تمارين متقدمة في القواسم

دفواراتي
تفكيك واستنتاج
تمرين 1

1) فكك إلى جداء عوامل أولية الأعداد التالية:

\[a = 375, \quad b = 5625, \quad c = 75\]

2) استنتج:

  • أ) خارج القسمة الإقليدية لـ \(b\) على \(c\).
  • ب) أن \(9a\) هو مكعب لعدد صحيح طبيعي.
  • ج) حساب \(\sqrt{5 \times a \times c}\).
  • د) ق.م.أ (75, 5625, 375) و م.م.أ (75, 375).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الخطوة الأولى والأساسية هي تفكيك الأعداد \(a, b, c\) إلى عواملها الأولية. كل الأسئلة التالية تعتمد على نتيجة هذا التفكيك.

  • تذكر قواعد القسمة على 3 (مجموع الأرقام) و 5 (الآحاد 0 أو 5).
  • للقسمة، ق.م.أ، وم.م.أ، استخدم التفكيك بدلاً من الحساب المباشر.

📝 الطريقة

1) التفكيك: قم بالقسمة المتتالية على الأعداد الأولية (3 ثم 5) لكل عدد.
2-أ) القسمة: \(b/c\). اطرح أسس العوامل الأولية المشتركة.
2-ب) المكعب: احسب تفكيك \(9a\). ليكون مكعبًا، يجب أن تكون جميع أسس عوامله الأولية من مضاعفات 3.
2-ج) الجذر التربيعي: احسب تفكيك \(5 \times a \times c\). ليكون له جذر تربيعي صحيح، يجب أن تكون أسس عوامله زوجية.
2-د) ق.م.أ وم.م.أ:
- ق.م.أ (PGCD): خذ العوامل الأولية المشتركة بأصغر أس.
- م.م.أ (PPCM): خذ جميع العوامل الأولية (المشتركة وغير المشتركة) بأكبر أس.

✅ الحل الكامل

1) التفكيك:
\[a = 375 = 3 \times 125 = 3^1 \times 5^3\] \[c = 75 = 3 \times 25 = 3^1 \times 5^2\] \[b = 5625 = 75 \times 75 = (3 \times 5^2)^2 = 3^2 \times 5^4\]
2-أ) القسمة: \(b/c = \frac{3^2 \times 5^4}{3^1 \times 5^2} = 3^{2-1} \times 5^{4-2} = 3^1 \times 5^2 = 75\)
2-ب) المكعب: \(9a = 3^2 \times (3^1 \times 5^3) = 3^3 \times 5^3 = (3 \times 5)^3 = 15^3\). إذن \(9a\) هو مكعب العدد 15.
2-ج) الجذر التربيعي: \(5 \times a \times c = 5^1 \times (3^1 \times 5^3) \times (3^1 \times 5^2) = 3^2 \times 5^6 = (3 \times 5^3)^2 = 375^2\). إذن \(\sqrt{5ac} = 375\).
2-د) ق.م.أ وم.م.أ:
ق.م.أ(a,b,c) = \(3^{\min(1,2,1)} \times 5^{\min(3,4,2)} = 3^1 \times 5^2 = 75\)
م.م.أ(a,c) = \(3^{\max(1,1)} \times 5^{\max(3,2)} = 3^1 \times 5^3 = 375\)
مشكلة الحديقة والأشجار
تمرين 2

حديقة مستطيلة الشكل بُعداها 117 و 273 مترًا. نريد وضع أشجار على طول محيطها بحيث تكون هناك شجرة في كل ركن والمسافة الفاصلة بين كل شجرتين متتاليتين متساوية.

أ) ما هي القيم الممكنة للمسافة بين الأشجار؟

ب) إذا كانت هذه المسافة محصورة بين 10 و 20 مترًا، فما هو العدد اللازم من الأشجار؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكي تكون المسافة متساوية على كلا البعدين، يجب أن تكون هذه المسافة قاسمًا مشتركًا للعددين 117 و 273. ابدأ بتفكيك هذين العددين إلى عوامل أولية.

📝 الطريقة

1. تفكيك العددين: أوجد التفكيك إلى عوامل أولية لـ 117 و 273.
2. إيجاد ق.م.أ (PGCD): احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 117 و 273.
3. إيجاد القواسم المشتركة: مجموعة القواسم المشتركة للعددين هي نفسها مجموعة قواسم الـ PGCD الذي وجدته. هذه هي القيم الممكنة للمسافة.
4. حساب عدد الأشجار:
- اختر المسافة الصحيحة من السؤال (ب).
- احسب محيط الحديقة: \(2 \times (L+l)\).
- عدد الأشجار = المحيط / المسافة.

✅ الحل الكامل

1. التفكيك:
\(117 = 3^2 \times 13\)
\(273 = 3 \times 7 \times 13\)
2. ق.م.أ:
ق.م.أ(117, 273) = \(3^1 \times 13^1 = 39\)
3. القيم الممكنة (أ):
القواسم المشتركة هي قواسم العدد 39، وهي: \(D_{39} = \{1, 3, 13, 39\}\) متر.
4. عدد الأشجار (ب):
- المسافة المحصورة بين 10 و 20 هي 13 مترًا.
- محيط الحديقة: \(2 \times (117 + 273) = 2 \times 390 = 780\) متر.
- عدد الأشجار: \(780 \div 13 = 60\) شجرة.