🎯 كيف أجد جميع قواسم عدد صحيح طبيعي بطريقة منظمة؟
الطريقة المنهجية:
- ابدأ من 1 (دائماً قاسم)
- جرّب الأعداد بالترتيب: 2، 3، 4، 5...
- توقف عند الجذر التربيعي للعدد
- لكل قاسم تجده، اكتب قاسمه المكمّل (النتيجة)
مثال: قواسم 36
$36 = 1 \times 36$ → قواسم: 1 و 36
$36 = 2 \times 18$ → قواسم: 2 و 18
$36 = 3 \times 12$ → قواسم: 3 و 12
$36 = 4 \times 9$ → قواسم: 4 و 9
$36 = 6 \times 6$ → قاسم: 6
$$\text{قواسم 36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$$
سهل
🧮 كيف أعرف إذا كان عدد قاسماً لآخر دون القسمة؟
التعريف:
$a$ قاسم لـ $b$ إذا وجد عدد صحيح $k$ بحيث: $b = a \times k$
الطريقة السريعة:
إذا كان $b \div a$ يعطي عدداً صحيحاً (بدون باقي)، فإن $a$ قاسم لـ $b$
مثال: هل 7 قاسم لـ 56؟
$56 \div 7 = 8$ (عدد صحيح) → نعم، 7 قاسم لـ 56
سهل
🔄 ما هي خاصية "القاسم المشترك" وكيف نستخدمها؟
التعريف:
القاسم المشترك لعددين هو عدد يقسم كلا العددين
مثال: القواسم المشتركة لـ 12 و 18
قواسم 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
قواسم 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
$$\text{القواسم المشتركة} = \{1, 2, 3, 6\}$$
القاسم المشترك الأكبر (PGCD) هو 6
متوسط
2️⃣ كيف أعرف بسرعة أن عدداً يقبل القسمة على 2؟
المعيار:
عدد يقبل القسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجياً (0، 2، 4، 6، 8)
أمثلة:
- 124 يقبل القسمة على 2 (آحاده 4)
- 357 لا يقبل القسمة على 2 (آحاده 7)
- 1000 يقبل القسمة على 2 (آحاده 0)
لماذا؟
لأن كل عدد يمكن كتابته: $\text{عدد} = 10k + \text{آحاد}$
وبما أن 10 تقبل القسمة على 2، فإن قابلية القسمة تعتمد فقط على رقم الآحاد
سهل
5️⃣ كيف أعرف بسرعة أن عدداً يقبل القسمة على 5؟
المعيار:
عدد يقبل القسمة على 5 إذا كان رقم آحاده 0 أو 5
أمثلة:
- 125 يقبل القسمة على 5 (آحاده 5)
- 340 يقبل القسمة على 5 (آحاده 0)
- 123 لا يقبل القسمة على 5 (آحاده 3)
سهل
3️⃣ كيف أعرف أن عدداً يقبل القسمة على 3؟
المعيار:
عدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
مثال: 12345
مجموع الأرقام: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
$15 \div 3 = 5$ (يقبل القسمة) → إذن 12345 يقبل القسمة على 3
مثال مضاد: 1234
مجموع الأرقام: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$
10 لا يقبل القسمة على 3 → إذن 1234 لا يقبل القسمة على 3
متوسط
9️⃣ كيف أعرف أن عدداً يقبل القسمة على 9؟
المعيار:
عدد يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
مثال: 6327
مجموع الأرقام: $6 + 3 + 2 + 7 = 18$
$18 \div 9 = 2$ (يقبل القسمة) → إذن 6327 يقبل القسمة على 9
ملاحظة مهمة:
كل عدد يقبل القسمة على 9 يقبل أيضاً القسمة على 3 (لأن 9 = 3 × 3)
لكن العكس غير صحيح!
متوسط
4️⃣ كيف أعرف أن عدداً يقبل القسمة على 4؟
المعيار:
عدد يقبل القسمة على 4 إذا كان العدد المكوّن من رقمي الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4
أمثلة:
- 3524 → آخر رقمين: 24 → $24 \div 4 = 6$ ✅
- 1316 → آخر رقمين: 16 → $16 \div 4 = 4$ ✅
- 1234 → آخر رقمين: 34 → 34 لا يقبل القسمة على 4 ❌
متوسط
🔟 كيف أعرف أن عدداً يقبل القسمة على 10؟
المعيار البسيط:
عدد يقبل القسمة على 10 إذا كان رقم آحاده 0
أمثلة:
- 120 يقبل القسمة على 10 ✅
- 3450 يقبل القسمة على 10 ✅
- 123 لا يقبل القسمة على 10 ❌
سهل
🌟 ما هو العدد الأولي ولماذا هو مميز؟
التعريف:
العدد الأولي هو عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 له قاسمان فقط: 1 ونفسه
أمثلة:
- 2 عدد أولي (قواسمه: 1، 2)
- 3 عدد أولي (قواسمه: 1، 3)
- 5 عدد أولي (قواسمه: 1، 5)
- 4 ليس أولياً (قواسمه: 1، 2، 4)
- 1 ليس أولياً (له قاسم واحد فقط)
الأعداد الأولية الأولى:
$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...$$
سهل
🔍 كيف أتحقق إذا كان عدد أولياً؟
الطريقة:
- تحقق من قابلية القسمة على 2، 3، 5...
- توقف عند $\sqrt{n}$ (الجذر التربيعي للعدد)
- إذا لم يوجد قاسم، فالعدد أولي
مثال: هل 29 عدد أولي؟
$\sqrt{29} \approx 5.4$، نتحقق من 2، 3، 5
- 29 ÷ 2 = 14.5 ❌
- 29 ÷ 3 = 9.66... ❌
- 29 ÷ 5 = 5.8 ❌
→ 29 عدد أولي ✅
متوسط
🧩 ما هو التحليل إلى جداء عوامل أولية؟
المبدأ:
كل عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 يمكن كتابته كجداء أعداد أولية بطريقة وحيدة
مثال: تحليل 60
$60 = 2 \times 30$
$60 = 2 \times 2 \times 15$
$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$
$$60 = 2^2 \times 3 \times 5$$
صعب