قدم كل الإمكانيات الممكنة للعدد من الشكل \(33a5b\) حيث \(a\) و \(b\) رقمان مجهولان.
القسمة على 2: الرقم الأخير يجب أن يكون زوجي (0, 2, 4, 6, 8)
القسمة على 4: الرقمان الأخيران يجب أن يكونا قابلين للقسمة على 4
القسمة على 3: مجموع الأرقام يجب أن يكون قابلا للقسمة على 3
القسمة على 9: مجموع الأرقام يجب أن يكون قابلا للقسمة على 9
لاحظ أن القابلية للقسمة على 9 تتضمن القابلية للقسمة على 3، لذا نركز على شرط القسمة على 9.
العدد من الشكل \(33a5b\) والرقمان الأخيران هما \(5b\)
إذن \(b = 2\) أو \(b = 6\)
مجموع الأرقام = \(3 + 3 + a + 5 + b = 11 + a + b\)
لكي يكون قابلا للقسمة على 9: يجب أن يكون مجموع الأرقام قابلا للقسمة على 9
إذن: \(11 + a + b\) يجب أن يكون من مضاعفات العدد 9
أي: \(a + b = 7\) أو \(a + b = 16\) أو \(a + b = 25\) ...
بما أن \(a\) و \(b\) أرقام (من 0 إلى 9)، فإن أكبر قيمة لـ \(a + b\) هي 18
إذن: \(a + b = 7\) أو \(a + b = 16\)
نحتاج: \(a + 2 \equiv 7 \pmod{9}\)
إذن: \(a \equiv 5 \pmod{9}\)
بما أن \(a\) رقم واحد (0-9)، فإن \(a = 5\)
نحتاج: \(a + 6 \equiv 7 \pmod{9}\)
إذن: \(a \equiv 1 \pmod{9}\)
بما أن \(a\) رقم واحد (0-9)، فإن \(a = 1\)
استخدم المعطى لإيجاد خارج وباقي القسمة الإقليدية بشكل مباشر.
حيث: \(0 \leq r < b\)
في هذه المسألة، المقسوم = 406 والمقسوم عليه = 13
نحتاج لإعادة ترتيب المعادلة المعطاة لتكون على الشكل المطلوب.
الباقي 29 أكبر من المقسوم عليه 13، وهذا لا يتوافق مع شروط القسمة الإقليدية
نحتاج لإعادة ترتيب المعادلة لنحصل على باقي أصغر من 13
لأن 29 ÷ 13 = 2 والباقي 3
أ) فكك العددين 144 و 108 إلى جداء عوامل أولية
ب) استنتج تفكيكا إلى جداء عوامل أولية للعدد \(144 \times 108^2\)
ج) استنتج أن العدد \(144 \times 108^2\) هو مربع كامل
نقسم العدد على الأعداد الأولية بالترتيب: 2, 3, 5, 7, 11, ...
نكرر القسمة على نفس العدد الأولي حتى لا يعود قابلا للقسمة عليه
عدد يكون مربعا كاملا إذا كانت جميع أسس عوامله الأولية زوجية
مثال: \(36 = 2^2 \times 3^2 = (2 \times 3)^2 = 6^2\)
144 و 108 كلاهما زوجي، لذا نبدأ بالقسمة على 2
جميع الأسس (8 و 8) زوجية، إذن العدد مربع كامل