الفصل الثالث - الهندسة المتقدمة

الإنشاءات المعقدة التطبيقات العملية الأدوات المحدودة

الإنشاءات المتقدمة والتطبيقات العملية

🎨 🔬 ⚙️ 🌍

الفن • العلم • التطبيق • الواقع

التمرين 21

إنشاء شكل البيضة

أنجز الإنشاء التالي لرسم شكل البيضة:

أ) ارسم قطعة مستقيم [AB] وضع منتصفها I

ب) ارسم الدائرة C التي قطرها [AB]

ج) ارسم متناظف القطعة [AB] الذي يقطع الدائرة C في النقطتين E و F

د) ارسم نصفي المستقيمين [AE) و [BE)

هـ) ارسم قوس الدائرة الذي مركزه A ونصف قطره [AB] وأصله B. يقطع نصف المستقيم [AE) في النقطة H

و) ارسم قوس الدائرة الذي مركزه B ونصف قطره [BA] وأصله A. يقطع نصف المستقيم [BE) في النقطة G

ز) ارسم ربع الدائرة الذي مركزه E ونصف قطره [EG] ومحدود بالنقطتين G و H

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يجمع بين عدة مفاهيم هندسية لإنشاء شكل فني

المفاهيم المطلوبة:

• إنشاء منتصف قطعة مستقيم

• رسم دائرة بقطر معطى

• إنشاء متناظف قطعة مستقيم

• رسم أقواس دائرية بمراكز ونصف أقطار مختلفة

أسئلة للتفكير:

• كيف نحدد منتصف قطعة بالبركار والمسطرة؟

• ما علاقة متناظف القطعة بقطر الدائرة؟

• كيف نربط الأقواس المختلفة لتكوين شكل متصل؟

📝 منهجية الحل

استراتيجية الإنشاء:

نبني الشكل تدريجياً من دليل القوة إلى التفاصيل

المرحلة الأولى - القاعدة:

1. نرسم القطعة الأساسية AB

2. نحدد منتصفها I

3. نرسم الدائرة الأساسية

المرحلة الثانية - الإطار:

4. نرسم المتناظف لتحديد النقاط E و F

5. نرسم نصفي المستقيمين للتوجيه

المرحلة الثالثة - التشكيل:

6. نرسم الأقواس الخارجية لتوسيع الشكل

7. نكمل بالقوس العلوي لإغلاق الشكل

✅ الحل النهائي

الإنشاء خطوة بخطوة:

أ) القطعة الأساسية:

نرسم قطعة AB ونحدد منتصفها I باستخدام البركار

ب) الدائرة الأساسية:

نرسم دائرة مركزها I ونصف قطرها IA (أو IB)

هذه الدائرة قطرها هو AB

ج) المتناظف:

نرسم المستقيم العمودي على AB والمار بـ I

يقطع الدائرة في E (أعلى) و F (أسفل)

د) نصفا المستقيمين:

نرسم [AE) و [BE) انطلاقاً من A و B

هـ) القوس الأيمن:

بالبركار: مركز A، نصف القطر AB، من B إلى H على [AE)

و) القوس الأيسر:

بالبركار: مركز B، نصف القطر BA، من A إلى G على [BE)

ز) القوس العلوي:

بالبركار: مركز E، نصف القطر EG، من G إلى H

النتيجة النهائية:

شكل البيضة مكوّن من:

• النصف السفلي: نصف دائرة من F إلى A إلى B إلى F

• الجانبان: قوسان متماثلان AG و BH

• الجزء العلوي: القوس GH

خصائص الشكل:

هذا الإنشاء ينتج شكلاً متماثلاً حول محور AB ومحور EF

التمرين 22

مسألة غرس الأشجار

شجرتان A و B مغروستان على مسافة 45 م من بعضهما البعض. يريد بيير أن يغرس شجرتين أخريين C و D بحيث:

➤ CA = CB و C أقرب ما يمكن إلى A و B

➤ D تقع على مسافة 60 م من A و من B

الشكل التالي يظهر A والنصف مستقيم من أصل A الذي يحتوي على B، وكذلك القطعة [XY] طولها 15 م.

قطعة XY = 15 م

النصف مستقيم من A

باستخدام مسطرة غير مدرجة وبوصلة فقط (دون قياس أي شيء!)، أعد إنتاج هذا الشكل على ورقتك بدقة ثم أنشئ مواقع الأشجار B و C و D.

اشرح إنشاءك! كم موقع ممكن للشجرتين C و D؟

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذه مسألة تطبيقية تحتاج إلى ترجمة المقاييس الحقيقية إلى الرسم

تحليل المعطيات:

• البعد الحقيقية AB = 45 م

• مقياس الرسم: XY = 15 م في الواقع

• إذن نسبة الرسم = 45/15 = 3

• البعد في الرسم AB = 3 × طول XY

شروط المسألة:

• C متساوية البعد من A و B (على متناظف AB)

• C أقرب ما يمكن (على AB أو متناظفه)

• D على مسافة 60 م من A و B (تقاطع دائرتين)

أسئلة للتفكير:

• أين تقع النقاط متساوية البعد من A و B؟

• ما هو أقرب موقع على هذا المكان الهندسي؟

• كيف نرسم دائرة بنصف قطر 60 م في هذا المقياس؟

📝 منهجية الحل

المرحلة الأولى - إعداد المقياس:

1. نرسم القطعة XY بدقة

2. نستخدمها كوحدة قياس (= 15 م)

