تمارين في التفكيك والقواسم

دفواراتي
التفكيك والاستنتاج
تمرين 1

نعتبر العددين \(a = 2^5 \times 45\) و \(b = 54^3\)

  1. فكك العددين \(a\) و \(b\) إلى جداء عوامل أولية.
  2. استنتج تفكيك العدد 14400.
  3. احسب قيس طول ضلع مربع مساحته تساوي 14400 متر مربع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: فكك الأعداد غير الأولية (45 و 54) أولاً، ثم ادمج النتائج.

للسؤال 2: لاحظ أن \(a = 1440\). ما هي العلاقة بين 1440 و 14400؟

للسؤال 3: طول ضلع المربع هو الجذر التربيعي لمساحته. استخدم تفكيك 14400 لإيجاد الجذر بسهولة.

📝 الطريقة

1. تفكيك a و b:
- \(a = 2^5 \times (3^2 \times 5)\)
- \(b = (2 \times 3^3)^3\). استخدم قانون \((xy)^n = x^n y^n\).
2. تفكيك 14400:
\(14400 = 1440 \times 10 = a \times 10\). استخدم تفكيك \(a\) وتفكيك 10.
3. حساب الجذر:
\(\sqrt{14400} = \sqrt{a \times 10}\). استخدم التفكيك من الخطوة 2. تذكر أن \(\sqrt{x^{2n}} = x^n\).

✅ الحل الكامل

1) تفكيك a و b:
\(a = 2^5 \times 45 = 2^5 \times 3^2 \times 5^1\)
\(b = 54^3 = (2 \times 3^3)^3 = 2^3 \times 3^9\)
2) تفكيك 14400:
\(14400 = a \times 10 = (2^5 \times 3^2 \times 5^1) \times (2 \times 5) = 2^6 \times 3^2 \times 5^2\)
3) طول ضلع المربع:
طول الضلع = \(\sqrt{14400} = \sqrt{2^6 \times 3^2 \times 5^2} = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120\) متر.
مجموعات القواسم
تمرين 2

1) باستعمال جدول بيثاغور، أوجد مجموعة قواسم العدد 144.

2) من بين المجموعات التالية، حدد مجموعة قواسم العدد 54:

  • أ) \(\{1;2;3;6;9;15;27;54\}\)
  • ب) \(\{1;2;3;6;9;18;27;54\}\)
  • ج) \(\{1;2;3;6;9;16;27;54\}\)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإيجاد القواسم: فكك العددين 144 و 54 إلى جداء عوامل أولية أولاً. هذا سيسمح لك ببناء جدول بيثاغور لـ 144 والتحقق بسهولة من قواسم 54.

📝 الطريقة

1. قواسم 144:
- فكك: \(144 = 12^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2\).
- قوى 2 هي: 1, 2, 4, 8, 16.
- قوى 3 هي: 1, 3, 9.
- أنشئ جدول بيثاغور بهذه القوى.
2. قواسم 54:
- فكك: \(54 = 2 \times 27 = 2^1 \times 3^3\).
- تحقق من كل مجموعة: هل كل عدد في المجموعة يقسم 54؟ (مثال: هل 15 يقسم 54؟).

✅ الحل الكامل

1) قواسم 144:
\(144 = 2^4 \times 3^2\). من جدول بيثاغور نجد:
\(D_{144} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144\}\)
2) قواسم 54:
المجموعة الصحيحة هي (ب) لأن 15 (في أ) و 16 (في ج) ليسا من قواسم 54. قواسم 54 هي: \(\{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\}\)