التمرين رقم 2 - تمارين متنوعة

1) أ) فكك العددين a و b إلى جداء عوامل أولية

حل السؤال 1أ

تفكيك a:
\(a = 2^5 \times 45\)
نحتاج لتفكيك 45:

45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

إذن \(45 = 3^2 \times 5^1\)

تفكيك a:
\(a = 2^5 \times 3^2 \times 5^1\)

تفكيك b:
\(b = 54\)

54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

تفكيك b:
\(b = 2^1 \times 3^3\)

النتائج النهائية:
\(a = 2^5 \times 3^2 \times 5^1\)
\(b = 2^1 \times 3^3\)

ب) استنتج تفكيكاً إلى جداء عوامل أولية للعدد 14400

حل السؤال 1ب

البحث عن العلاقة:
من السؤال السابق: \(a = 2^5 \times 3^2 \times 5^1 = 32 \times 9 \times 5 = 1440\)
نلاحظ أن \(14400 = 1440 \times 10 = a \times 10\)

تفكيك العدد 10:
\(10 = 2^1 \times 5^1\)

حساب تفكيك 14400:

14400 = a × 10
= (2⁵ × 3² × 5¹) × (2¹ × 5¹)
= 2⁶ × 3² × 5²

التحقق:
\(2^6 \times 3^2 \times 5^2 = 64 \times 9 \times 25 = 14400\) ✓

تفكيك العدد 14400: \(14400 = 2^6 \times 3^2 \times 5^2\)

ج) أحسب قيس طول ضلع مربع مساحته تساوي \(14400 \, m^2\)

حل السؤال 1ج

المطلوب:
إذا كانت مساحة المربع = \(14400 \, m^2\)
فإن طول الضلع = \(\sqrt{14400}\)

استخدام التفكيك:
من النتيجة السابقة: \(14400 = 2^6 \times 3^2 \times 5^2\)

التحقق من أن العدد مربع كامل:
جميع دليل القوة زوجية:
• أس العدد 2: 6 (زوجي) ✓
• أس العدد 3: 2 (زوجي) ✓
• أس العدد 5: 2 (زوجي) ✓

حساب الجذر:

√14400 = √(2⁶ × 3² × 5²)
= 2³ × 3¹ × 5¹
= 8 × 3 × 5
= 120

طول ضلع المربع: 120 متر

2) باستعمال جدول بيتاغور أوجد مجموعة قواسم العدد 144

حل السؤال الثاني

تفكيك العدد 144:
\(144 = 12^2 = (4 \times 3)^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2\)

جدول بيتاغور للعدد 144:

×	1	2	3	4	6	8	9	12	16	18	24	36	48	72	144
1	1	2	3	4	6	8	9	12	16	18	24	36	48	72	144
144	144	72	48	36	24	18	16	12	9	8	6	4	3	2	1

مجموعة قواسم 144: \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144\}\)

3) بين أن c يقبل القسمة على 15

حل السؤال الثالث

التعبير المعطى:
\(c = 27^{15} + 2 \times 81^{10}\)

تبسيط القوى:
• \(27 = 3^3\) إذن \(27^{15} = (3^3)^{15} = 3^{45}\)
• \(81 = 3^4\) إذن \(81^{10} = (3^4)^{10} = 3^{40}\)

إعادة كتابة c:

c = 3⁴⁵ + 2 × 3⁴⁰
= 3⁴⁰ × (3⁵ + 2)
= 3⁴⁰ × (243 + 2)
= 3⁴⁰ × 245

تفكيك 245:

245 ÷ 5 = 49
49 ÷ 7 = 7
7 ÷ 7 = 1

إذن \(245 = 5 \times 7^2\)

النتيجة النهائية:
\(c = 3^{40} \times 5 \times 7^2\)
بما أن \(15 = 3 \times 5\)
و c يحتوي على العاملين 3 و 5، إذن c قابل للقسمة على 15

الاستنتاج: العدد c قابل للقسمة على 15

4) أحسب ما يلي: \(m = (10^5 \times 49 - 36 \times 49 + 7^3) + (56^3 - 7^3)\)

