0
/20
تقدّمك في التمرين
0 إجابة صحيحة
0 أخطاء
12 متبقية
التمرين 2
القسمة الإقليدية — القابلية للقسمة — خصائص الأعداد
8 نقاط
السؤال 1
ضع الرقمَين المناسبَين مكان النقطتين ليصبح العدد 3••6 قابلاً للقسمة على 4 و9 و9 في نفس الوقت. (قدّم جميع الحلول الممكنة)
تذكير: للقسمة على 4 : آخر رقمان يقبل القسمة على 4 — للقسمة على 9 : مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9
3
6
← للخانة الأولى
← للخانة الثانية
الشرط 1 القسمة على 4 : يجب أن يكون العدد المُكوَّن من الرقمَين الأخيرين (••6 → الرقمان الأخيران = رقم ب و 6) قابلاً للقسمة على 4. أي: عدد من شكل ×6 حيث × ∈ {0..9}. الأعداد القابلة للقسمة على 4 : 16, 36, 56, 76, 96 → ب ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
الشرط 2 القسمة على 9 : مجموع الأرقام = 3 + أ + ب + 6 = 9 + أ + ب يقبل القسمة على 9 → أ + ب ∈ {0, 9, 18}
الحلول
ب=1 → أ=8 : العدد 3816 ✓ | ب=3 → أ=6 : العدد 3636 ✓ | ب=5 → أ=4 : العدد 3456 ✓ | ب=7 → أ=2 : العدد 3276 ✓ | ب=9 → أ=0 : العدد 3096 ✓
تحقق 3816 ÷ 4 = 954 ✓ — 3816 ÷ 9 = 424 ✓ — مجموع أرقام 3816 = 18 ✓
السؤال 2
نعتبر المساواة التالية : $a = 19 \times 47 + 43$
أ — القسمة الإقليدية
إذا علمت أن الكتابة السابقة تمثّل قسمة إقليدية، حدّد معللاً جواب القسم وباقي قسمة العدد $a$ على $19$
الخارج =
الباقي =
ب — بدون حساب قيمة a
حدّد دون حساب قيمة $a$، باقي وخارج قسمة العدد $a$ على $19$. علّل جوابك.
الخارج =
الباقي =
القسمة الإقليدية الصيغة العامة: a = q × d + r حيث $0 \leq r < d$
قراءة المساواة $a = 19 \times 47 + 43$ — المقسوم عليه $d = 19$، الخارج $q = 47$، الباقي $r = 43$
التحقق هل $0 \leq 43 < 19$؟ ← 43 > 19 إذاً هذه ليست قسمة إقليدية صحيحة كما هي!
التصحيح $43 = 2 \times 19 + 5$، إذاً: $a = 19 \times 47 + 2 \times 19 + 5 = 19 \times (47+2) + 5 = 19 \times 49 + 5$
الجواب الخارج = 49، الباقي = 5 ✓ التحقق: $0 \leq 5 < 19$ ✓
السؤال 3
بيّن أن المجموع $16^3 + 2^{10}$ يقبل القسمة على $5$
تلميح: حاول تفسير $16^3$ و $2^{10}$ باستعمال قوى العدد $2$
$16^3 =$
المجموع =
خطوة 1 $16 = 2^4$ إذاً $16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$
خطوة 2 $16^3 + 2^{10} = 2^{12} + 2^{10} = 2^{10}(2^2 + 1) = 2^{10} \times 5$
الاستنتاج بما أن $16^3 + 2^{10} = 2^{10} \times 5$، فإن المجموع يقبل القسمة على $\mathbf{5}$ ✓
التمرين 3
التحليل إلى عوامل أولية — PGCD — مربّع كامل — مسائل تطبيقية
12 نقطة
نعتبر العددَين : $a = 2^3 \times 9$ و $b = 162$
السؤال 1 — أ
فكّك العددَين $a$ و $b$ إلى جداء عوامل أولية
$a =$
$b =$
تحليل a $a = 2^3 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
تحليل b $b = 162 = 2 \times 81 = 2 \times 3^4$
جدول بيتاغور لـ b 162 ÷ 2 = 81 | 81 ÷ 3 = 27 | 27 ÷ 3 = 9 | 9 ÷ 3 = 3 | 3 ÷ 3 = 1 → $b = 2 \times 3^4$ ✓
السؤال 1 — ب
بيّن أن جداء $a \times b$ هو مربّع كامل
$a \times b =$
= (...)²
الحساب $a \times b = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 3^4) = 2^4 \times 3^6$
المربّع الكامل جميع الأسس زوجية → $2^4 \times 3^6 = (2^2 \times 3^3)^2 = (4 \times 27)^2 = 108^2$
الاستنتاج $a \times b = 108^2$ إذاً هو مربّع كامل ✓ و $\sqrt{a \times b} = 108$
السؤال 1 — ج
احسب $\text{ق.م.أ}(a,b)$
ق.م.أ(a,b) =
المنهج $a = 2^3 \times 3^2$ و $b = 2^1 \times 3^4$
القاعدة نأخذ لكل عامل أولي مشترك أصغر الأسس
العامل 2 أس في a : 3، أس في b : 1 → نأخذ $2^1$
العامل 3 أس في a : 2، أس في b : 4 → نأخذ $3^2$
النتيجة $\text{ق.م.أ}(a,b) = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = \mathbf{18}$ ✓
السؤال 2
لتلميذ ورقة مقوّاة أبعادها $a$ و $b$ بالصنتمتر. أراد الصانع تقطيعها إلى قطع مربّعة الشكل ومتقاسبة دون إتلاف أيّ جزء من الورقة.
