المستقيمات المتوازية والمتعامدة تمرين 4 — Droites7 — 7ème

بناء الرباعي AIJK وإثبات أنّه مستطيل — موتور الشكل المتطوّر (GEODATA).

نصّ التمرين

ليكن \(ABC\) مثلَّثا قائم الزاوية في \(A\)، و \(I\) منتصف \([AB]\).

أ) ابن المستقيم العمودي على \((AB)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((BC)\) في \(J\).

نرسم من \(I\) المستقيم \((IJ)\) العمودي على \((AB)\)، فيقطع \((BC)\) في \(J\).

\[(IJ) \perp (AB)\ \text{بالبناء}\]

ب) ابن المستقيم العمودي على \((IJ)\) في \(J\) والذي يقطع \((AC)\) في \(K\).

نرسم من \(J\) المستقيم \((JK)\) العمودي على \((IJ)\)، فيقطع \((AC)\) في \(K\).

\[(JK) \perp (IJ)\ \text{بالبناء}\]

أثبت أنّ المستقيمين \((AB)\) و \((JK)\) متوازيان.

\((IJ) \perp (AB)\) بالبناء و \((JK) \perp (IJ)\) بالبناء: المستقيمان \((AB)\) و \((JK)\) يعامدان نفس المستقيم \((IJ)\).

\[(AB) \perp (IJ)\ \text{و}\ (JK) \perp (IJ) \Rightarrow (AB) \parallel (JK)\]

أثبت أنّ المستقيمين \((KJ)\) و \((AK)\) متعامدان.

\((AB) \perp (AC)\) لأنّ الزاوية قائمة في \(A\)، و \((JK) \parallel (AB)\).

مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عموديًا على الآخر، إذن \((JK) \perp (AC)\)، أي:

\[(KJ) \perp (AK)\]

ما هو نوع الرباعي \(AIJK\)؟ علّل جوابك.

في الرباعي \(AIJK\): \((AI) \parallel (KJ)\) و \((IJ) \parallel (AK)\) (كلّ زوج يعامد نفس المستقيم)، والزاوية قائمة في \(A\).

رباعي أضلاعه متوازية مثنى مثنى وفيه زاوية قائمة هو مستطيل.

\[AIJK\ \text{مستطيل}\]

الشكل الأساسي: المثلّث ABC القائم في A و I منتصف [AB]

كل سؤال يضيف طبقة إلى نفس الشكل — بناء تدريجي للبرهان.