التعامد والتوازي

ملخص شامل للدرس
السابعة أساسي - الهندسة الرياضية

1. الموسط العمودي لقطعة مستقيم

الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو المستقيم العمودي عليها في منتصفها. إنه يلعب دورًا أساسيًا في العديد من الإنشاءات الهندسية.

الخاصية الأساسية: تساوي البعد

الموسط العمودي هو مجموعة كل النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة.

M تنتمي للموسط العمودي لـ [AB] ⇔ MA = MB

2. مفاهيم التعامد والتوازي

المستقيمان المتعامدان (⊥)

مستقيمان متقاطعان يكونان زاوية قائمة (90°).

يوجد مستقيم واحد فقط عمودي على مستقيم معلوم ويمر من نقطة معلومة.

المستقيمان المتوازيان (//)

مستقيمان لا يتقاطعان أبدًا.

يوجد مستقيم واحد فقط موازٍ لمستقيم معلوم ويمر من نقطة معلومة.

3. العلاقة بين التعامد والتوازي

خاصية 1 (إثبات التوازي)

إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم الثالث، فإنهما متوازيان.

(D₁) ⊥ (Δ) and (D₂) ⊥ (Δ) ⇒ (D₁) // (D₂)

خاصية 2 (إثبات التعامد)

إذا كان مستقيمان متوازيين، فكل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديًا على الآخر.

(D₁) // (D₂) and (Δ) ⊥ (D₁) ⇒ (Δ) ⊥ (D₂)

4. المسافات والمسقط العمودي

البعد بين نقطة ومستقيم

هو طول القطعة العمودية الواصلة بين النقطة ومسقطها العمودي على المستقيم. وهو أقصر مسافة ممكنة.

البعد بين مستقيمين متوازيين

هو مسافة ثابتة. نقيسه بأخذ نقطة من أحد المستقيمين وحساب بعدها عن المستقيم الآخر.

5. الوضعية النسبية لدائرة ومستقيم

لتحديد وضعية دائرة (C) مركزها O وشعاعها r بالنسبة لمستقيم (D)، نقارن بين الشعاع r والمسافة d بين المركز O والمستقيم (D).

منفصلان (لا تقاطع)

d > r

متماسان (نقطة واحدة)

d = r

متقاطعان (نقطتان)

d < r

6. الوضعية النسبية لدائرتين

لتحديد وضعية دائرتين (C₁) و (C₂)، نقارن المسافة d بين مركزيهما O₁ و O₂ بمجموع وطرح شعاعيهما r₁ و r₂.

منفصلتان خارجيا

لا توجد نقاط مشتركة.

d > r₁ + r₂

متماستان خارجيا

نقطة مشتركة واحدة.

d = r₁ + r₂

متقاطعتان

نقطتان مشتركتان.

r₁ - r₂ < d < r₁ + r₂

متماستان داخليا

نقطة مشتركة واحدة.

d = r₁ - r₂

منفصلتان داخليا

لا توجد نقاط مشتركة (واحدة داخل الأخرى).

d < r₁ - r₂

متحدتا المركز (حالة خاصة)

لا توجد نقاط مشتركة (إلا إذا كان r₁=r₂).

d = 0

7. خلاصة شاملة

🎯 القواعد الذهبية للحفظ

الموسط العمودي

عمودي في المنتصف ومجموعة النقاط المتساوية البعد.

إثبات التوازي

أثبت أن المستقيمين عموديان على نفس المستقيم الثالث.

إثبات التعامد

أثبت أن المستقيم عمودي على مستقيم آخر يوازيه.

البعد والمسافة

البعد العمودي هو دائمًا أقصر مسافة.