تمارين شاملة في الحساب (الجزء 2)

المستوى: السنة الخامسة الأعداد الأولية، التفكيك، PPCM و PGCD
مفاهيم حول الأعداد الأولية
تمرين 7

1) ما هو العدد الأولي؟

2) اكتب المجموعة M للأعداد الأولية الأكبر من 20 والأصغر من 50.

3) ما هو العدد الطبيعي الصحيح الذي هو زوجي وأولي في نفس الوقت؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

العدد الأولي هو عدد له قاسمان مختلفان بالضبط. بالنسبة للسؤال الثاني، قم بفحص الأعداد الفردية بين 20 و 50. بالنسبة للسؤال الثالث، فكر في أصغر عدد أولي.

📝 الطريقة

1) تذكر التعريف: عدد طبيعي أكبر من 1 ولا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه.

2) اكتب الأعداد من 21 إلى 49. احذف كل الأعداد الزوجية، ثم الأعداد التي تقبل القسمة على 3 (مجموع أرقامها من مضاعفات 3)، ثم التي تقبل القسمة على 5 (تنتهي بـ 5)، ثم التي تقبل القسمة على 7.

3) جميع الأعداد الزوجية الأكبر من 2 تقبل القسمة على 2، لذا لا يمكن أن تكون أولية.

✅ الحل الكامل

1) العدد الأولي هو عدد طبيعي صحيح أكبر من 1، له قاسمان فقط: 1 ونفسه.

2) \( M = \{23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\} \)

3) العدد الطبيعي الصحيح الزوجي والأولي في نفس الوقت هو 2.

تحديد الأعداد الأولية
تمرين 8

من بين الأعداد التالية، أيها أولي؟ علل إجابتك.

129 - 143 - 146 - 231 - 289 - 221 - 301 - 427 - 899.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم قواعد قابلية القسمة (على 2، 3، 5). إذا لم تنجح، حاول القسمة على الأعداد الأولية التالية (7، 11، 13، 17...). إذا وجدت قاسمًا، فالعدد ليس أوليًا.

📝 الطريقة

  • 129: مجموع أرقامه 1+2+9 = 12، يقبل القسمة على 3.
  • 143: جرب القسمة على 11. \(143 = 11 \times 13\).
  • 146: عدد زوجي.
  • 231: مجموع أرقامه 2+3+1 = 6، يقبل القسمة على 3.
  • 289: جرب القسمة على 17. \(289 = 17 \times 17\).
  • 221: جرب القسمة على 13. \(221 = 13 \times 17\).
  • 301: جرب القسمة على 7. \(301 = 7 \times 43\).
  • 427: جرب القسمة على 7. \(427 = 7 \times 61\).
  • 899: جرب القسمة على الأعداد الأولية الكبيرة. \(899 = 29 \times 31\).

✅ الحل الكامل

لا يوجد أي عدد أولي في هذه القائمة. كل عدد له قاسم آخر غير 1 ونفسه:

  • \(129 = 3 \times 43\)
  • \(143 = 11 \times 13\)
  • \(146 = 2 \times 73\)
  • \(231 = 3 \times 77\)
  • \(289 = 17^2\)
  • \(221 = 13 \times 17\)
  • \(301 = 7 \times 43\)
  • \(427 = 7 \times 61\)
  • \(899 = 29 \times 31\)
التفكيك إلى جداء عوامل أولية
تمرين 9

فكك الأعداد الطبيعية الصحيحة التالية إلى جداء عوامل أولية، ثم اكتبها على شكل قوى بسيطة.

180 - 126 - 380 - 504 - 1029 - 1250.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكل عدد، ابدأ بالقسمة على أصغر عدد أولي ممكن (2). استمر في القسمة على 2 حتى يصبح الناتج فرديًا. ثم انتقل إلى العدد الأولي التالي (3)، وهكذا، حتى يصبح الناتج 1.

📝 الطريقة

مثال لـ 180:

\(180 \div 2 = 90\)

\(90 \div 2 = 45\)

\(45 \div 3 = 15\)

\(15 \div 3 = 5\)

\(5 \div 5 = 1\)

إذن، \(180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5\). اتبع نفس الطريقة للأعداد الأخرى.

