) ماذا نسمي القطعة [CD]؟ اشرح!

ب) ماذا يمكنك أن تقول عن المثلثين IBC و IAC؟

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يتعلق بخصائص الدائرة والمتناظف

أسئلة للتفكير:

• ما هو تعريف المتناظف لقطعة مستقيم؟

• ما هي خصائص المتناظف؟

• كيف يمر المتناظف عبر مركز الدائرة؟

• ما العلاقة بين النقاط C و D والقطر؟

تذكر:

• المتناظف يمر بجميع النقاط المتساوية البعد من طرفي القطعة

• مركز الدائرة متساو البعد من A و B

📝 منهجية الحل

خطوات الإنشاء:

1. نرسم دائرة مركزها I ونصف قطرها 3 سم (القطر = 6 سم)

2. نختار نقطة A على الدائرة

3. بالبركار نفتح 4 سم ونحدد B على الدائرة

4. نرسم متناظف القطعة AB

5. نحدد نقطتي تقاطع المتناظف مع الدائرة C و D

للإجابة على الأسئلة:

• نحلل موقع النقط C و D

• ندرس خصائص المثلثين IBC و IAC

✅ الحل النهائي

أ) تسمية القطعة [CD]:

القطعة [CD] هي قطر للدائرة

الشرح:

• المتناظف للوتر AB يمر بمركز الدائرة I

• بما أن I مركز الدائرة، فهو متساو البعد من A و B

• إذن I ينتمي للمتناظف للقطعة AB

• المستقيم المار بمركز الدائرة ويقطعها في نقطتين هو قطر

• لذلك CD قطر للدائرة

ب) المثلثان IBC و IAC:

المثلثان IBC و IAC متطابقان

البرهان:

• IC = IC (ضلع مشترك)

• IA = IB (أنصاف أقطار للدائرة)

• AC = BC (C تنتمي للمتناظف لـ AB)

• إذن المثلثان متطابقان حسب قاعدة (ضلع-ضلع-ضلع)

النتيجة:

المثلثان لهما نفس المساحة ونفس الزوايا

التمرين 17

الأماكن الهندسية

ليكن نقطتان A و B بحيث AB = 10 سم.

ارسم باللون الأحمر النقاط التي تبعد أقل من 8 سم عن A، وأقل من 6 سم عن B، والتي تكون متساوية البعد من A و B.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يجمع ثلاثة شروط:

1. البعد من A أقل من 8 سم

2. البعد من B أقل من 6 سم

3. متساوية البعد من A و B

أسئلة للتفكير:

• ما هو المكان الهندسي للنقاط التي تبعد مسافة ثابتة عن نقطة؟

• ما هو المكان الهندسي للنقاط المتساوية البعد من نقطتين؟

• كيف نجد تقاطع هذه الأماكن الثلاثة؟

📝 منهجية الحل

خطوات الحل:

1. نرسم القطعة AB = 10 سم

2. نرسم دائرة مركزها A ونصف قطرها 8 سم

3. نرسم دائرة مركزها B ونصف قطرها 6 سم

4. نرسم متناظف القطعة AB

5. نحدد تقاطع الأماكن الثلاثة

الأماكن الهندسية:

النقاط على مسافة أقل من 8 سم من A: داخل دائرة مركزها A
النقاط على مسافة أقل من 6 سم من B: داخل دائرة مركزها B
النقاط متساوية البعد من A و B: متناظف AB

✅ الحل النهائي

الإنشاء المطلوب:

1) رسم الأماكن الهندسية:

• دائرة مركزها A ونصف قطرها 8 سم

• دائرة مركزها B ونصف قطرها 6 سم

• متناظف القطعة AB

2) تحديد المنطقة المطلوبة:

المنطقة المطلوبة هي تقاطع:

• داخل الدائرة الأولى (مركزها A)

• داخل الدائرة الثانية (مركزها B)

• على متناظف AB

3) النتيجة:

المنطقة المطلوبة باللون الأحمر هي:

