التحليل إلى جداء عوامل أولية، الجذور التربيعية، القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
تفكيك العدد a:
\( a = 25^2 \times 15^3 \times 3^6 \)
نبدأ بتفكيك الأعداد غير الأولية:
\( 25 = 5^2 \)
\( 15 = 3 \times 5 \)
نعوض هذه التفكيكات في تعبير \(a\):
\( a = (5^2)^2 \times (3 \times 5)^3 \times 3^6 \)
\( a = 5^{2 \times 2} \times 3^3 \times 5^3 \times 3^6 \)
\( a = 5^4 \times 3^3 \times 5^3 \times 3^6 \)
نجمع قوى العوامل الأولية المتشابهة:
\( a = 2^0 \times 3^{3+6} \times 5^{4+3} \)
\( a = 3^9 \times 5^7 \)
تفكيك العدد b:
\( b = 5^5 \times (3^2 \times 5)^2 \times 9 \)
نبدأ بتفكيك الأعداد غير الأولية والقوى:
\( (3^2 \times 5)^2 = (3^2)^2 \times 5^2 = 3^4 \times 5^2 \)
\( 9 = 3^2 \)
نعوض هذه التفكيكات في تعبير \(b\):
\( b = 5^5 \times 3^4 \times 5^2 \times 3^2 \)
نجمع قوى العوامل الأولية المتشابهة:
\( b = 2^0 \times 3^{4+2} \times 5^{5+2} \)
\( b = 3^6 \times 5^7 \)
كتابة \( a \times b \) في صيغة جداء عوامل أولية:
من السؤال 1):
\( a = 3^9 \times 5^7 \)
\( b = 3^6 \times 5^7 \)
\( a \times b = (3^9 \times 5^7) \times (3^6 \times 5^7) \)
\( a \times b = 3^{9+6} \times 5^{7+7} \)
\( a \times b = 3^{15} \times 5^{14} \)
كتابة \( \sqrt{15a} \) في صيغة جداء:
لدينا \( a = 3^9 \times 5^7 \)
\( \sqrt{15a} = \sqrt{(3 \times 5) \times (3^9 \times 5^7)} \)
\( \sqrt{15a} = \sqrt{3^{1+9} \times 5^{1+7}} \)
\( \sqrt{15a} = \sqrt{3^{10} \times 5^8} \)
لإخراج العوامل من تحت الجذر، نقسم الأسس على 2:
\( \sqrt{15a} = 3^{10/2} \times 5^{8/2} \)
\( \sqrt{15a} = 3^5 \times 5^4 \)
كتابة \( a+b \) في صيغة جداء:
\( a = 3^9 \times 5^7 \)
\( b = 3^6 \times 5^7 \)
\( a+b = (3^9 \times 5^7) + (3^6 \times 5^7) \)
نلاحظ أن \( 3^6 \times 5^7 \) عامل مشترك:
\( a+b = 3^6 \times 5^7 \times (3^{9-6} + 1) \)
\( a+b = 3^6 \times 5^7 \times (3^3 + 1) \)
\( a+b = 3^6 \times 5^7 \times (27 + 1) \)
\( a+b = 3^6 \times 5^7 \times 28 \)
نفكك 28 إلى عوامله الأولية: \( 28 = 2^2 \times 7 \)
\( a+b = 2^2 \times 3^6 \times 5^7 \times 7^1 \)
حساب \( 15 \times 2^4 \):
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
\( 15 \times 2^4 = 15 \times 16 \)
\( = 240 \)
استنتاج \( \sqrt{540a + 540b} \):
نلاحظ أن 540 عامل مشترك:
\( \sqrt{540a + 540b} = \sqrt{540(a + b)} \)
من السؤال 2)، لدينا \( a+b = 2^2 \times 3^6 \times 5^7 \times 7^1 \)
نفكك 540 إلى عوامله الأولية:
\( 540 = 54 \times 10 = (2 \times 3^3) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \)
نعوض في تعبير الجذر:
\( \sqrt{540(a + b)} = \sqrt{(2^2 \times 3^3 \times 5^1) \times (2^2 \times 3^6 \times 5^7 \times 7^1)} \)
نجمع قوى العوامل الأولية:
\( = \sqrt{2^{2+2} \times 3^{3+6} \times 5^{1+7} \times 7^1} \)
\( = \sqrt{2^4 \times 3^9 \times 5^8 \times 7^1} \)
لإخراج العوامل من تحت الجذر، يجب أن تكون الأسس زوجية. نكتب \( 3^9 \) كـ \( 3^8 \times 3^1 \):