✅ الحل الكامل

  • \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
  • \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
  • \(380 = 2^2 \times 5 \times 19\)
  • \(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
  • \(1029 = 3 \times 7^3\)
  • \(1250 = 2 \times 5^4\)
حساب PPCM و PGCD
تمرين 10

1) احسب: أ) \(PPCM(180; 210)\) ب) \(PPCM(104; 240)\)

2) احسب: أ) \(PGCD(225; 360)\) ب) \(PGCD(172; 184)\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الخطوة الأولى دائمًا هي تفكيك كل عدد إلى جداء عوامل أولية. لحساب PPCM (المضاعف المشترك الأصغر)، نأخذ جميع العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس. لحساب PGCD (القاسم المشترك الأكبر)، نأخذ فقط العوامل الأولية المشتركة بأصغر أس.

📝 الطريقة

1) أ) PPCM(180; 210):

  • \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
  • \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)
  • \(PPCM = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) (نأخذ \(2^2\) لأنه دليل القوة الأكبر، \(3^2\) لأنه دليل القوة الأكبر، 5 و 7)

2) أ) PGCD(225; 360):

  • \(225 = 3^2 \times 5^2\)
  • \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
  • \(PGCD = 3^2 \times 5\) (نأخذ \(3^2\) لأنه مشترك، و \(5\) لأنه دليل القوة الأصغر للعامل 5)

اتبع نفس المنطق للحالات الأخرى.

✅ الحل الكامل

1) أ) \(PPCM(180; 210) = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 4 \times 9 \times 5 \times 7 = 1260\)

1) ب) \(104 = 2^3 \times 13\), \(240 = 2^4 \times 3 \times 5\). \(PPCM(104; 240) = 2^4 \times 3 \times 5 \times 13 = 3120\)

2) أ) \(PGCD(225; 360) = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45\)

2) ب) \(172 = 2^2 \times 43\), \(184 = 2^3 \times 23\). \(PGCD(172; 184) = 2^2 = 4\)

PPCM و PGCD مع التفكيك الجاهز
تمرين 11

في كل من الحالتين التاليتين، احسب \(PPCM(a; b)\) و \(PGCD(a; b)\).

الحالة الأولى: \(a = 360\); \(b = 2^3 \times 3^3\)

الحالة الثانية: \(a = 504\); \(b = 2^2 \times 3^4\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكك العدد 'a' في كل حالة، ثم طبق قواعد PPCM (جميع العوامل بأكبر أس) و PGCD (العوامل المشتركة فقط بأصغر أس).

📝 الطريقة

الحالة الأولى:

  • \(a = 360 = 36 \times 10 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
  • \(b = 2^3 \times 3^3\)
  • \(PGCD(a; b) = 2^3 \times 3^2\) (نأخذ أصغر أس لـ 3 وهو 2)
  • \(PPCM(a; b) = 2^3 \times 3^3 \times 5\) (نأخذ أكبر أس لـ 3 وهو 3، ونضيف 5)

الحالة الثانية:

  • \(a = 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
  • \(b = 2^2 \times 3^4\)
  • طبق نفس المنطق.

✅ الحل الكامل

الحالة الأولى:

  • \(PGCD(360; 216) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\)
  • \(PPCM(360; 216) = 2^3 \times 3^3 \times 5 = 8 \times 27 \times 5 = 1080\)

الحالة الثانية:

  • \(PGCD(504; 162) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
  • \(PPCM(504; 162) = 2^3 \times 3^4 \times 7 = 8 \times 81 \times 7 = 4536\)
مسألة: اللقاء المتزامن
تمرين 12

مجموعتان من الأصدقاء يجتمعون في نفس المكان. التقوا في وقت واحد لأول مرة في الأول من يناير. مع العلم أن المجموعة الأولى تجتمع كل يومين والمجموعة الثانية كل خمسة أيام، ما هو تاريخ لقائهم المتزامن الثاني؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذه المشكلة تتعلق بإيجاد الوقت الذي يتكرر فيه حدثان لهما دورات مختلفة في نفس الوقت. هذا يقودنا إلى البحث عن مضاعف مشترك.

📝 الطريقة

نحن نبحث عن أصغر عدد من الأيام يكون مضاعفًا لكل من 2 و 5. هذا يعني أننا بحاجة إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) للعددين 2 و 5.

مضاعفات 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12...

مضاعفات 5: 5, 10, 15...

أصغر مضاعف مشترك غير صفري هو 10. هذا يعني أنهم سيلتقون كل 10 أيام.

✅ الحل الكامل

عدد الأيام حتى اللقاء التالي هو \(PPCM(2; 5)\).

بما أن 2 و 5 عددان أوليان، فإن \(PPCM(2; 5) = 2 \times 5 = 10\).

سيلتقون مرة أخرى بعد 10 أيام من الأول من يناير.

التاريخ هو 1 يناير + 10 أيام = 11 يناير.