تصحيح السؤال الأول

نسمّي a الرقم الذي يعوّض النقطة الأولى و b الرقم الذي يعوّض النقطة الأخيرة. العدد هو إذن 4a72b.

① لكي يكون العدد قابلا للقسمة على 2، يجب أن يكون رقم الآحاد زوجيا : b ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}.

② لكي يكون العدد قابلا للقسمة على 9 (وبالتالي على 3، لأنّ 9 = 3 × 3)، يجب أن يكون مجموع أرقامه قابلا للقسمة على 9.

مجموع الأرقام المعلومة هو 4 + 7 + 2 = 13، إذن مجموع أرقام العدد هو 13 + a + b.

بما أنّ a و b رقمان، فإنّ 0 ≤ a + b ≤ 18، أي 13 ≤ 13 + a + b ≤ 31. مضاعفات 9 في هذا المجال هي 18 و 27.

• إذا كان 13 + a + b = 18، فإنّ a + b = 5.
• إذا كان 13 + a + b = 27، فإنّ a + b = 14.

③ نضمّ الشرطين : b زوجي، و a + b = 5 أو 14.

• a + b = 5 مع b زوجي : (a , b) = (5 , 0) أو (3 , 2) أو (1 , 4).
• a + b = 14 مع b زوجي : (a , b) = (8 , 6) أو (6 , 8). (b = 4 يعطي a = 10، وهو ليس رقما.)

الأعداد الممكنة هي إذن خمسة : 41724 ، 43722 ، 45720 ، 46728 ، 48726.

نتحقق من كلّ واحد منها :

• 41724 : رقم الآحاد 4 زوجي ✓ ، و 4 + 1 + 7 + 2 + 4 = 18 = 9 × 2 ✓
• 43722 : رقم الآحاد 2 زوجي ✓ ، و 4 + 3 + 7 + 2 + 2 = 18 = 9 × 2 ✓
• 45720 : رقم الآحاد 0 زوجي ✓ ، و 4 + 5 + 7 + 2 + 0 = 18 = 9 × 2 ✓
• 46728 : رقم الآحاد 8 زوجي ✓ ، و 4 + 6 + 7 + 2 + 8 = 27 = 9 × 3 ✓
• 48726 : رقم الآحاد 6 زوجي ✓ ، و 4 + 8 + 7 + 2 + 6 = 27 = 9 × 3 ✓

🔑 الفكرة : لا نجرّب المائة زوج الممكنة. المعياران يُقرآن معا — أحدهما يخصّ رقم الآحاد وحده، والآخر يخصّ مجموع الأرقام — ثمّ نأخذ ما يحقّقهما في نفس الوقت. ولا ننسى المضاعف 27 : الاكتفاء بـ 18 يُفقد حلّين.

تصحيح السؤال الثاني

لدينا العلاقة: المقسوم = (القاسم × الخارج) + الباقي، حيث الباقي أصغر من القاسم.

المعطى هو 488 = 27 × 17 + 29.

هنا، القاسم هو 17، والخارج الظاهري هو 27، والباقي الظاهري هو 29.

لكن الباقي (29) أكبر من القاسم (17)، لذا يجب إجراء قسمة أخرى للباقي على القاسم.

29 ÷ 17 = 1 والباقي 29 - 17 = 12.

إذن، يمكن كتابة 29 على الصورة: 29 = 1 × 17 + 12.

نعوض هذا في العلاقة الأصلية:

488 = 27 × 17 + (1 × 17 + 12)

488 = 27 × 17 + 1 × 17 + 12

488 = (27 + 1) × 17 + 12

488 = 28 × 17 + 12.

الآن، الباقي (12) أصغر من القاسم (17).

إذن, خارج القسمة الإقليدية للعدد 488 على 17 هو 28، وباقي القسمة هو 12.

تصحيح السؤال الثالث أ)

تفكيك العدد 392 إلى جداء عوامل أولية:

• 392 ÷ 2 = 196
• 196 ÷ 2 = 98
• 98 ÷ 2 = 49
• 49 ÷ 7 = 7
• 7 ÷ 7 = 1

إذن، 392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 = \(2^3 \times 7^2\).

تفكيك العدد 162 إلى جداء عوامل أولية:

• 162 ÷ 2 = 81
• 81 ÷ 3 = 27
• 27 ÷ 3 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

إذن، 162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = \(2 \times 3^4\).

تصحيح السؤال الثالث ب)

لدينا من الجزء أ): <\(162 = 2 \times 3^4\)

ولدينا: <\(392 = 2^3 \times 7^2\)

إذن، \(392^2 = (2^3 \times 7^2)^2 = (2^3)^2 \times (7^2)^2 = 2^{3 \times 2} \times 7^{2 \times 2} = 2^6 \times 7^4\).

بالتالي، <\(162 \times 392^2 = (2 \times 3^4) \times (2^6 \times 7^4)\).

نجمع قوى العوامل الأولية المتشابهة:

\(162 \times 392^2 = 2^{1+6} \times 3^4 \times 7^4 = 2^7 \times 3^4 \times 7^4\).

إذن، التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعدد \(162 \times 392^2\) هو \(2^7 \times 3^4 \times 7^4\).

تصحيح السؤال الثالث ج)

لدينا من الجزء أ): <\(162 = 2^1 \times 3^4\)

ولدينا: <\(392 = 2^3 \times 7^2\)

إذن، <\(162 \times 392 = (2^1 \times 3^4) \times (2^3 \times 7^2)\).

نجمع قوى العوامل الأولية المتشابهة:

\(162 \times 392 = 2^{1+3} \times 3^4 \times 7^2 = 2^4 \times 3^4 \times 7^2\).

لكي يكون العدد مربعا كاملا، يجب أن تكون جميع أسس العوامل الأولية في تفكيكه أعدادا زوجية.

في تفكيك \(162 \times 392\)، الأسس هي 4 (للعامل 2)، 4 (للعامل 3)، و 2 (للعامل 7). جميع هذه الأسس أعداد زوجية.

بالتالي، العدد \(162 \times 392\) هو مربع كامل.

يمكننا كتابته على شكل مربع: \(2^4 \times 3^4 \times 7^2 = (2^2)^2 \times (3^2)^2 \times 7^2 = (2^2 \times 3^2 \times 7)^2 = (4 \times 9 \times 7)^2 = (252)^2\).