تمارين متنوعة في الحسابات والقواسم

دفواراتي
حساب بأيسر طريقة
تمرين 1

أحسب بأيسر طريقة:

\[a = 987 \times 5^3 - 987 \times 5^2\]
\[b = (6^3 + 87567) - (35 + 87568)\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للتعبير a: ابحث عن عامل مشترك يمكن إخراجه لتبسيط العملية.

للتعبير b: أزل الأقواس وانتبه لتغير الإشارات. حاول تجميع الأعداد الكبيرة معًا.

📝 الطريقة

a: أخرج العامل المشترك \(987 \times 5^2\). ستحصل على: \(a = 987 \times 5^2 \times (5 - 1)\).
b: \(b = 6^3 + 87567 - 35 - 87568\). جمّع \(87567 - 87568\) أولاً، ثم اجمع النتيجة مع باقي الأعداد.

✅ الحل الكامل

حساب a:
\(a = 987 \times 5^2 \times (5 - 1) = 987 \times 25 \times 4 = 987 \times 100 = 98700\)
حساب b:
\(b = 6^3 + (87567 - 87568) - 35 = 216 - 1 - 35 = 216 - 36 = 180\)
التفكيك والاستنتاج
تمرين 2

نعتبر العددين: \(x = 88 \times 22^2 \times 11^7\) و \(y = 121^2 \times (2^3 \times 11^4)^2\)

  1. فكك الأعداد 88, 242, 243 إلى جداء عوامل أولية.
  2. بيّن أن \(x = 242^5\) و \(y = 242^6\).
  3. اكتب العدد \(x+y\) في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) استخدم القسمة المتتالية على الأعداد الأولية (2, 3, 5, 7, 11...).

2) استبدل كل عدد في تعبيري \(x\) و \(y\) بتفكيكه إلى عوامل أولية، ثم استخدم قوانين القوى لتجميعها.

3) لحساب \(x+y\), أخرج أصغر قوة كعامل مشترك: \(242^5 + 242^6 = 242^5 \times (1 + 242)\).

📝 الطريقة

1. التفكيك:
- \(88 = 8 \times 11 = ...\)
- \(242 = 2 \times 121 = ...\)
- \(243 = 3 \times 81 = ...\)
2. إثبات x و y:
- \(x = (2^3 \times 11) \times (2 \times 11)^2 \times 11^7\). اجمع أسس الـ 2 وأسس الـ 11.
- \(y = (11^2)^2 \times (2^3 \times 11^4)^2\). طبّق قانون \((a^m)^n = a^{mn}\) ثم اجمع الأسس.
3. حساب x+y:
\(x+y = 242^5 \times (243)\). استبدل 242 و 243 بتفكيكهما من السؤال (1) ثم جمّع القوى ذات الدليل المشترك 5.

✅ الحل الكامل

1) التفكيك:
\(88 = 2^3 \times 11\)
\(242 = 2 \times 11^2\)
\(243 = 3^5\)
2) إثبات x و y:
\(x = (2^3 \times 11) \times (2^2 \times 11^2) \times 11^7 = 2^5 \times 11^{10} = (2 \times 11^2)^5 = 242^5\)
\(y = (11^2)^2 \times 2^6 \times 11^8 = 11^4 \times 2^6 \times 11^8 = 2^6 \times 11^{12} = (2 \times 11^2)^6 = 242^6\)
3) حساب x+y:
\(x+y = 242^5 + 242^6 = 242^5 \times (1+242) = 242^5 \times 243\)
\(= (2 \times 11^2)^5 \times 3^5 = (2 \times 11^2 \times 3)^5 = (2 \times 121 \times 3)^5 = 726^5\)
تطبيقات القواسم
تمرين 3

نعتبر العددين \(a = 2^5 \times 45\) و \(b = 54\).

  1. أوجد قواسم العدد 144.
  2. بين أن \(c = 27^{15} + 2 \times 81^{10}\) يقبل القسمة على 15.
  3. في عيد الشجرة، وزعت مندوبية الفلاحة 144 شجرة زيتون و 54 شجرة برتقال بالتساوي على مجموعة من المدارس. ما هو أكبر عدد ممكن من المدارس المنتفعة؟ وما هو نصيب كل مدرسة؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) فكك 144 إلى عوامله الأولية أولاً.

2) لتبين أن \(c\) يقبل القسمة على 15, يجب أن تبين أنه يقبل القسمة على 3 وعلى 5. وحّد الأساسات في تعبير \(c\) إلى 3.

3) "أكبر عدد ممكن" من المجموعات المتساوية يقودنا دائمًا إلى البحث عن القاسم المشترك الأكبر (PGCD).

📝 الطريقة

1. قواسم 144: فكك \(144 = 2^4 \times 3^2\) واستخدم جدول بيثاغور.
2. قابلية قسمة c: اكتب \(c = (3^3)^{15} + 2 \times (3^4)^{10}\) ثم أخرج أصغر قوة للعدد 3 كعامل مشترك.
3. مشكلة الأشجار: احسب ق.م.أ(144, 54). هذا هو عدد المدارس. ثم اقسم عدد كل نوع من الأشجار على ق.م.أ لإيجاد نصيب كل مدرسة.

✅ الحل الكامل

1) قواسم 144: \(D_{144} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144\}\).
2) قابلية قسمة c على 15:
\(c = 3^{45} + 2 \times 3^{40} = 3^{40}(3^5 + 2) = 3^{40}(243+2) = 3^{40} \times 245\).
بما أن \(245 = 5 \times 49\), فإن \(c = 3^{40} \times 5 \times 49\).
بما أن \(c\) يحتوي على العاملين 3 و 5، فهو يقبل القسمة على \(3 \times 5 = 15\).
3) توزيع الأشجار:
نحسب ق.م.أ(144, 54).
\(144 = 2^4 \times 3^2\), \(54 = 2 \times 3^3\).
ق.م.أ = \(2^1 \times 3^2 = 18\).
- أكبر عدد من المدارس: 18 مدرسة.
- نصيب كل مدرسة: \(144 \div 18 = 8\) شجرات زيتون و \(54 \div 18 = 3\) شجرات برتقال.