جزء من متناظف AB المحصور بين الدائرتين

ملاحظة هندسية:

• المتناظف يقطع القطعة AB في منتصفها

• البعد من المنتصف إلى A = البعد إلى B = 5 سم

• الشرطان الأولان محققان في منطقة معينة من المتناظف

التمرين 18

المتوازيات والتقاطعات

أنشئ:

➤ ثلاث نقاط غير مستقيمية A و B و C

➤ (BC) و (AB) و [AC]

➤ المستقيم d بحيث A ∈ d و d ∥ (BC)

➤ المستقيم d' بحيث C ∈ d' و d' ∥ (AB)

➤ نقطة تقاطع D للمستقيمين d و d'

➤ منتصف I للقطعة [AC]

ماذا تلاحظ عند ملاحظة النقاط B و I و D؟

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يتعلق بخصائص متوازي الأضلاع

أسئلة للتفكير:

• ما نوع الشكل الرباعي ABDC؟

• ما هي خصائص متوازي الأضلاع؟

• ما العلاقة بين أقطار متوازي الأضلاع؟

• أين يتقاطع قطرا متوازي الأضلاع؟

تذكر:

• في متوازي الأضلاع، الأقطار تتقاطع في منتصف كل منهما

• منتصف AC هو I

📝 منهجية الحل

خطوات الإنشاء:

1. نرسم ثلاث نقاط غير مستقيمية A، B، C

2. نرسم المستقيمات والقطع المطلوبة

3. نرسم d المار بـ A وموازي لـ (BC)

4. نرسم d' المار بـ C وموازي لـ (AB)

5. نحدد نقطة التقاطع D

6. نحدد منتصف I للقطعة AC

تحليل الشكل:

• نحلل طبيعة الشكل ABDC

• ندرس خصائص الأقطار BD و AC

• نحدد العلاقة بين B و I و D

✅ الحل النهائي

الملاحظة:

النقاط B و I و D مستقيمية

وأكثر من ذلك: I هو منتصف القطعة BD

التفسير:

1) طبيعة الشكل ABDC:

• بما أن d ∥ (BC) و d' ∥ (AB)

• فإن AB ∥ CD و AD ∥ BC

• إذن ABDC متوازي أضلاع

2) خصائص أقطار متوازي الأضلاع:

• في متوازي الأضلاع، الأقطار تتقاطع في منتصف كل منهما

• أقطار ABDC هما AC و BD

• إذن AC و BD يتقاطعان في منتصف كل منهما

3) النتيجة:

• I منتصف AC (بالإنشاء)

• I منتصف BD (خاصية متوازي الأضلاع)

• إذن B و I و D مستقيمية وI منتصف BD

الخلاصة الهندسية:

هذا التمرين يوضح خاصية أساسية لمتوازي الأضلاع: تقاطع الأقطار في منتصف كل منهما

التمرين 19

العموديات في المثلث

ارسم ثلاث نقاط غير مستقيمية A و B و C.

أ) أنشئ:

➤ المستقيمات (AB) و (BC) و (AC)

➤ المستقيم العمودي على (AB) المار بـ C

➤ المستقيم العمودي على (AC) المار بـ B

➤ المستقيم العمودي على (BC) المار بـ A

ب) ماذا يمكن أن نقول عن هذه العموديات الثلاثة؟

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يتعلق بارتفاعات المثلث

أسئلة للتفكير:

• ما هو تعريف ارتفاع المثلث؟

• كم ارتفاع لكل مثلث؟

• أين تتقاطع ارتفاعات المثلث؟

• ما اسم النقطة المميزة هذه؟

تذكر:

• الارتفاع هو العمودي المرسوم من رأس إلى الضلع المقابل

• كل مثلث له ثلاثة ارتفاعات

• ارتفاعات المثلث لها خاصية مميزة

📝 منهجية الحل

خطوات الإنشاء:

1. نرسم المثلث ABC

2. نرسم العمودي من C على AB

3. نرسم العمودي من B على AC

4. نرسم العمودي من A على BC

5. نلاحظ نقطة التقاطع

تسمية المفاهيم:

