التمرين رقم 4 - التحدي الكبير

دفواراتي

بين بالتفكيك إلى عوامل أولية أن:

7056 هو مربع كامل ثم احسب جذره
تمرين 1

هل العدد 7056 هو مربع كامل؟ إذا كان كذلك، ما هو جذره التربيعي؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكي يكون عدد ما مربعاً كاملاً، يجب أن تكون جميع أسس عوامله الأولية أعداداً زوجية.

ابدأ بتفكيك العدد 7056 إلى عوامله الأولية.

📝 الطريقة

1. تفكيك العدد 7056 إلى عوامله الأولية:

7056 = 2⁴ × 3² × 7²

2. التحقق من الأسس:

  • أس العامل 2 هو 4 (زوجي).
  • أس العامل 3 هو 2 (زوجي).
  • أس العامل 7 هو 2 (زوجي).

بما أن جميع الأسس زوجية، فإن العدد 7056 هو مربع كامل.

✅ الحل الكامل

لحساب الجذر التربيعي، نقوم بقسمة كل أس على 2:

√7056 = √(2⁴ × 3² × 7²) = 2⁴/² × 3²/² × 7²/²
= 2² × 3¹ × 7¹ = 4 × 3 × 7 = 84
النتيجة النهائية

7056 هو مربع كامل، وجذره التربيعي هو 84.

11025 هو مربع كامل ثم احسب جذره
تمرين 2

هل العدد 11025 هو مربع كامل؟ إذا كان كذلك، ما هو جذره التربيعي؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابدأ بتفكيك العدد 11025 إلى عوامله الأولية. تذكر أن العدد يقبل القسمة على 5 إذا كان آحاده 0 أو 5.

بعد التفكيك، تحقق من أن جميع الأسس زوجية.

📝 الطريقة

1. تفكيك العدد 11025 إلى عوامله الأولية:

11025 = 3² × 5² × 7²

2. التحقق من الأسس:

جميع الأسس (2, 2, 2) هي أعداد زوجية. إذن، 11025 هو مربع كامل.

✅ الحل الكامل

لحساب الجذر التربيعي، نقسم كل أس على 2:

√11025 = √(3² × 5² × 7²) = 3¹ × 5¹ × 7¹
= 3 × 5 × 7 = 105
النتيجة النهائية

11025 هو مربع كامل، وجذره التربيعي هو 105.

9125 هو مكعب لعدد صحيح طبيعي، حدده
تمرين 3

هل العدد 9125 هو مكعب كامل لعدد صحيح طبيعي؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكي يكون عدد ما مكعباً كاملاً، يجب أن تكون جميع أسس عوامله الأولية من مضاعفات العدد 3.

قم بتفكيك العدد 9125 إلى عوامله الأولية وتحقق من الأسس.

📝 الطريقة

1. تفكيك العدد 9125 إلى عوامله الأولية:

9125 = 5³ × 73¹

2. التحقق من الأسس:

  • أس العامل 5 هو 3 (من مضاعفات 3).
  • أس العامل 73 هو 1 (ليس من مضاعفات 3).

✅ الحل الكامل

بما أن أس العامل 73 ليس من مضاعفات العدد 3، فإن العدد 9125 ليس مكعباً كاملاً لعدد صحيح طبيعي.

النتيجة النهائية

العدد 9125 ليس مكعباً كاملاً.

5760 هو مضاعف للعدد 128
تمرين 4

بين أن العدد 5760 هو مضاعف للعدد 128.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكي يكون A مضاعفاً لـ B، يجب أن يكون خارج قسمة A على B عددًا صحيحًا.

الطريقة الأسهل هي تفكيك كلا العددين (5760 و 128) إلى عواملهما الأولية ومقارنة الأسس.

📝 الطريقة

1. تفكيك العدد 5760:

5760 = 2⁷ × 3² × 5¹

2. تفكيك العدد 128:

128 = 2⁷

3. المقارنة:

نلاحظ أن جميع العوامل الأولية للعدد 128 (وهي 2⁷) موجودة في تفكيك العدد 5760 بأس يساوي أو أكبر.

