تمارين هندسية حول الدوائر

سلسلة تمارين أنيقة مع حلول مفصلة

1 التمرين الأول

ارسم دائرة (C) مركزها I ونقطة A من الدائرة. ابن المستقيم Δ المماس للدائرة (C) في A وعين على Δ نقطة M. ما هو نوع المثلث MIA؟

الشرح:

  1. المستقيم Δ مماس للدائرة (C) في A ⇒ Δ ⊥ IA (نصف القطر عمودي على المماس عند نقطة التماس).
  2. إذن الزاوية IAM قائمة (90 درجة).
  3. المثلث MIA قائم الزاوية في A.
2 التمرين الثاني

ارسم دائرة (C) مركزها I و[AB] قطرا لها. ابن المماس Δ لـ(C) في A والمماس D لـ(C) في B. برهن أن Δ و D متوازيان.

الشرح:

  1. Δ مماس في A ⇒ Δ ⊥ IA.
  2. D مماس في B ⇒ D ⊥ IB.
  3. [AB] قطر ⇒ I, A, B على استقامة واحدة.
  4. Δ و D كلاهما عموديان على نفس المستقيم (AB) ⇒ Δ ∥ D.
3 التمرين الثالث

ارسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A. ارسم الدائرة (C) التي قطرها [AC]. ما هي الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم (AB)؟

الشرح:

  1. الدائرة (C) قطرها [AC] تمر بـ A و C.
  2. المثلث ABC قائم في A ⇒ (AB) ⊥ (AC) عند A.
  3. بما أن (AB) عمودي على القطر [AC] عند نهايته A، فإن (AB) مماس للدائرة.
  4. الوضعية النسبية: المستقيم (AB) مماس للدائرة (C) في النقطة A.
4 التمرين الرابع

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف [BC].

  1. برهن أن (AI) هو المتوسط العمودي لـ[BC].
  2. ارسم الدائرة التي مركزها I وشعاعها IB.
  3. في كم نقطة يقطع المستقيم (AI) الدائرة (C)؟ علل جوابك.

الشرح:

  1. في مثلث متساوي الساقين، المستقيم المار من القمة الرئيسية ومنتصف القاعدة يكون أيضًا المتوسط العمودي لهذه القاعدة. إذن (AI) هو المتوسط العمودي لـ[BC].
  2. الدائرة مركزها I ونصف قطرها IB. بما أن I منتصف [BC]، فإن IB = IC، لذا الدائرة تمر أيضًا بـ C.
  3. المستقيم (AI) يمر بمركز الدائرة I، إذن هو مستقيم قطري. يقطع الدائرة في نقطتين متقابلتين قطريًا.
5 التمرين الخامس

ارسم دائرة (C1) مركزها O وشعاعها 4. عين خارج الدائرة نقطة A ثم ارسم الدائرة التي قطرها [OA] سمها (C2). الدائرة (C2) تقاطع الدائرة (C1) في نقطتين E و F.

  1. برهن أن المثلث EOA قائم الزاوية في E.
  2. ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (EA) والدائرة (C1)؟ علل جوابك.

الشرح:

  1. النقطة E تنتمي للدائرة (C2) التي قطرها [OA]. إذن المثلث OEA محاط بدائرة أحد أضلاعها قطر لها، وبالتالي فهو قائم الزاوية في E.
  2. بما أن المثلث OEA قائم في E، فإن (EA) ⊥ (OE). و [OE] هو شعاع في الدائرة (C1).
  3. إذن، المستقيم (EA) عمودي على شعاع الدائرة (C1) عند نقطة النهاية E. فالمستقيم (EA) مماس للدائرة (C1) في النقطة E.
6 التمرين السادس

ارسم قطعة مستقيم [AB] منتصفها I. ارسم الدائرة التي مركزها A وشعاعها AI. ابن المتوسط العمودي Δ لـ[AB]. ما هي الوضعية النسبية للمستقيم Δ والدائرة (C)؟

الشرح:

  1. المتوسط العمودي Δ لـ[AB] يمر بمنتصفها I ويكون عموديًا على (AB).
  2. الدائرة (C) مركزها A وشعاعها AI. النقطة I تنتمي للدائرة.
  3. المستقيم Δ يمر بالنقطة I وهو عمودي على الشعاع [AI] (لأنه عمودي على المستقيم الحامل له (AB)).
  4. إذن، Δ مماس للدائرة (C) في النقطة I.
7 التمرين السابع

ارسم دائرة (C) قطرها [AB] حيث طول AB=6 و O منتصف [AB]. ابن المتوسط العمودي Δ للقطعة [AO] وابن المستقيم D الموازي لـΔ والمار من A. برهن أن D و (C) متماسان.

الشرح:

  1. Δ هو المتوسط العمودي لـ[AO]، إذن Δ ⊥ (AB).
  2. لدينا D ∥ Δ، إذن D ⊥ (AB).
  3. بما أن المستقيم D يمر بالنقطة A وهو عمودي على القطر [AB] عند نهايته A.
  4. فإن D مماس للدائرة (C) في النقطة A.
8 التمرين الثامن

[AB] قطعة مستقيم منتصفها I. ارسم الدائرتين (C) مركزها A وشعاعها AI و (C1) مركزها B وشعاعها IB. ما هي وضعيتهما النسبية؟

الشرح:

  1. الدائرة (C) مركزها A وشعاعها R1 = AI.
  2. الدائرة (C1) مركزها B وشعاعها R2 = IB.
  3. المسافة بين المركزين هي AB.
  4. مجموع نصفي القطر هو R1 + R2 = AI + IB. بما أن I منتصف [AB]، فإن AI + IB = AB.
  5. بما أن المسافة بين المركزين تساوي مجموع نصفي القطرين، فإن الدائرتان (C) و (C1) متماستان خارجياً في النقطة I.
9 التمرين التاسع

ارسم مثلث OEF قائم الزاوية في O وارتفاعه [OH]. ابن الدائرة (C) المماسية للمستقيم (EF) والتي مركزها O. ما هي نقطة التماس؟ علل جوابك. ارسم القطر [HK] ثم ابن المستقيم Δ المار من K والموازي لـ(EF). برهن أن Δ هو المماس لـ(C) في K.

الشرح:

  1. بما أن الدائرة (C) مركزها O وهي مماس للمستقيم (EF)، فإن نقطة التماس هي المسقط العمودي لـ O على (EF). لدينا [OH] هو الارتفاع، إذن (OH) ⊥ (EF). وبالتالي نقطة التماس هي H وشعاع الدائرة هو OH.
  2. [HK] هو قطر في الدائرة (C)، إذن H, O, K على استقامة واحدة.
  3. لدينا (EF) ⊥ (OH). وبما أن Δ ∥ (EF)، فإن Δ عمودي أيضًا على المستقيم الحامل للقطر (HK).
  4. بما أن Δ عمودي على القطر [HK] عند نهايته K، فإن Δ هو مماس للدائرة (C) في النقطة K.