3. نحسب البعد المطلوبة بهذه الوحدة

المرحلة الثانية - تحديد البعد:

• AB = 45 م = 3 × XY

• البعد إلى D = 60 م = 4 × XY

المرحلة الثالثة - الإنشاءات:

4. نبني البعد AB بالبركار

5. نرسم متناظف AB لإيجاد C

6. نرسم دائرتين لإيجاد D

طريقة نقل البعد:

نستخدم البركار لنقل طول XY عدة مرات

✅ الحل النهائي

الإنشاء التفصيلي:

1) إعداد المقياس:

نرسم القطعة XY كما هو معطى (تمثل 15 م)

نحسب: AB = 45 ÷ 15 = 3 مرات طول XY

البعد إلى D = 60 ÷ 15 = 4 مرات طول XY

2) تحديد موقع B:

• بالبركار نأخذ طول XY

• من A نحمل هذا الطول 3 مرات لنحصل على B

• إذن AB = 3 × XY في الرسم

3) إيجاد موقع C:

• شرط CA = CB يعني أن C على متناظف AB

• شرط "أقرب ما يمكن" يعني C على منتصف AB

• إذن C هو منتصف القطعة AB

• موقع واحد فقط للشجرة C

4) إيجاد مواقع D:

• بالبركار نأخذ 4 × طول XY (= 60 م)

• نرسم دائرة مركزها A بهذا النصف القطر

• نرسم دائرة مركزها B بنفس النصف القطر

• الدائرتان تتقاطعان في نقطتين

• موقعان ممكنان للشجرة D

الإجابة النهائية:

• موقع واحد للشجرة C: منتصف AB

• موقعان للشجرة D: نقطتا تقاطع الدائرتين

شرح الإنشاء:

استخدمنا نقل البعد بالبركار وخصائص المتناظف وتقاطع الدوائر لحل مسألة عملية دون استخدام القياسات المباشرة

التمرين 23

التوازي والانتماء

ليكن ثلاث نقاط غير مستقيمية F و O و U.

أ) ضع نقطة K بحيث K ∈ [FO] و K ∉ [FO]

ب) ضع نقطة L بحيث النقاط O و U و L مستقيمية و (KL) ∥ (FU)

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذا التمرين يتطلب فهماً دقيقاً للرموز الهندسية

الرموز والمعاني:

• [FO]: القطعة المستقيم من F إلى O (محدودة)

• (FO): المستقيم المار بـ F و O (غير محدود)

• [FO): النصف مستقيم من F إلى O وما بعدها

• ∈: ينتمي إلى

• ∉: لا ينتمي إلى

• ∥: موازي

تحليل الشروط:

• K ∈ [FO]: K على المستقيم المار بـ F و O

• K ∉ [FO]: K ليس على القطعة بين F و O

• معاً: K على المستقيم لكن خارج القطعة

أسئلة للتفكير:

• أين يمكن أن تكون K على المستقيم FO؟

• كيف نرسم مستقيم موازي لمستقيم معطى؟

• كم موقع ممكن للنقطة L؟

📝 منهجية الحل

للجزء أ) - تحديد موقع K:

1. نرسم المستقيم (FO)

2. نحدد القطعة [FO]

3. نختار K على المستقيم لكن خارج القطعة

للجزء ب) - تحديد موقع L:

1. نرسم المستقيم (OU)

2. من K نرسم مستقيماً موازياً لـ (FU)

3. نحدد تقاطع هذا المستقيم مع (OU)

طريقة إنشاء المتوازي:

• من \(K\) نرسم المستقيم \((d)\) العمودي على \((FU)\)،

• ثمّ من \(K\) نرسم المستقيم العمودي على \((d)\).

• هذا المستقيم يوازي \((FU)\)، لأنّ مستقيمين يعامدان نفس المستقيم هما متوازيان.

✅ الحل النهائي

أ) تحديد موقع K:

الشرطان معاً:

• K ∈ (FO): K ينتمي إلى المستقيم المار بـ F و O

• K ∉ [FO]: K لا ينتمي إلى القطعة المحدودة بـ F و O

المواقع الممكنة:

K يمكن أن تكون في منطقتين:

1. على امتداد المستقيم بعد F (في الجهة المقابلة لـ O)

2. على امتداد المستقيم بعد O (في الجهة المقابلة لـ F)

ب) تحديد موقع L:

الشروط:

• O, U, L مستقيمية: L على المستقيم (OU)

• (KL) ∥ (FU): المستقيم KL موازي للمستقيم FU

الإنشاء:

1. نرسم المستقيم (FU)

2. من النقطة K نرسم مستقيماً موازياً لـ (FU)

3. نرسم المستقيم (OU)

4. تقاطع المستقيم الموازي مع (OU) يعطي النقطة L

عدد الحلول:

• للنقطة K: حلول لا نهائية (أي نقطة على المستقيم خارج القطعة)

• للنقطة L: حل وحيد لكل موقع من K

ملاحظة هندسية:

هذا التمرين يوضح كيفية استخدام التوازي لربط نقاط مختلفة وإنشاء شكل هندسي معين. كل اختيار لموقع K يحدد موقعاً وحيداً لـ L.

دليل شامل للإنشاءات الهندسية المتقدمة

🎯 الإنشاءات المعقدة

📏 الأدوات والقيود

🔄 التطبيقات العملية

⚠️ نصائح متقدمة

الفصل الثالث - الهندسة المتقدمة

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي