التمرين عدد 3 - معايير القابلية للقسمة

شكل العدد:
العدد من الشكل: \(7a40b\) حيث \(a\) و \(b\) رقمان مجهولان

الشروط المطلوبة:
• العدد زوجي: b ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
• قابل للقسمة على 3: مجموع الأرقام ≡ 0 (mod 3)
• قابل للقسمة على 5: b ∈ {0, 5}

تحديد قيمة b:
العدد زوجي وقابل للقسمة على 5، إذن \(b = 0\)
العدد يصبح: \(7a400\)

تحديد قيمة a من شرط القسمة على 3:
مجموع الأرقام: \(7 + a + 4 + 0 + 0 = 11 + a\)
لكي يكون قابلاً للقسمة على 3: \(11 + a ≡ 0 \pmod{3}\)
بما أن \(11 ≡ 2 \pmod{3}\)، فنحتاج \(a ≡ 1 \pmod{3}\)
إذن \(a ∈ \{1, 4, 7\}\)

شرط القابلية للقسمة على 9:
مجموع أرقام العدد يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 9

فحص الأعداد:
• العدد 71400: مجموع الأرقام = 7+1+4+0+0 = 12
12 ÷ 9 = 1 والباقي 3 ❌
• العدد 74400: مجموع الأرقام = 7+4+4+0+0 = 15
15 ÷ 9 = 1 والباقي 6 ❌
• العدد 77400: مجموع الأرقام = 7+7+4+0+0 = 18
18 ÷ 9 = 2 والباقي 0 ✓

تبسيط التعبير:
\(a = 3^8 + 3^6\)
نستخرج العامل المشترك \(3^6\):

حساب قيمة a:
\(3^6 = 729\)
إذن \(a = 729 \times 10 = 7290\)

الاستنتاج:
بما أن \(a = 3^6 \times 10\)
إذن a مضاعف للعدد 10

التحقق بطريقة أخرى:
لكي يكون العدد مضاعفاً للعدد 10، يجب أن يكون مضاعفاً لـ 2 و لـ 5
• القابلية للقسمة على 2: a ينتهي بـ 0 (زوجي) ✓
• القابلية للقسمة على 5: a ينتهي بـ 0 ✓

من النتيجة السابقة:
\(a = 3^6 \times 10 = 729 \times 10 = 7290\)

حساب القسمة على 30:

طريقة أخرى:
\(30 = 2 \times 3 \times 5\)
\(a = 3^6 \times 10 = 3^6 \times 2 \times 5\)

التحقق من أن القسمة إقليدية:
\(7290 = 243 \times 30 + 0\)
الباقي = 0، إذن القسمة تامة