تمارين في قابلية القسمة

دفواراتي
إيجاد عدد حسب قابلية القسمة
تمرين 1

ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \(4\ldots\) قابلاً للقسمة على 2 و 9 و 25. قدم جميع الحلول الممكنة.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابدأ بالشرط الأقوى. قابلية القسمة على 25 تحدد آخر رقمين في العدد. وبما أنه يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 2 أيضاً (زوجي)، ما هي الاحتمالات الممكنة لآخر رقمين؟

📝 الطريقة

1. الجمع بين شروط 2 و 25:
- قابل للقسمة على 25 يعني أن آخر رقمين هما 00, 25, 50, أو 75.
- قابل للقسمة على 2 يعني أن رقم الآحاد زوجي.
- إذن، آخر رقمين يجب أن يكونا 00 أو 50.
2. تطبيق شرط 9:
- الحالة 1: العدد ينتهي بـ 50 (مثال: \(4X50\)). يجب أن يكون مجموع الأرقام \(4+X+5+0 = 9+X\) من مضاعفات 9. ما هي قيم \(X\) الممكنة؟
- الحالة 2: العدد ينتهي بـ 00 (مثال: \(4X00\)). يجب أن يكون مجموع الأرقام \(4+X+0+0 = 4+X\) من مضاعفات 9. ما هي قيم \(X\) الممكنة؟

✅ الحل الكامل

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 2 و 25، يجب أن ينتهي بـ 00 أو 50.

الحالة 1: العدد ينتهي بـ 50 (شكل \(4...50\))
مجموع الأرقام يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 9.
  • إذا كان من 3 أرقام: \(450\). المجموع 4+5+0 = 9. يقبل القسمة على 9. حل صحيح.
  • إذا كان من 4 أرقام: \(4X50\). المجموع 4+X+5+0 = 9+X. لكي يقبل القسمة على 9، يجب أن يكون X=0 أو X=9. الحلول: 4050, 4950.
الحالة 2: العدد ينتهي بـ 00 (شكل \(4...00\))
مجموع الأرقام يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 9.
  • إذا كان من 4 أرقام: \(4X00\). المجموع 4+X+0+0 = 4+X. لكي يقبل القسمة على 9، يجب أن يكون X=5. الحل: 4500.
الخلاصة: الحلول الممكنة هي 450, 4050, 4950, 4500. (ملاحظة: إذا كان المقصود رقم واحد فقط مكان النقاط، فالحل الوحيد هو 450).
القسمة الإقليدية
تمرين 2

نعتبر المساواة التالية: \(a = 11 \times 47 + 42\)

  1. هل تمثل هذه الكتابة قسمة إقليدية؟ علل جوابك.
  2. حدد باقي وخارج القسمة الإقليدية للعدد \(a\) على 11.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الشرط الأساسي للقسمة الإقليدية \(a = b \times q + r\) هو أن يكون الباقي \(r\) أصغر تماماً من المقسوم عليه \(b\) (\(0 \le r < b\)). هل هذا الشرط محقق في المساواة المعطاة؟

📝 الطريقة

1) التحقق: في \(a = 11 \times 47 + 42\)، المقسوم عليه هو 11 والباقي هو 42. قارن بين 42 و 11.
2) التصحيح: بما أن الباقي (42) أكبر من المقسوم عليه (11)، يجب أن نقسم 42 على 11: \(42 = 11 \times q' + r'\). أوجد \(q'\) و \(r'\).
3) إعادة التجميع: عوض \(42\) في المعادلة الأصلية: \(a = 11 \times 47 + (11 \times q' + r')\). ثم أخرج 11 كعامل مشترك.

✅ الحل الكامل

1) هل هي قسمة إقليدية؟
لا، لأن الباقي (42) أكبر من المقسوم عليه (11). الشرط \(42 < 11\) غير محقق.
2) تحديد الخارج والباقي الصحيحين:
لدينا \(a = 11 \times 47 + 42\).
نعلم أن \(42 = 11 \times 3 + 9\).
نعوض في المعادلة: \(a = 11 \times 47 + (11 \times 3 + 9)\)
\(a = (11 \times 47 + 11 \times 3) + 9\)
\(a = 11 \times (47 + 3) + 9\)
\(a = 11 \times 50 + 9\)
بما أن \(0 \le 9 < 11\)، فإن الخارج هو 50 والباقي هو 9.