تمرين جديد

تفكيك العدد 88:

88 ÷ 2 = 44

44 ÷ 2 = 22

22 ÷ 2 = 11

11 ÷ 11 = 1

إذن، \( 88 = 2^3 \times 11^1 \)

تفكيك العدد 220:

220 ÷ 2 = 110

110 ÷ 2 = 55

55 ÷ 5 = 11

11 ÷ 11 = 1

إذن، \( 220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1 \)

تفكيك العدد 75:

75 ÷ 3 = 25

25 ÷ 5 = 5

5 ÷ 5 = 1

إذن، \( 75 = 3^1 \times 5^2 \)

من السؤال 1 أ)، لدينا تفكيك العدد 88:

\( 88 = 2^3 \times 11^1 \)

تفكيك \( 75 \times 88 \):

\( 75 \times 88 = (3^1 \times 5^2) \times (2^3 \times 11^1) \)

نجمع العوامل الأولية:

\( = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 \times 11^1 \)

للتحديد ما إذا كان 220 قاسماً لـ \( 75 \times 88 \):

يجب أن تكون جميع العوامل الأولية لـ 220 موجودة في تفكيك \( 75 \times 88 \) بأسس مساوية أو أصغر.

من السؤال 1 أ)، تفكيك \( 220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1 \).

من السؤال 1 ب)، تفكيك \( 75 \times 88 = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 \times 11^1 \).

نقارن الأسس:

• للعامل 2: أس 2 في 220 و أس 3 في \( 75 \times 88 \). \(2 \leq 3\) (مقبول)
• للعامل 5: أس 1 في 220 و أس 2 في \( 75 \times 88 \). \(1 \leq 2\) (مقبول)
• للعامل 11: أس 1 في 220 و أس 1 في \( 75 \times 88 \). \(1 \leq 1\) (مقبول)

بما أن جميع عوامل 220 موجودة في \( 75 \times 88 \) بأسس مناسبة، إذن العدد 220 هو قاسم لـ \( 75 \times 88 \).

إيجاد خارج القسمة الإقليدية:

الخارج هو \( \frac{75 \times 88}{220} \).

باستخدام التفكيكات الأولية:

\( \frac{2^3 \times 3^1 \times 5^2 \times 11^1}{2^2 \times 5^1 \times 11^1} \)

نطرح الأسس للعوامل المشتركة:

\( = 2^{3-2} \times 3^1 \times 5^{2-1} \times 11^{1-1} \)

\( = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 11^0 \)

\( = 2 \times 3 \times 5 \times 1 \)

\( = 30 \)

إذن، خارج القسمة الإقليدية هو 30.

من السؤال 1 أ)، لدينا التفكيكات الأولية:

\( 88 = 2^3 \times 11^1 \)

\( 220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1 \)

حساب ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر) (88, 220):

ق.م.أ هو حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة مرفوعة لأصغر أس.

العوامل المشتركة هي 2 و 11.

أصغر أس للعامل 2 هو \(2^2\).

أصغر أس للعامل 11 هو \(11^1\).

\( \text{ق.م.أ}(88, 220) = 2^2 \times 11^1 = 4 \times 11 = 44 \)

استنتاج ق.م.أ (2200, 880):

نلاحظ أن \( 2200 = 220 \times 10 \) و \( 880 = 88 \times 10 \).

خاصية: \( \text{ق.م.أ}(Ka, Kb) = K \times \text{ق.م.أ}(a, b) \).

هنا \( K = 10 \)، \( a = 88 \)، \( b = 220 \).

\( \text{ق.م.أ}(2200, 880) = 10 \times \text{ق.م.أ}(88, 220) \)

وبما أننا حسبنا \( \text{ق.م.أ}(88, 220) = 44 \):

\( \text{ق.م.أ}(2200, 880) = 10 \times 44 = 440 \)

مجموعة القواسم المشتركة لعددين هي نفسها مجموعة قواسم ق.م.أ لهذين العددين.

من السؤال 2 أ)، حسبنا \( \text{ق.م.أ}(88, 220) = 44 \).

الآن نوجد قواسم العدد 44:

• 44 ÷ 1 = 44
• 44 ÷ 2 = 22
• 44 ÷ 4 = 11
• 44 ÷ 11 = 4
• 44 ÷ 22 = 2
• 44 ÷ 44 = 1

إذن، مجموعة القواسم المشتركة للعددين 88 و 220 هي: \( \{1, 2, 4, 11, 22, 44\} \).

باستعمال جدول بيتاغور (جدول الضرب) لإيجاد قواسم العدد 88:

لإيجاد قواسم عدد، نبحث عن أزواج الأعداد الصحيحة التي حاصل ضربها يساوي هذا العدد.

نبدأ من 1 ونستمر حتى الجذر التربيعي للعدد (لأن القواسم تبدأ في التكرار بعد ذلك).

\( \sqrt{88} \approx 9.38 \)

• 1 × 88 = 88
• 2 × 44 = 88
• 4 × 22 = 88
• 8 × 11 = 88

مجموعة قواسم العدد 88 هي: \( \{1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88\} \).

أ) ما هو قيس طول ضلع القطعة الواحدة؟

لكي نقسم أرضًا مستطيلة إلى "أصغر قطع مربعة"، يجب أن يكون طول ضلع كل مربع هو القاسم المشترك الأكبر لأبعاد الأرض.

أبعاد الأرض هي 2200 متر و 880 متر.

نحتاج إلى حساب ق.م.أ (2200, 880).

من السؤال 2 أ)، حسبنا \( \text{ق.م.أ}(2200, 880) = 440 \).

إذن، قيس طول ضلع القطعة المربعة الواحدة هو 440 متر.

ب) ما هو عدد هذه القطع؟

عدد القطع = (طول الأرض ÷ طول ضلع المربع) × (عرض الأرض ÷ طول ضلع المربع)

عدد القطع = \( \frac{2200}{440} \times \frac{880}{440} \)

\( \frac{2200}{440} = 5 \)

\( \frac{880}{440} = 2 \)

عدد القطع = \( 5 \times 2 = 10 \).

إذن، عدد هذه القطع هو 10 قطع مربعة.