\( = \sqrt{2^4 \times 3^8 \times 3^1 \times 5^8 \times 7^1} \)
\( = \sqrt{(2^2)^2 \times (3^4)^2 \times (5^4)^2 \times (3 \times 7)} \)
\( = (2^2 \times 3^4 \times 5^4) \times \sqrt{3 \times 7} \)
\( = 4 \times 81 \times 625 \times \sqrt{21} \)
\( = 202500 \sqrt{21} \)
تفكيك العدد 525:
525 ÷ 3 = 175
175 ÷ 5 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1
إذن، \( 525 = 3^1 \times 5^2 \times 7^1 \)
تفكيك العدد 540:
540 ÷ 2 = 270
270 ÷ 2 = 135
135 ÷ 3 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
إذن، \( 540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \)
تفكيك \( 525^2 \times 215 + 525^2 \times 325 \):
نلاحظ أن \( 525^2 \) عامل مشترك:
\( = 525^2 \times (215 + 325) \)
\( = 525^2 \times 540 \)
من السؤال 4 أ):
\( 525 = 3^1 \times 5^2 \times 7^1 \)
\( 540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \)
إذن، \( 525^2 = (3^1 \times 5^2 \times 7^1)^2 = 3^2 \times 5^4 \times 7^2 \)
الآن نضرب التفكيكين:
\( (3^2 \times 5^4 \times 7^2) \times (2^2 \times 3^3 \times 5^1) \)
نجمع قوى العوامل المتشابهة:
\( = 2^2 \times 3^{2+3} \times 5^{4+1} \times 7^2 \)
\( = 2^2 \times 3^5 \times 5^5 \times 7^2 \)
تفكيك \( 525 \times 540^2 \):
من السؤال 4 أ):
\( 525 = 3^1 \times 5^2 \times 7^1 \)
\( 540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \)
إذن، \( 540^2 = (2^2 \times 3^3 \times 5^1)^2 = 2^4 \times 3^6 \times 5^2 \)
الآن نضرب التفكيكين:
\( (3^1 \times 5^2 \times 7^1) \times (2^4 \times 3^6 \times 5^2) \)
نجمع قوى العوامل المتشابهة:
\( = 2^4 \times 3^{1+6} \times 5^{2+2} \times 7^1 \)
\( = 2^4 \times 3^7 \times 5^4 \times 7^1 \)
تفكيك \( 525^3 \):
من السؤال 4 أ):
\( 525 = 3^1 \times 5^2 \times 7^1 \)
إذن، \( 525^3 = (3^1 \times 5^2 \times 7^1)^3 \)
نرفع كل عامل للقوة 3:
\( = 3^{1 \times 3} \times 5^{2 \times 3} \times 7^{1 \times 3} \)
\( = 3^3 \times 5^6 \times 7^3 \)
من السؤال 4 أ):
\( 525 = 3^1 \times 5^2 \times 7^1 \)
\( 540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \)
حساب ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر) (540,525):
ق.م.أ هو حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة مرفوعة لأصغر أس.
العوامل المشتركة هي 3 و 5.
أصغر أس للعامل 3 هو \(3^1\).
أصغر أس للعامل 5 هو \(5^1\).
\( \text{ق.م.أ}(540, 525) = 3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15 \)
حساب م.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر) (540,525):
م.م.أ هو حاصل ضرب جميع العوامل الأولية (المشتركة وغير المشتركة) مرفوعة لأكبر أس.
العوامل الموجودة هي 2, 3, 5, 7.
أكبر أس للعامل 2 هو \(2^2\).
أكبر أس للعامل 3 هو \(3^3\).
أكبر أس للعامل 5 هو \(5^2\).
أكبر أس للعامل 7 هو \(7^1\).
\( \text{م.م.أ}(540, 525) = 2^2 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^1 \)
\( = 4 \times 27 \times 25 \times 7 \)
\( = 108 \times 175 \)
\( = 18900 \)