تمارين في القواسم و PGCD

المدرسة النموذجية بضفاف البحيرة تونس دفواراتي
التفكيك والقاسم المشترك الأكبر
تمرين 1

نعتبر العددين: \(a = 3 \times 108 = 324\) و \(b = 21 \times 24 = 504\)

  1. أوجد مجموعة قواسم العدد 36.
  2. فكك العددين \(a\) و \(b\) إلى جداء عوامل أولية.
  3. احسب ق.م.أ(a,b).
  4. استنتج مجموعة القواسم المشتركة للعددين \(a\) و \(b\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هناك علاقة قوية بين القواسم المشتركة لعددين والقاسم المشترك الأكبر (PGCD) لهما. ابدأ بتفكيك العددين \(a\) و \(b\) لتسهيل كل الحسابات التالية.

📝 الطريقة

1. قواسم 36: استخدم جدول بيثاغور أو طريقة القسمة. \(36 = 2^2 \times 3^2\).
2. تفكيك a و b: \(a = 324\) و \(b = 504\). قم بالقسمة المتتالية على الأعداد الأولية (2, 3, 7...).
3. حساب PGCD: بعد التفكيك، خذ العوامل الأولية المشتركة فقط وبأصغر أس.
4. القواسم المشتركة: مجموعة القواسم المشتركة لـ \(a\) و \(b\) هي نفسها مجموعة قواسم PGCD(a,b).

✅ الحل الكامل

1) قواسم 36: \(D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\)
2) تفكيك a و b:
\(a = 324 = 2^2 \times 3^4\)
\(b = 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
3) ق.م.أ(a,b):
العوامل المشتركة هي 2 و 3. أصغر أس لـ 2 هو 2، وأصغر أس لـ 3 هو 2.
ق.م.أ(324, 504) = \(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
4) القواسم المشتركة:
هي قواسم العدد 36. إذن المجموعة هي: \(\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\)
مشكلة تقسيم الأرض
تمرين 2

نريد تقسيم أرض مستطيلة أبعادها 324م و 504م إلى قطع مربعة متطابقة.

  1. هل يمكن أن يكون طول ضلع القطعة المربعة 16م؟ علل جوابك.
  2. لو أردنا تقسيمها إلى أقل عدد ممكن من المربعات، فما هو طول ضلع كل قطعة؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) لكي يكون طول الضلع 16م ممكناً، يجب أن يكون 16 قاسماً مشتركاً للبعدين 324 و 504.

2) للحصول على أقل عدد من المربعات، يجب أن يكون طول ضلع المربع أكبر ما يمكن. ما هو أكبر قاسم مشترك ممكن؟

📝 الطريقة

1) التحقق من 16م:
- هل 324 يقبل القسمة على 16؟ \(324 \div 16 = ?\)
- أو، هل 16 موجود في مجموعة القواسم المشتركة التي وجدتها في التمرين السابق؟
2) أقل عدد من المربعات:
- أكبر طول ضلع ممكن هو القاسم المشترك الأكبر (PGCD) للبعدين 324 و 504.
- استخدم النتيجة التي حصلت عليها في التمرين السابق.

✅ الحل الكامل

1) هل 16م ممكن؟
لا، لأن 16 ليس من قواسم 324 ( \(324 \div 16 = 20.25\) ). لكي يكون ممكناً، يجب أن يكون 16 قاسماً للبعدين معاً.
2) طول الضلع لأقل عدد من المربعات:
يجب أن يكون طول الضلع هو القاسم المشترك الأكبر للبعدين.
ق.م.أ(324, 504) = 36.
إذن، طول ضلع كل قطعة مربعة هو 36 مترًا.