الخاصية الأساسية: النقطة M تنتمي إلى المتوسط العمودي للقطعة [AB] ⟺ MA = MB
في المثلث: المتوسطات العمودية للأضلاع تتقاطع في مركز الدائرة المحيطة
في الدائرة: المستقيم المار بالمركز والعمودي على وتر هو المتوسط العمودي للوتر
المثلث متقايس الضلعين: المتوسط العمودي للقاعدة يمر بالقمة
الدائرة المحيطة: مركزها نقطة تقاطع المتوسطات العمودية
الأوتار في الدائرة: المستقيم من المركز العمودي على الوتر ينصفه
• في المثلث متقايس الضلعين: الارتفاع = المتوسط العمودي للقاعدة
• في الدائرة: أي مستقيم من المركز عمودي على وتر ينصفه
• تحقق من التطابق في الإثباتات
• استخدم خصائص الدائرة والمثلثات الخاصة
التقاطعات • الدوائر المحيطة • المثلثات الخاصة • الإثباتات
ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة C, B, A. المتوسطان العموديان للقطعتين [BC] و [AB] يتعاطعان في النقطة M.
بين لماذا نجد MA=MB وكذلك MB=MC.
M تقع على تقاطع متوسطين عموديين
تذكر: أي نقطة على المتوسط العمودي متساوية البعد عن طرفي القطعة
استخدام خاصية المتوسط العمودي لكل قطعة
تطبيق المساواة MA = MB و MB = MC
1. بما أن M تقع على المتوسط العمودي لـ [AB]، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة، إذن MA = MB
2. وبما أن M تقع على المتوسط العمودي لـ [BC]، فإن MB = MC
بالتالي MA = MB = MC
السؤال الإضافي: هل صحيح أن المتوسط العمودي للقطعة [AC] يمر من M؟
الجواب: نعم، لأن MA = MC، وأي نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم تقع على متوسطها العمودي.
أرسم رباعي أضلاع ABCD محدباً.
كيف نحصل على نقطة M تحقق MB=MC و MA=MD؟
كيف نحصل على نقطة N تحقق NA=NC و NB=ND؟
للحصول على نقطة متساوية البعد عن نقطتين، نحتاج للمتوسط العمودي
فكر في تقاطع متوسطين عموديين
تحديد الأقطار المناسبة لكل حالة
إيجاد تقاطع المتوسطات العمودية
للنقطة M:
1. النقطة M التي تحقق MB = MC تقع على المتوسط العمودي للقطعة [BC]
2. النقطة M التي تحقق MA = MD تقع على المتوسط العمودي للقطعة [AD]
3. إذن M هي نقطة تقاطع المتوسط العمودي لـ [BC] مع المتوسط العمودي لـ [AD]
للنقطة N:
1. النقطة N التي تحقق NA = NC تقع على المتوسط العمودي للقطعة [AC]
2. النقطة N التي تحقق NB = ND تقع على المتوسط العمودي للقطعة [BD]
3. إذن N هي نقطة تقاطع المتوسط العمودي لـ [AC] مع المتوسط العمودي لـ [BD]
ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف القطعة [BC].
برهن أن (AI) هو المتوسط العمودي للقطعة [BC].
في المثلث متقايس الضلعين: AB = AC
استخدم التطابق لإثبات التعامد
إثبات تطابق المثلثين ABI و ACI
استنتاج التعامد من تساوي الزوايا المتجاورة
1. المثلث ABC متقايس الضلعين في A ⇒ AB = AC
2. I منتصف [BC] ⇒ BI = IC
3. المثلثان ABI و ACI متطابقان (ضلع، ضلع، ضلع)
4. من التطابق نجد أن الزاوية AIB = الزاوية AIC
5. لكن الزاويتان متجاورتان ومتكاملتان (مجموعهما 180 درجة)
6. إذن كل منهما قائمة (90 درجة)
إذن (AI) عمودي على [BC] ويمر بمنتصفها ⇒ هو المتوسط العمودي
ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و [AH] هو الارتفاع الصادر من A.
برهن أن (AH) هو المتوسط العمودي للقطعة [BC].
الارتفاع [AH] عمودي على BC
نحتاج لإثبات أن H منتصف [BC]
استخدام تطابق المثلثين القائمين AHB و AHC
استنتاج أن BH = HC
1. المثلث ABC متقايس الضلعين في A ⇒ AB = AC
2. [AH] ارتفاع ⇒ (AH) ⊥ (BC)
3. المثلثان AHB و AHC متطابقان (وتر، ضلع، زاوية قائمة)
4. من التطابق نجد أن BH = HC ⇒ H منتصف [BC]
إذن (AH) عمودي على [BC] ويمر بمنتصفها ⇒ هو المتوسط العمودي
(C) دائرة مركزها O وشعاعها 3 سم. [AB] هو وتر من هذه الدائرة لا يمر من O.
أرسم المستقيم المار من O والعمودي على [AB] وسمه Δ.
برهن أن Δ هو المتوسط العمودي للقطعة [AB].
A وB نقطتان على الدائرة، إذن OA = OB = نصف القطر
(AB)⊥Δ
يوجد مستقيم وحيد يمر من O و عمودي على (AB)
(AB)⊥Δ
OA=OB=شعاع
(OI) هو الموسط العمودي لـ [AB]