✅ الحل الكامل

لإيجاد خارج القسمة، نطرح أسس عوامل 128 من أسس عوامل 5760:

5760 / 128 = (2⁷ × 3² × 5¹) / (2⁷)
= 2⁷⁻⁷ × 3² × 5¹ = 2⁰ × 3² × 5¹ = 1 × 9 × 5 = 45
النتيجة النهائية

بما أن خارج القسمة هو عدد صحيح (45)، فإن 5760 هو مضاعف للعدد 128.

74088 هو مكعب لعدد صحيح طبيعي، حدده
تمرين 5

هل العدد 74088 هو مكعب كامل؟ إذا كان كذلك، حدد العدد.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

القاعدة هي: لكي يكون العدد مكعبًا كاملاً، يجب أن تكون جميع أسس عوامله الأولية من مضاعفات العدد 3.

ابدأ بتفكيك 74088 إلى عوامله الأولية.

📝 الطريقة

1. تفكيك العدد 74088 إلى عوامله الأولية:

74088 = 2³ × 3³ × 7³

2. التحقق من الأسس:

جميع الأسس (3, 3, 3) هي من مضاعفات العدد 3. إذن، 74088 هو مكعب كامل.

✅ الحل الكامل

لحساب الجذر التكعيبي، نقوم بقسمة كل أس على 3:

∛74088 = ∛(2³ × 3³ × 7³) = 2³/³ × 3³/³ × 7³/³
= 2¹ × 3¹ × 7¹ = 2 × 3 × 7 = 42
النتيجة النهائية

74088 هو مكعب كامل، والعدد هو 42.

حساب جذور تربيعية متنوعة
تمرين 6

احسب الجذور التربيعية التالية: √196، √225، √1296، √693، √99225.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإيجاد الجذر التربيعي لعدد، قم أولاً بتفكيكه إلى عوامله الأولية. إذا كانت جميع الأسس زوجية، فالعدد مربع كامل. لحساب الجذر، اقسم كل أس على 2.

📝 الطريقة

تفكيك كل عدد والتحقق:

  • 196: \(196 = 2^2 \times 7^2\). الأسس زوجية.
  • 225: \(225 = 3^2 \times 5^2\). الأسس زوجية.
  • 1296: \(1296 = 2^4 \times 3^4\). الأسس زوجية.
  • 693: \(693 = 3^2 \times 7^1 \times 11^1\). أسس 7 و 11 فردية، ليس مربعًا كاملاً.
  • 99225: \(99225 = 3^4 \times 5^2 \times 7^2\). الأسس زوجية.

✅ الحل الكامل

√196 = √(2² × 7²) = 2¹ × 7¹ = 14
√225 = √(3² × 5²) = 3¹ × 5¹ = 15
√1296 = √(2⁴ × 3⁴) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
√693 = √(3² × 7 × 11) = 3√77 (ليس عدداً صحيحاً)
√99225 = √(3⁴ × 5² × 7²) = 3² × 5¹ × 7¹ = 9 × 5 × 7 = 315
قسمة وتعقيدات
تمرين 7

1. بين أن \(33³ \times 10⁴\) هو مضاعف للعدد \(144 \times 121\).

2. حدد خارج قسمة \(33³ \times 10⁴\) على \(144 \times 121\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لا تقم بحساب الأعداد الكبيرة! استخدم التفكيك إلى عوامل أولية لكل من البسط والمقام.

تذكر أن \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) و \( a^m / a^n = a^{m-n} \).

📝 الطريقة

1. تفكيك البسط \( (A = 33³ \times 10⁴) \):

A = (3 \times 11)³ \times (2 \times 5)⁴ = 3³ \times 11³ \times 2⁴ \times 5⁴

2. تفكيك المقام \( (B = 144 \times 121) \):

B = (12²) \times (11²) = (2² \times 3)² \times 11² = 2⁴ \times 3² \times 11²

✅ الحل الكامل

نقوم الآن بحساب القسمة A/B باستخدام العوامل الأولية:

\frac{A}{B} = \frac{2⁴ \times 3³ \times 5⁴ \times 11³}{2⁴ \times 3² \times 11²}

نقوم بطرح الأسس:

= 2^{4-4} \times 3^{3-2} \times 5^4 \times 11^{3-2}
= 2⁰ \times 3¹ \times 5⁴ \times 11¹ = 1 \times 3 \times 625 \times 11 = 20625
النتيجة النهائية

بما أن خارج القسمة هو عدد صحيح (20625)، فإن البسط هو مضاعف للمقام. خارج القسمة هو 20625.