تصحيح مفصل للتمرين الأول

أ) و ب) رسم القطعة والموسط العمودي:

• نرسم القطعة [EF] بالمسطرة بطول 5 cm.
• لإنشاء الموسط العمودي، نفتح البركار بفتحة أكبر من نصف طول القطعة (أكبر من 2.5 cm). نضع رأس البركار على E ونرسم قوسين، واحد فوق القطعة وواحد تحتها. نحافظ على نفس الفتحة، نضع رأس البركار على F ونرسم قوسين يقطعان القوسين الأولين. نصل بين نقطتي التقاطع للحصول على الموسط العمودي.

ج) إنشاء مثلث متساوي الأضلاع EFG:

• يجب أن تكون جميع أضلاعه متساوية الطول (5 cm).
• نفتح البركار بفتحة تساوي طول [EF] أي 5 cm.
• نضع رأس البركار على E ونرسم قوسًا.
• نضع رأس البركار على F ونرسم قوسًا آخر يقطع القوس الأول. نقطة التقاطع هي G.
• نصل بين E و G وبين F و G. نحصل على المثلث متساوي الأضلاع EFG.

تصحيح مفصل للتمرين الثاني

أ) و ب) و ج) الرسم:

• نرسم القطعة [AB] بطول 8 cm.
• ننشئ منصّفها العمودي (d) باستخدام البركار والمسطرة.
• لتعيين النقطة M، نفتح البركار بفتحة 5 cm، نضع رأسه على A، ونرسم قوسًا يقطع المستقيم (d). نقطة التقاطع هي M.

د) طبيعة المثلث AMB:

• الخاصية: كل نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة. [3, 7]
• الشرح: بما أن النقطة M تنتمي إلى الموسط العمودي (d) للقطعة [AB]، فإنها متساوية البعد عن A و B. هذا يعني أن MA = MB.
• لدينا MA = 5 cm، إذن MB = 5 cm أيضًا.
• الاستنتاج: المثلث AMB له ضلعان متساويان (MA = MB)، فهو إذن مثلث متقايس الضلعين رأسه M. [15]

تصحيح مفصل للتمرين الثالث

• الخاصية: كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم تنتمي إلى الموسط العمودي لهذه القطعة. [3, 7]
• التبرير:
  1. بما أن المثلث ABE متقايس الضلعين في E، فإن EA = EB. إذن النقطة E متساوية البعد عن A و B، وبالتالي تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AB].
  2. بما أن المثلث ABF متقايس الضلعين في F، فإن FA = FB. إذن النقطة F متساوية البعد عن A و B، وبالتالي تنتمي أيضًا إلى الموسط العمودي للقطعة [AB].
• الاستنتاج: بما أن النقطتين E و F تنتميان إلى الموسط العمودي للقطعة [AB]، فإن المستقيم المار بهما، أي المستقيم (EF)، هو الموسط العمودي للقطعة [AB].

تصحيح مفصل للتمرين الرابع

أ) و ب) الرسم:

• نرسم زاوية قائمة في A. على أحد ضلعيها نحدد النقطة T بحيث AT = 5 cm، وعلى الضلع الآخر نحدد C بحيث AC = 7 cm. نصل بين T و C.
• ننشئ الموسط العمودي للوتر [TC] باستخدام البركار. نقطة تقاطع هذا الموسط مع [TC] هي I.

ج) ماذا تمثل النقطة I؟

• التعريف: الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو المستقيم العمودي على هذه القطعة في منتصفها. [1]
• التبرير: بما أن المستقيم الذي أنشأناه هو الموسط العمودي للقطعة [TC] ويقطعها في النقطة I، فإن النقطة I هي، حسب التعريف، منتصف القطعة [TC].

تصحيح مفصل للتمرين الخامس

• نعم، الموسط العمودي للقطعة [AB] يمر بالنقطة O.
• الخاصية: كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم تنتمي إلى الموسط العمودي لهذه القطعة. [3, 7]
• الشرح:
  1. بما أن A و B نقطتان من الدائرة التي مركزها O، فإن البعد من O إلى A والبعد من O إلى B كلاهما يساوي نصف قطر الدائرة.
  2. إذًا، OA = OB. هذا يعني أن النقطة O متساوية البعد عن طرفي القطعة [AB].
  3. بتطبيق الخاصية المذكورة أعلاه، نستنتج أن النقطة O تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AB].

تصحيح مفصل للتمرين السادس

أ) و ب) الرسم:

• نرسم مثلثًا ABC.
• ننشئ الموسط العمودي لـ [AB] والموسط العمودي لـ [AC]. نحدد نقطة تقاطعهما O.
• نضع رأس البركار على O ونفتحه حتى يصل القلم إلى A ثم نرسم الدائرة.

ج) ما هي هذه الدائرة؟

• التبرير:
  1. بما أن O تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB]، فإن OA = OB.
  2. بما أن O تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AC]، فإن OA = OC.
  3. من (1) و (2) نستنتج أن OA = OB = OC.
• الاستنتاج: بما أن الدائرة التي مركزها O تمر بـ A، ونصف قطرها هو OA، وبما أن OB و OC يساويان OA، فإن الدائرة تمر أيضًا بالنقطتين B و C. الدائرة التي تمر برؤوس المثلث الثلاثة تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث ABC. [14, 16]

تصحيح مفصل للتمرين السابع

أ) إنشاء المثلث HOP:

• نرسم القطعة [HO] بطول 9 cm.
• نفتح البركار بفتحة 8.5 cm، نضع رأسه على H ونرسم قوسًا.
• نفتح البركار بفتحة 7.5 cm، نضع رأسه على O ونرسم قوسًا آخر يقطع القوس الأول. نقطة التقاطع هي P.
• نصل بين النقاط للحصول على المثلث HOP.

