امتحان الهندسة - الصف السادس

التمرين الأول

المثلث والواسطات العمودية

المعطيات:

ليكن ABC مثلثاً بحيث: AB = 6cm، AC = 8cm، BC = 9cm

المستقيمان (d_1) و (d_2) هما الواسطان العموديان للقطعتين [AB] و [BC] على التوالي.

ليكن I نقطة تقاطع المستقيمين (d_1) و (d_2).

أثبت أن IA = IB وأن IB = IC. استنتج أن IA = IC.

استنتج أن I تنتمي إلى الواسط العمودي للقطعة [AC].

أثبت أن I هي مركز الدائرة المارة بالنقاط A و B و C.

لم تبدأ بعد

💡 إرشادات للحل

تذكر خاصية الواسط العمودي: كل نقطة على الواسط العمودي لقطعة تكون متساوية البعد من طرفي القطعة
النقطة I تقع على تقاطع واسطين عموديين
استخدم خاصية التعدي في المساواة
فكر في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

📝 منهجية الحل

الخطة:

استخدام خاصية الواسط العمودي لكل من (d_1) و (d_2)
تطبيق خاصية التعدي للحصول على IA = IC
استخدام عكس خاصية الواسط العمودي
ربط النتائج بمفهوم مركز الدائرة المحيطة

✅ الحل الكامل

بما أن I تنتمي إلى الواسط العمودي (d_1) للقطعة [AB]، فإن كل نقطة على الواسط العمودي تكون متساوية البعد من طرفي القطعة. إذن: IA = IB.

بما أن I تنتمي إلى الواسط العمودي (d_2) للقطعة [BC]، فإن كل نقطة على الواسط العمودي تكون متساوية البعد من طرفي القطعة. إذن: IB = IC.

من الخطوتين السابقتين: IA = IB و IB = IC. بخاصية التعدي في المساواة، نستنتج أن: IA = IC.

بما أن IA = IC، فإن النقطة I متساوية البعد من طرفي القطعة [AC]. وحسب عكس خاصية الواسط العمودي، كل نقطة متساوية البعد من طرفي قطعة تنتمي إلى الواسط العمودي لهذه القطعة. إذن: I تنتمي إلى الواسط العمودي للقطعة [AC].

بما أن IA = IB = IC، فإن النقطة I متساوية البعد من جميع رؤوس المثلث ABC. إذن I هي مركز الدائرة المارة بالنقاط A و B و C (الدائرة المحيطة بالمثلث).

خلاصة مهمة:

تقاطع الواسطات العمودية لأضلاع مثلث يعطي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

التمرين الثاني

المثلث المتقايس الضلعين والتماثل

المعطيات:

ليكن MIE مثلثاً بحيث MI = ME = 7cm و EI = 5.5cm

(d) مستقيم يمر بالنقطة M.

ما طبيعة المثلث MIE؟ برر إجابتك. أنشئ النقطة A متماثل I بالنسبة لـ (d) والنقطة L متماثل E بالنسبة لـ (d).

احسب محيط المثلث MAL.

ارسم الدائرة ذات المركز M والمارة بـ I. ما هي النقاط الأخرى من الشكل التي تمر بها هذه الدائرة؟ برر إجابتك.

لم تبدأ بعد

💡 إرشادات للحل

انظر للأضلاع المتساوية في المثلث MIE
تذكر خصائص التماثل المحوري: البعد تُحفظ
عند حساب المحيط، استخدم خاصية حفظ البعد في التماثل
الدائرة ذات المركز M تمر بكل النقاط التي تبعد نفس البعد عن M

📝 منهجية الحل

الخطة:

تحديد طبيعة المثلث بالنظر للأضلاع المتساوية
استخدام خاصية حفظ البعد في التماثل المحوري
حساب محيط المثلث الجديد باستخدام خصائص التماثل
تحديد النقاط الأخرى على الدائرة بحساب البعد من المركز

✅ الحل الكامل

بما أن MI = ME = 7 سم، فإن المثلث MIE متقايس الضلعين في الرأس M.

في التماثل المحوري، البعد محفوظة:
• [MA] متماثل [MI] بالنسبة لـ (d)، إذن MI = MA = 7 سم
• [ML] متماثل [ME] بالنسبة لـ (d)، إذن ML = ME = 7 سم
• [LA] متماثل [EI] بالنسبة لـ (d)، إذن LA = EI = 5.5 سم

محيط المثلث MAL:

P = MA + ML + LA = 7 + 7 + 5.5 = 19.5 سم

الدائرة ذات المركز M والمارة بـ I لها شعاع MI = 7 سم.

بما أن MI = ME = MA = ML = 7 سم، فإن جميع النقاط I و E و A و L تقع على نفس الدائرة ذات المركز M والشعاع 7 سم.

ملاحظة هندسية:

في التماثل المحوري، النقاط المتماثلة تحافظ على نفس البعد من أي نقطة على محور التناظر.

التمرين الثالث

منصف الزاوية والعمودي

المعطيات:

ليكن [Ou) منصف الزاوية xOy بحيث xOy = 60°

I نقطة أي على [Ou).

العمودي المنطلق من I على [Ou) يقطع [Ox) و [Oy) في A و B على التوالي.

ارسم الشكل.

احسب الزاويتين OBI و OAI. استنتج طبيعة المثلث OAB.

الواسط العمودي (d) للقطعة [OI] يقطع [OB] في C. أثبت أن المستقيمين (d) و (AB) متوازيان.

أثبت أن المثلث OCI متقايس الضلعين في C. احسب قياس الزاوية OCI.

لم تبدأ بعد

💡 إرشادات للحل

منصف الزاوية يقسمها إلى جزأين متساويين
في المثلث القائم، مجموع الزاويتين الحادتين = 90°
للتوازي، ابحث عن زاويتين متبادلتين أو متناظرتين متساويتين
الواسط العمودي يحتوي على النقاط متساوية البعد من طرفي القطعة
في المثلث متقايس الضلعين، الزاويتان عند القاعدة متساويتان

📝 منهجية الحل

الخطة:

استخدام خاصية منصف الزاوية لإيجاد الزوايا
تطبيق خصائص المثلث القائم لحساب الزوايا المطلوبة
استخدام شرط التوازي (العموديان على مستقيم واحد متوازيان)
تطبيق خاصية الواسط العمودي
استخدام خصائص المثلث متقايس الضلعين

✅ الحل الكامل

بما أن [Ou) منصف الزاوية xOy = 60°، فإن: BOI = IOA = 30°

في المثلث القائم OIB: OIB = 90° و BOI = 30°
إذن: OBI = 90° - 30° = 60°
وبنفس الطريقة في المثلث القائم OIA: OAI = 60°

بما أن OBI} = OAI = 60°، فإن المثلث OAB متقايس الضلعين في الرأس O.

نعلم أن (d) ⊥ (OI) و (AB) ⊥ (OI). وحسب القاعدة: إذا كان مستقيمان عموديين على مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان. إذن: (d) \parallel (AB).

بما أن C تنتمي إلى الواسط العمودي (d) للقطعة [OI]، فإن كل نقطة على الواسط العمودي متساوية البعد من طرفي القطعة. إذن: OC = IC، والمثلث OCI متقايس الضلعين في C.

في المثلث متقايس الضلعين OCI: COI} = CIO} = 30°
إذن: OCI} = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°

خلاصة:

هذا التمرين يجمع بين عدة مفاهيم هندسية: منصف الزاوية، العمودية، التوازي، الواسط العمودي، والمثلث متقايس الضلعين.