• العمودي من C على AB: ارتفاع المثلث من الرأس C

• العمودي من B على AC: ارتفاع المثلث من الرأس B

• العمودي من A على BC: ارتفاع المثلث من الرأس A

✅ الحل النهائي

ب) خاصية العموديات الثلاثة:

العموديات الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة

التفسير المفصل:

1) تسمية العموديات:

• العمودي من C على (AB): ارتفاع من C

• العمودي من B على (AC): ارتفاع من B

• العمودي من A على (BC): ارتفاع من A

2) الخاصية الأساسية:

ارتفاعات أي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز الارتفاعات

3) تسمية النقطة المميزة:

نقطة تقاطع الارتفاعات تسمى المرتفع العمودي أو Orthocentre

4) خصائص إضافية:

• في المثلث القائم الزاوية: المرتفع العمودي هو رأس الزاوية القائمة

• في المثلث المنفرج الزاوية: المرتفع العمودي خارج المثلث

• في المثلث حاد الزوايا: المرتفع العمودي داخل المثلث

النتيجة الهندسية:

هذا التمرين يوضح إحدى النقاط المميزة في المثلث (مركز الارتفاعات)

التمرين 20

تقاطع المناطق

معطى النقطتان A و B حيث AB = 6 سم.

لون باللون الأخضر جزء المستوى الذي نقاطه تقع على مسافة أقل من 5 سم من A وعلى مسافة أقل من 4 سم من B.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يتعلق بتقاطع منطقتين دائريتين

أسئلة للتفكير:

• ما هو المكان الهندسي للنقاط على مسافة أقل من r من نقطة معطاة؟

• كيف نجد تقاطع منطقتين؟

• هل الدائرتان متقاطعتان في هذه الحالة؟

• ما شكل المنطقة المشتركة؟

معطيات للتحليل:

• AB = 6 سم

• نصف قطر الدائرة الأولى = 5 سم

• نصف قطر الدائرة الثانية = 4 سم

📝 منهجية الحل

خطوات الحل:

1. نرسم القطعة AB = 6 سم

2. نرسم دائرة مركزها A ونصف قطرها 5 سم

3. نرسم دائرة مركزها B ونصف قطرها 4 سم

4. نحدد المنطقة المشتركة داخل الدائرتين

5. نلون هذه المنطقة باللون الأخضر

تحليل التقاطع:

• نتحقق من تقاطع الدائرتين

• البعد بين المركزين = 6 سم

• مجموع نصفي القطرين = 5 + 4 = 9 سم

• بما أن 6 < 9، فالدائرتان متقاطعتان

✅ الحل النهائي

الحل المطلوب:

1) رسم الأماكن الهندسية:

• دائرة مركزها A ونصف قطرها 5 سم (المنطقة الداخلية)

• دائرة مركزها B ونصف قطرها 4 سم (المنطقة الداخلية)

2) تحليل التقاطع:

• البعد AB = 6 سم

• مجموع نصفي القطرين = 5 + 4 = 9 سم

• الفرق بين نصفي القطرين = |5 - 4| = 1 سم

• بما أن 1 < 6 < 9، فالدائرتان متقاطعتان

3) المنطقة المطلوبة باللون الأخضر:

المنطقة المطلوبة هي تقاطع داخل الدائرتين

شكلها: منطقة عدسية (محدودة بقوسين دائريين)

4) خصائص المنطقة:

• جميع نقاط هذه المنطقة تبعد أقل من 5 سم عن A

• وأقل من 4 سم عن B في نفس الوقت

• المنطقة محدودة ومتصلة

ملاحظة هندسية:

نقطتا تقاطع الدائرتين تحددان حدود المنطقة المطلوبة

دليل شامل للإنشاءات الهندسية

📐 الأدوات الهندسية الأساسية

🎯 المفاهيم الأساسية

📏 قواعد الإنشاء

⚠️ ملاحظات مهمة

الفصل الثالث - الهندسة

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي