موضعية المستقيمات وبعد نقطة عن مستقيم REF — Droites7 — 7ème

Exercice de référence pour valider le moteur GEODATA / setStage() — basé sur Exe1_1.html (contenu réel du chapitre Droites7).

نصّ التمرين

ارسم قطعة مستقيم \([EF]\) حيث \(EF = 8\text{ cm}\)، وعيّن النقطة \(O\) منتصفها.

ابن المستقيم \((\Delta)\) المارّ من \(O\) والعمودي على \((EF)\). بماذا يمثّل \((\Delta)\) بالنسبة إلى \([EF]\)؟

ابن المستقيم \((\Delta')\) المارّ من \(E\) والعمودي على \((EF)\). ما هي الوضعية النسبية لـ \((\Delta)\) و \((\Delta')\)؟

عيّن النقطة \(G\) على \((\Delta')\) حيث \(EG = 5\text{ cm}\). المستقيمان \((FG)\) و \((\Delta)\) يتقاطعان في \(I\). أثبت أنّ \(IE = IF\).

ما هو بعد النقطة \(I\) عن المستقيم \((\Delta')\)؟

ابن المستقيم \((D)\) المارّ من \(G\) والموازي لـ \((EF)\). ما هي الوضعية النسبية لـ \((D)\) و \((\Delta)\)؟

ابن الدائرة \((C)\) التي مركزها \(G\) وشعاعها \(4\text{ cm}\). ما هي الوضعية النسبية لـ \((C)\) و \((\Delta)\)، ثمّ لـ \((C)\) و \((EF)\)؟

1) \((\Delta)\) = الموسط العمودي لـ \([EF]\)

\((\Delta)\) يمرّ بمنتصف \([EF]\) وهو عمودي عليه، إذن \((\Delta)\) هو الموسط العمودي لـ \([EF]\).

2) \((\Delta) \parallel (\Delta')\)

كلا المستقيمين عموديّان على \((EF)\)، ومستقيمان عموديّان على مستقيم ثالث متوازيان.

\[(\Delta) \perp (EF)\ \text{و}\ (\Delta') \perp (EF) \Rightarrow (\Delta) \parallel (\Delta')\]

3) إثبات \(IE = IF\)

\(I \in (\Delta)\) والموسط العمودي لقطعة، كلّ نقطة منه متساوية البعد عن طرفيها.

\[I \in (\Delta) \Rightarrow IE = IF\]

4) بعد \(I\) عن \((\Delta')\)

\((\Delta')\) عمودي على \((EF)\) في \(E\)، أي على المحور الأفقي في \(x=0\). النقطة \(I\) تقع عند \(x=4\text{ cm}\) (نصف \(EF\))، إذن:

\[d(I,\Delta') = 4\text{ cm}\]

5) \((D) \perp (\Delta)\)

\((D) \parallel (EF)\) و \((\Delta) \perp (EF)\)، إذن \((\Delta) \perp (D)\) (مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عموديًا على الآخر).

6) وضعية \((C)\) مع \((\Delta)\) ومع \((EF)\)

\(d(G,\Delta) = 4\text{ cm} = R\) → \((C)\) مماسّة لـ \((\Delta)\) (نقطة تماس واحدة).

\(d(G,EF) = 5\text{ cm} > R = 4\text{ cm}\) → \((C)\) و \((EF)\) لا يتقاطعان.

⚠️ تصحيح مهمّ: في الملفّ الأصلي Exe1_1.html، السؤال السادس يذكر أنّ \(d(G,\Delta)=0\) لأنّ "G ∈ Δ" وأنّ الدائرة تقطع \((\Delta)\) في نقطتين. هذا خطأ: \(G\) تنتمي إلى \((\Delta')\) وليس \((\Delta)\)، والمسافة الصحيحة بين \(G\) و \((\Delta)\) هي \(4\text{ cm}\) بالضبط — أي مماسّة، وليس تقاطعًا في نقطتين.

الشكل المتطوّر

السؤال 1

كل سؤال يضيف طبقة إلى نفس الشكل — لا إعادة رسم، بل بناء تدريجي للبرهان.