أوجد معللاً جواب طول ضلع المربّع إذا علمت أنّه محصور بين $8$ و$12$ صنتمترا.
تلميح: ضلع المربّع يجب أن يقسم كلاً من $a$ و $b$ → هو قاسم مشترك لـ $a$ و $b$
ضلع المربّع =
صنتمتر
المنطق ضلع المربّع = قاسم مشترك لـ $a = 72$ و $b = 162$
ق.م.أ من السؤال السابق: ق.م.أ$(a,b) = 18$
القواسم المشتركة هي قواسم 18 : {1, 2, 3, 6, 9, 18}
الشرط محصور بين 8 و 12 → من القائمة: 9 صنتمتر ✓
التحقق $a \div 9 = 72 \div 9 = 8$ قطعة ✓ | $b \div 9 = 162 \div 9 = 18$ قطعة ✓
السؤال 3 — أ
لتكن الأعداد: $x = 9 \times 51^2$ و $y = 12^2 \times 5 + 12^2 \times 7$ و $z = 400^3$
اكتب الأعداد السابقة في صيغة جداء عوامل أولية
اكتب الأعداد السابقة في صيغة جداء عوامل أولية
$x =$
$y =$
$z =$
تحليل x $x = 9 \times 51^2 = 3^2 \times (3 \times 17)^2 = 3^2 \times 3^2 \times 17^2 = 3^4 \times 17^2$
تحليل y $y = 12^2 \times 5 + 12^2 \times 7 = 12^2(5+7) = 144 \times 12 = 12^3 = (2^2 \times 3)^3 = 2^6 \times 3^3$
تحليل z $z = 400^3 = (16 \times 25)^3 = (2^4 \times 5^2)^3 = 2^{12} \times 5^6$
السؤال 3 — ب
استنتج تفكيكاً إلى جداء عوامل أولية للأعداد $\sqrt{x}$ و $x^2 y$ و $y \times z$
$\sqrt{x} =$
$x^2 y =$
$y \times z =$
√x $\sqrt{x} = \sqrt{3^4 \times 17^2} = 3^2 \times 17 = 9 \times 17 = 153$
x²y $x^2 \times y = (3^4 \times 17^2)^2 \times (2^6 \times 3^3) = 3^8 \times 17^4 \times 2^6 \times 3^3 = 2^6 \times 3^{11} \times 17^4$
y×z $y \times z = (2^6 \times 3^3) \times (2^{12} \times 5^6) = 2^{18} \times 3^3 \times 5^6$
السؤال 3 — ج
دون إجراء عملية بيّن أن $z$ يقبل القسمة بين $64^2$
$64^2 =$
z ÷ 64² =
تحليل 64² $64 = 2^6$ إذاً $64^2 = 2^{12}$
z $z = 2^{12} \times 5^6$
القسمة $\dfrac{z}{64^2} = \dfrac{2^{12} \times 5^6}{2^{12}} = 5^6 = 15625$
الاستنتاج بما أن $z = 64^2 \times 5^6$ فإن $z$ يقبل القسمة على $64^2$ ✓