دليل مختصر ثمّ أربعة تمارين — كلّ تمرين بشكله المتطوّر.
الإسقاط العمودي لنقطة \(M\) على مستقيم \((D)\): هو تقاطع \((D)\) مع العمودي عليه المارّ من \(M\) (أقرب نقطة من \(M\) على \((D)\)).
البعد بين نقطة ومستقيم = طول العمودي النازل.
المساحة والارتفاع: مساحة المثلّث \(= \dfrac{1}{2} \times\) القاعدة \(\times\) الارتفاع.
(نصّ الدرس الكامل محفوظ في الملف الأصلي؛ هنا لم نحوّل سوى التمارين.)
نرسم من \(B\) العمودي على \((AC)\)؛ نقطة التقاطع \(H\) هي المسقط العمودي لـ \(B\) على \((AC)\).
\((AB) \perp (BC)\) (قائم في \(B\))، إذن بعد \(A\) عن \((BC)\) يساوي \(AB = 3\).
\(A \in (AC)\)، إذن بعد \(A\) عن \((AC)\) يساوي \(0\).
بما أنّ \((BH) \perp (AC)\)، فإنّ بعد \(B\) عن \((AC)\) يساوي \(BH\).
نحسب مساحة المثلّث \(ABC\) بطريقتين:
\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times BC = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AC \times BH = \dfrac{1}{2} \times 5 \times BH\)
إذن \(\dfrac{5 \times BH}{2} = 6\)، ومنه \(BH = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\).
\((BH) \perp (AC)\) و \(C \in (AC)\)، إذن مسقط \(C\) على \((BH)\) هو \(H\)، وبعد \(C\) عن \((BH)\) يساوي \(CH\).
بما أنّ \(H \in [AC]\) و \(AH = 1{,}8\) (من المعطيات)، فإنّ:
\(CH = AC - AH = 5 - 1{,}8 = 3{,}2\)
نرسم من \(A\) العمودي على \((ED)\)؛ التقاطع هو \(F\).
نرسم من \(E\) العمودي على \((BC)\)؛ التقاطع هو \(H\) (منتصف \([BC]\)).
\((BC) \parallel (AD)\) والبعد يساوي \(AB = 4\).
\(D \in (BD)\)، إذن البعد يساوي \(0\).
نسمّي \(K\) مسقط \(A\) العمودي على \((BD)\)؛ البعد المطلوب هو \(AK\).
المثلّث \(ABD\) قائم في \(A\) (لأنّ \(ABCD\) مستطيل). نحسب مساحته بطريقتين:
\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AD = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times BD \times AK = \dfrac{1}{2} \times 5 \times AK\)
إذن \(AK = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\).
\(E\) مركز المستطيل، إذن بعد \(E\) عن \((BC)\) يساوي \(\dfrac{AB}{2} = 2\).
نرسم من \(C\) العمودي على \((AB)\)؛ التقاطع هو \(H\).
بعد \(C\) عن \((AB)\) يساوي \(CH = 3\text{ صم}\).
\(H\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AB)\)، و \(CH\) هو بعد \(C\) عن \((AB)\).
وبما أنّ بعد نقطة عن مستقيم هو أصغر الأبعاد بين هذه النقطة وأيّ نقطة من المستقيم، و \(A\) و \(B\) نقطتان من \((AB)\)، فإنّ:
\(CH < CA\) و \(CH < CB\)
المساحة \(= \dfrac{1}{2} \times AB \times CH = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7{,}5\text{ صم}^2\).
نرسم من \(A\) العمودي على \((BC)\)؛ التقاطع هو \(K\)، وبعد \(A\) عن \((BC)\) يساوي \(AK\).
نحسب مساحة المثلّث \(ABC\) بطريقة ثانية، بأخذ \([BC]\) قاعدةً:
\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times BC \times AK = \dfrac{1}{2} \times AB \times CH\)
إذن \(BC \times AK = AB \times CH = 5 \times 3 = 15\).
ومنه \(AK = \dfrac{15}{BC}\) : كلّما كان \(BC\) أكبر، كان البعد \(AK\) أصغر.
خطأ. لا يوجد تعامد بين \((AI)\) و \((LM)\)؛ في الشكل \((IA) \perp (MN)\)، أي أنّ \(I\) هو مسقط \(A\) على \((MN)\) وليس على \((LM)\).
خطأ. \((AB)\) ليس عموديًا على \((BJ)\)؛ في الشكل \((JB) \perp (MN)\).
صواب. \(L \in (LN)\) و \((ML) \perp (LN)\)، إذن مسقط \(M\) على \((LN)\) هو \(L\).
صواب. \(L \in (LM)\) و \((NL) \perp (LM)\)، إذن مسقط \(N\) على \((LM)\) هو \(L\).
خطأ. \((NA)\) ليس عموديًا على \((IA)\)؛ في الشكل \((IA) \perp (MN)\).