حل السؤال الرابع

تبسيط الجزء الأول:
\(10^5 \times 49 - 36 \times 49 + 7^3\)
نستخرج العامل المشترك 49:
\(= 49 \times (10^5 - 36) + 7^3\)
\(= 49 \times (100000 - 36) + 343\)
\(= 49 \times 99964 + 343\)

تبسيط الجزء الثاني:
\(56^3 - 7^3\)
نستخدم صيغة الفرق بين مكعبين: \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)

56³ - 7³ = (56 - 7)(56² + 56×7 + 7²)
= 49 × (3136 + 392 + 49)
= 49 × 3577

الحساب النهائي:

m = (49 × 99964 + 343) + (49 × 3577)
= 49 × 99964 + 343 + 49 × 3577
= 49 × (99964 + 3577) + 343
= 49 × 103541 + 343

ملاحظة 343 = 7³ = 49 × 7:

m = 49 × 103541 + 49 × 7
= 49 × (103541 + 7)
= 49 × 103548

النتيجة: \(m = 49 \times 103548 = 5,073,852\)

5) من بين المجموعات التالية حدد مجموعة قواسم العدد 54 بوضعها في دائرة:

\(\{1;2;3;6;9;15;27;54\}\)

\(\{1;2;3;6;9;18;27;54\}\)

\(\{1;2;3;6;9;16;27;54\}\)

حل السؤال الخامس

تفكيك العدد 54:
من السؤال الأول: \(54 = 2^1 \times 3^3\)

حساب قواسم 54:
القواسم = \(\{2^i \times 3^j : 0 \leq i \leq 1, 0 \leq j \leq 3\}\)
• \(2^0 \times 3^0 = 1\)
• \(2^1 \times 3^0 = 2\)
• \(2^0 \times 3^1 = 3\)
• \(2^1 \times 3^1 = 6\)
• \(2^0 \times 3^2 = 9\)
• \(2^1 \times 3^2 = 18\)
• \(2^0 \times 3^3 = 27\)
• \(2^1 \times 3^3 = 54\)

فحص الخيارات:
الخيار الأول: يحتوي على 15 و \(15 = 3 \times 5\) وليس قاسماً لـ 54 ✗
الخيار الثاني: يحتوي على جميع القواسم الصحيحة ✓
الخيار الثالث: يحتوي على 16 وليس قاسماً لـ 54 ✗

الإجابة الصحيحة: \(\{1;2;3;6;9;18;27;54\}\)

6) في عيد الشجرة أرادت مندوبية الفلاحة توزيع 144 شجرة زيتون و 54 شجرة برتقال بالتساوي على مجموعة من المدارس الإعدادية (نفس عدد الأشجار من كل نوع لكل مدرسة)
أ) ماهو أكبر عدد ممكن من المدارس المنتفعة بالأشجار؟
ب) حدد عدد الأشجار من كل نوع التي انتفعت بها كل مدرسة

حل السؤال السادس

تحليل المسألة:
لتوزيع الأشجار بالتساوي، نحتاج لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لـ 144 و 54
هذا سيعطينا أكبر عدد من المدارس

التفكيكات:
من النتائج السابقة:
• \(144 = 2^4 \times 3^2\)
• \(54 = 2^1 \times 3^3\)

حساب PGCD(144, 54):
نأخذ أصغر أس لكل عامل مشترك:
• العامل 2: min(4, 1) = 1
• العامل 3: min(2, 3) = 2

PGCD(144, 54) = 2¹ × 3² = 2 × 9 = 18

أ) أكبر عدد من المدارس:
أكبر عدد من المدارس = 18 مدرسة

ب) عدد الأشجار لكل مدرسة:
• أشجار الزيتون لكل مدرسة: \(144 \div 18 = 8\) أشجار
• أشجار البرتقال لكل مدرسة: \(54 \div 18 = 3\) أشجار

الإجابة:
أ) أكبر عدد من المدارس: 18 مدرسة
ب) كل مدرسة تحصل على: 8 أشجار زيتون و 3 أشجار برتقال