التمرين رقم 2 - القواسم

السؤال الأول

1) أكمل المجموعات التالية:

D₂₄ ، D₂₀ ، D₁₂ ، D₄₅ ، D₁₈ ، D₁₀

التصحيح المفصل:

D₁₀ = {1, 2, 5, 10}
قواسم 10: نقسم 10 على الأعداد من 1 إلى 10 ونأخذ النتائج الصحيحة

D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
قواسم 12: 12÷1=12، 12÷2=6، 12÷3=4، 12÷4=3، 12÷6=2، 12÷12=1

D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
قواسم 18: نجد الأعداد التي تقسم 18 بدون باقي

D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
قواسم 20: التحليل إلى عوامل أولية 20 = 2² × 5

D₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
قواسم 24: التحليل 24 = 2³ × 3

D₄₅ = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
قواسم 45: التحليل 45 = 3² × 5

السؤال الثاني

2) أكمل المجموعات التالية:

D₂₄ ∩ D₂₀ ، D₁₂ ∩ D₄₅ ، D₁₈ ∩ D₁₀

التصحيح المفصل:

D₁₈ ∩ D₁₀ = {1, 2}
D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D₁₀ = {1, 2, 5, 10}
العناصر المشتركة: 1 و 2

D₁₂ ∩ D₄₅ = {1, 3}
D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D₄₅ = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
العناصر المشتركة: 1 و 3

D₂₄ ∩ D₂₀ = {1, 2, 4}
D₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
العناصر المشتركة: 1، 2 و 4

ملاحظة: تقاطع مجموعتين يعني العناصر الموجودة في كلا المجموعتين

السؤال الثالث

3) أ) حدد المجموعات التالية:

D₂₉ ، D₂₃ ، D₁₃ ، D₅ ، D₁₉ ، D₇

ب) ماذا نسمي كل عدد صحيح طبيعي مجموعة قواسمه ثنائية (تحتوي على عنصرين فقط)

التصحيح المفصل:

D₅ = {1, 5}
D₇ = {1, 7}
D₁₃ = {1, 13}
D₁₉ = {1, 19}
D₂₃ = {1, 23}
D₂₉ = {1, 29}

نسمي كل عدد صحيح طبيعي مجموعة قواسمه ثنائية: عدد أولي

تعريف العدد الأولي: هو عدد طبيعي أكبر من 1 وله قاسمان فقط هما: 1 ونفسه

أمثلة: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31...

السؤال الرابع

4) أ) أكمل المجموعات التالية:

D₁₇ ∩ D₂₀ ، D₁₆ ∩ D₄₅ ، D₁₈ ∩ D₂₅

ب) ماذا نسمي كل عددين لهما قاسم مشترك وحيد

ج) اذكر 4 أمثلة لأعداد من نفس النوع

التصحيح المفصل:

D₁₇ ∩ D₂₀ = {1}
D₁₇ = {1, 17} (17 عدد أولي)
D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
العنصر المشترك الوحيد: 1

D₁₆ ∩ D₄₅ = {1}
D₁₆ = {1, 2, 4, 8, 16}
D₄₅ = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
العنصر المشترك الوحيد: 1

D₁₈ ∩ D₂₅ = {1}
D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D₂₅ = {1, 5, 25}
العنصر المشترك الوحيد: 1

نسمي كل عددين لهما قاسم مشترك وحيد: عددان أوليان فيما بينهما

تعريف: عددان أوليان فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر لهما يساوي 1

نرمز لذلك: PGCD(a,b) = 1

مثال 1: 8 و 15 → PGCD(8,15) = 1

مثال 2: 9 و 16 → PGCD(9,16) = 1

مثال 3: 14 و 25 → PGCD(14,25) = 1

مثال 4: 21 و 32 → PGCD(21,32) = 1