ب) إنشاء الدائرة المحيطة:

• مركز الدائرة المحيطة هو نقطة تلاقي الموسطات العمودية لأضلاع المثلث. [6, 11]
• ننشئ الموسط العمودي للضلع [HO].
• ننشئ الموسط العمودي للضلع [OP].
• نقطة تقاطع هذين الموسطين هي مركز الدائرة المحيطة (ليس من الضروري رسم الثالث لأنه سيمر بنفس النقطة).
• نضع رأس البركار على نقطة التلاقي هذه، ونفتحه حتى يصل القلم إلى أي رأس من الرؤوس (H أو O أو P) ثم نرسم الدائرة.

تصحيح مفصل للتمرين الثامن

• لنمثل مواقع اللاعبين بالنقاط E (إنزو)، A (آنييس)، و I (إلياس). هذه النقاط تشكل مثلثًا EAI.
• المعطيات هي: EA = 3.7 m، IE = 4.2 m، IA = 4.2 m. (المثلث EAI متقايس الضلعين في I).
• يجب وضع الكرية الكبيرة (لتكن النقطة C) على مسافة متساوية من كل لاعب. أي يجب أن يكون CE = CA = CI.
• النقطة المتساوية البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث. [6, 11]
• إذًا، موقع الكرية الكبيرة هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث EAI.
• البعد المطلوبة هي نصف قطر هذه الدائرة المحيطة. لحسابها بدقة، نحتاج إلى صيغ متقدمة. ولكن يمكننا تقديرها بالرسم الدقيق. إذا رسمنا المثلث بمقياس رسم (مثلاً 1 cm لكل 1 m)، ثم أنشأنا مركز الدائرة المحيطة وقسنا البعد من هذا المركز إلى أي رأس، سنجد البعد التقريبية.
• (الحل الدقيق يعطي حوالي 2.3 متر).

تصحيح مفصل للتمرين العاشر

الارتفاع في المثلث هو قطعة مستقيم صادرة من رأس وتكون عمودية على الضلع المقابل (أو امتداده).

1. القطعة المستقيم الممثلة بـ (d3) هي ارتفاع المثلث STU الصادر من الرأس U (لأنها تبدأ من U وعمودية على الضلع المقابل ST).
2. المستقيم (d2) يمثل ارتفاع المثلث STU الصادر من الرأس T (لأنه يمر بـ T وعمودي على الضلع المقابل SU).
3. المستقيم (d1) ليس ارتفاعًا في المثلث STU (لأنه عمودي على الضلع SU ولكنه لا يمر بالرأس المقابل T).

تصحيح مفصل للتمرين الحادي عشر

1. الارتفاع من N: باستخدام المثلث القائم، نرسم مستقيمًا يمر بالنقطة N ويكون عموديًا على الضلع المقابل [MO]. هذا هو الارتفاع المطلوب.
2. الارتفاع من M: نرسم مستقيمًا يمر بالنقطة M ويكون عموديًا على الضلع المقابل [NO]. هذا هو الارتفاع الثاني. (ملاحظة: بما أن الزاوية O تبدو منفرجة، فإن الارتفاع الصادر من M سيقع خارج المثلث، وسيكون عموديًا على *امتداد* الضلع [NO]).

تصحيح مفصل للتمرين الثاني عشر

1. إنشاء المثلث: نرسم القطعة [FG] بطول 8 cm. نفتح البركار بفتحة 5 cm، نضع رأسه على F ونرسم قوسًا. نفتح البركار بفتحة 7 cm، نضع رأسه على G ونرسم قوسًا آخر يقطع الأول. نقطة التقاطع هي E.
2. الارتفاع (d): هو المستقيم المار بـ E والعمودي على الضلع المقابل [FG]. نرسمه باستخدام المثلث القائم.
3. الارتفاع (d'): هو المستقيم المار بـ G والعمودي على الضلع المقابل [EF]. نرسمه بنفس الطريقة.

تصحيح مفصل للتمرين الثالث عشر

1. إنشاء المثلث: نرسم القطعة [HP] بطول 10 cm. نفتح البركار بفتحة 4 cm، نضع رأسه على P ونرسم قوسًا. نفتح البركار بفتحة 7 cm، نضع رأسه على H ونرسم قوسًا آخر يقطع الأول. نقطة التقاطع هي N. (ملاحظة: 4+7=11 > 10، إذن المثلث يمكن إنشاؤه).
2. الارتفاع (d): هو المستقيم المار بـ N والعمودي على الضلع المقابل [HP].
3. الارتفاع (d'): هو المستقيم المار بـ H والعمودي على الضلع المقابل [PN]. بما أن الزاوية عند N تبدو منفرجة، فإن هذا الارتفاع سيكون عموديًا على *امتداد* الضلع [PN].