التمرين رقم 2 - القواسم

الأستاذ: دفواراتي

السؤال الأول
أكمل المجموعات التالية: \(D_{24}, D_{20}, D_{12}, D_{45}, D_{18}, D_{10}\)
تذكير: قواسم عدد \(n\) هي جميع الأعداد الطبيعية التي تقسم \(n\) دون باقي.
نقسم العدد على جميع الأعداد من 1 إلى \(n\)، ونأخذ النتائج الصحيحة فقط.
D₁₀ = {1, 2, 5, 10}
قواسم 10: نقسم 10 على الأعداد من 1 إلى 10 ونأخذ النتائج الصحيحة
D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
12÷1=12، 12÷2=6، 12÷3=4، 12÷4=3، 12÷6=2، 12÷12=1
D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
الأعداد التي تقسم 18 بدون باقي
D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
التحليل إلى عوامل أولية: 20 = 2² × 5
D₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
التحليل 24 = 2³ × 3
D₄₅ = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
التحليل 45 = 3² × 5
السؤال الثاني
أكمل المجموعات التالية: \(D_{24} \cap D_{20}, D_{12} \cap D_{45}, D_{18} \cap D_{10}\)
مؤشر: تقاطع مجموعتين يعني العناصر الموجودة في كلا المجموعتين.
نحدد عناصر كل مجموعة، ثم نأخذ العناصر المشتركة.
D₁₈ ∩ D₁₀ = {1, 2}
D₁₈ = {1,2,3,6,9,18}
D₁₀ = {1,2,5,10}
D₁₂ ∩ D₄₅ = {1, 3}
D₁₂ = {1,2,3,4,6,12}
D₄₅ = {1,3,5,9,15,45}
D₂₄ ∩ D₂₀ = {1, 2, 4}
D₂₄ = {1,2,3,4,6,8,12,24}
D₂₀ = {1,2,4,5,10,20}
السؤال الثالث
أ) حدد المجموعات التالية: \(D_{29}, D_{23}, D_{13}, D_{5}, D_{19}, D_{7}\)
ب) ماذا نسمي عددا طبيعيا مجموعة قواسمه ثنائية؟
مؤشر: العدد الأولي له قاسمان فقط: 1 ونفسه.
نبحث عن قواسم كل عدد، ثم نحدد الأعداد التي لها قاسمان فقط.
D₅={1,5}, D₇={1,7}, D₁₃={1,13}, D₁₉={1,19}, D₂₃={1,23}, D₂₉={1,29}
نسمي عددا له قاسمان فقط: عدد أولي
تعريف: عدد طبيعي أكبر من 1 وله قاسمان فقط هما: 1 ونفسه.
أمثلة: 2، 3، 5، 7، 11، 13...
السؤال الرابع
أ) أكمل المجموعات: \(D_{17}\cap D_{20}, D_{16}\cap D_{45}, D_{18}\cap D_{25}\)
ب) ماذا نسمي كل عددين لهما قاسم مشترك وحيد؟
ج) اذكر 4 أمثلة.
مؤشر: إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعددين يساوي 1 فهما أوليان فيما بينهما.
نحسب تقاطعات المجموعات ثم نفسر تعريف الأعداد الأولية فيما بينها.
D₁₇ ∩ D₂₀ = {1}
D₁₇={1,17}, D₂₀={1,2,4,5,10,20}
D₁₆ ∩ D₄₅ = {1}
D₁₆={1,2,4,8,16}, D₄₅={1,3,5,9,15,45}
D₁₈ ∩ D₂₅ = {1}
D₁₈={1,2,3,6,9,18}, D₂₅={1,5,25}
نسمي عددين لهما قاسم مشترك وحيد: عددان أوليان فيما بينهما
تعريف: إذا كان PGCD(a,b)=1
أمثلة: (8,15), (9,16), (14,25), (21,32)