PPCM - Plus Petit Commun Multiple
اختر جميع مضاعفات العدد 12 من القائمة:
اختر جميع مضاعفات العدد 25 من القائمة:
🎯 مشكلة تنظيمية
يريد الأستاذ تنظيم تلاميذ الصف في مجموعات. لديه صندوقان:
يريد توزيع جميع الأقلام وجميع الدفاتر بالتساوي على مجموعات، بحيث:
ما هو أقل عدد من الأقلام والدفاتر يجب شراؤه؟
التحليل إلى جداء عوامل أولية
🤔 تأمل
لكي يكون العدد قابلا للقسمة على 12، يجب أن يحتوي على جميع عوامل 12 الأولية بنفس الأسس على الأقل.
وبنفس الطريقة، لكي يكون العدد قابلا للقسمة على 18، يجب أن يحتوي على جميع عوامل 18 الأولية.
السؤال 1: ما الذي يجب أن يحتويه العدد ليكون قابلا للقسمة على 12؟
معطى التحليلان التاليان:
في تحليل 24: العامل 2 له دليل القوة 3
في تحليل 36: العامل 2 له دليل القوة 2
ما هو أكبر أس للعامل 2؟
❌ بعض التلاميذ يخلطون بين PGCD و PPCM
✅ تذكر:
24 = 2³ × 3¹
36 = 2² × 3²
الخطوة 1: للعامل 2
max(3, 2) = 3 → نأخذ 2³
الخطوة 2: للعامل 3
max(1, 2) = 2 → نأخذ 3²
النتيجة:
PPCM(24, 36) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
تعريف PPCM
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين هو أصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم يقبل القسمة على كل من هذين العددين.
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on note PPCM(a, b) le plus petit commun multiple de a et b.
الخاصية 1: a يقسم PPCM(a, b) و b يقسم PPCM(a, b)
الخاصية 2: إذا كان m مضاعفا مشتركا لـ a و b، فإن PPCM(a, b) يقسم m
الخاصية 3: PPCM(a, b) ≥ max(a, b)
الخاصية 4: PPCM(a, 1) = a
الخاصية 5: PPCM(a, a) = a
الخاصية 6: PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
مثال: حساب PPCM(12, 18)
M12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...}
M18 = {0, 18, 36, 54, 72, 90, ...}
M12 ∩ M18 = {0, 36, 72, 108, ...}
PPCM(12, 18) = 36 (أصغر مضاعف مشترك غير منعدم)
مثال: حساب PPCM(36, 60)
36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5
نأخذ كل عامل أولي بأكبر أس:
- للعامل 2: max(2, 2) = 2 → 2²
- للعامل 3: max(2, 1) = 2 → 3²
- للعامل 5: max(0, 1) = 1 → 5¹
PPCM(36, 60) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180
العلاقة بين PGCD و PPCM
PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b)
مثال: إذا كان PGCD(12, 18) = 6، فإن:
PPCM(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36
إذا كان PGCD(a, b) = 1 (أوليان فيما بينهما)، فإن:
PPCM(a, b) = a × b
مثال
PPCM(8, 9) = 8 × 9 = 72
لأن PGCD(8, 9) = 1
إذا كان b يقسم a، فإن PPCM(a, b) = a
مثال
PPCM(24, 6) = 24
لأن 6 يقسم 24
الآن أصبحت خبيرا في حساب المضاعف المشترك الأصغر!