المستقيمات المتوازية والمتعامدة تمرين 3 — Droites7 — 7ème

إثبات التوازي باستعمال المؤسّط العمودي — موتور الشكل المتطوّر (GEODATA).

نصّ التمرين

ليكن \(ABC\) مثلَّثا.

ابن المؤسَّط العمودي لقطعة المستقيم \([AB]\) والذي يقطع \((AB)\) في \(I\) و \((BC)\) في \(J\).

المؤسَّط العمودي لـ \([AB]\) يمرّ بمنتصف \([AB]\) (النقطة \(I\)) ويكون عموديًا عليه، ثمّ نمدّده حتى يقطع \((BC)\) في \(J\).

\[(IJ) \perp (AB)\quad \text{و}\quad IA = IB\]

ابن المستقيم العمودي على المستقيم \((IJ)\) والمارّ من النقطة \(J\) والذي يقطع \((AC)\) في \(K\).

نرسم المستقيم \((JK)\) العمودي على \((IJ)\) في \(J\) بالبناء، فيقطع \((AC)\) في \(K\).

\[(JK) \perp (IJ)\ \text{بالبناء}\]

أثبت أنّ المستقيمين \((AB)\) و \((JK)\) متوازيان.

\((AB) \perp (IJ)\) لأنّ \((IJ)\) هو المؤسَّط العمودي لـ \([AB]\)، و \((JK) \perp (IJ)\) بالبناء.

المستقيمان \((AB)\) و \((JK)\) يعامدان نفس المستقيم \((IJ)\)، إذن:

\[(AB) \perp (IJ)\ \text{و}\ (JK) \perp (IJ) \Rightarrow (AB) \parallel (JK)\]

⚠️ تصحيح: في الملفّ الأصلي طُلب إثبات \((AB) \parallel (IK)\). هذا خطأ — النقطة \(I\) لا تنتمي إلى المستقيم \((JK)\)، فالمستقيم \((IK)\) يختلف عن \((JK)\) وليس موازيًا لـ \((AB)\). المستقيم الموازي لـ \((AB)\) هو \((JK)\) وحده (تحقّقنا بالحساب: بإحداثيّات مثلًا \(A(0,0),B(6,0),C(2,5)\) نجد \(I(3,0),J(3,\tfrac{15}{4}),K(\tfrac{3}{2},\tfrac{15}{4})\)، فميل \((IK)\) يساوي \(-2{,}5 \neq 0\)).

الشكل المتطوّر

الشكل الأساسي: المثلّث ABC

كل سؤال يضيف طبقة إلى نفس الشكل — بناء تدريجي للبرهان.