جامع طوابع يمتلك 1631 طابعًا سنغاليًا و 932 طابعًا أجنبيًا. يرغب في بيع مجموعته كاملة عن طريق تكوين حزم متطابقة، أي تحتوي على نفس عدد الطوابع ونفس توزيع الطوابع السنغالية والأجنبية.
1) احسب \(PGCD(1631; 932)\) و \(PPCM(1631; 932)\).
2) احسب أقصى عدد من الحزم التي يمكنه تكوينها.
3) في هذه الحالة، كم سيكون عدد الطوابع السنغالية والأجنبية في كل حزمة؟
لتقسيم مجموعتين إلى أكبر عدد ممكن من الأجزاء المتطابقة، نبحث عن أكبر عدد يقسم كلا المجموعتين. هذا يوجهنا نحو القاسم المشترك الأكبر (PGCD).
1) استخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لإيجاد PGCD(1631; 932). ثم استخدم العلاقة \(PPCM(a; b) \times PGCD(a; b) = a \times b\) لإيجاد PPCM.
2) أقصى عدد من الحزم الممكنة هو بالضبط PGCD للعددين.
3) لعدد الطوابع في كل حزمة، اقسم العدد الإجمالي لكل نوع من الطوابع على الـ PGCD الذي وجدته.
1) باستخدام خوارزمية إقليدس:
\(1631 = 932 \times 1 + 699\)
\(932 = 699 \times 1 + 233\)
\(699 = 233 \times 3 + 0\)
إذن \(PGCD(1631; 932) = 233\).
\(PPCM(1631; 932) = (1631 \times 932) / 233 = 1631 \times 4 = 6524\).
2) أقصى عدد من الحزم هو 233 حزمة.
3) عدد الطوابع السنغالية: \(1631 \div 233 = 7\) طوابع.
عدد الطوابع الأجنبية: \(932 \div 233 = 4\) طوابع.
1) انسخ وأكمل الجمل التالية بالعبارة المناسبة:
أ) ليكن p, q, t أعداد طبيعية. إذا كان \(p = q \times t\) فإن p هو ... لـ q و t؛ و q و t هما ... لـ p.
ب) كل عدد طبيعي صحيح هو مضاعف لـ ...
ج) 1 هو ... لكل ...
د) 0 هو ... لكل عدد طبيعي صحيح.
2) أعط تعريف العدد الأولي.
3) أعط الأعداد الأولية الخمسة الأولى.
4) متى يكون العدد الطبيعي a مضاعفًا للعدد الطبيعي b؟
5) متى يكون العدد الطبيعي b قاسمًا للعدد الطبيعي c؟
هذا التمرين يختبر التعاريف الأساسية. تذكر العلاقات بين المضاعفات والقواسم، والخصائص الخاصة بالأعداد 0 و 1.
1) أ) العلاقة \(p=q \times t\) هي تعريف المضاعف والقاسم. ب) فكر في العدد الذي يقسم كل الأعداد. ج) فكر في العدد الذي هو قاسم لكل الأعداد. د) فكر في نتيجة ضرب أي عدد في صفر.
2) تذكر أن العدد الأولي يجب أن يكون أكبر من 1 وله قاسمان فقط.
3) ابدأ من 2 واختبر الأعداد التالية.
4) و 5) تعاريف مباشرة من الدرس.
1) أ) p هو مضاعف لـ q و t؛ و q و t هما قاسمان لـ p.
ب) كل عدد طبيعي صحيح هو مضاعف لـ 1 (ولنفسه).
ج) 1 هو قاسم لكل عدد طبيعي صحيح.
د) 0 هو مضاعف لكل عدد طبيعي صحيح.
2) العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1، لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه.
3) الأعداد الأولية الخمسة الأولى هي: 2, 3, 5, 7, 11.
4) a مضاعف لـ b إذا وجد عدد طبيعي k بحيث \(a = b \times k\).
5) b قاسم لـ c إذا كان باقي قسمة c على b يساوي صفر.
أ) هل المساواة \(51 = 9 \times 5 + 6\) تمثل القسمة الإقليدية لـ 51 على 9؟ لـ 51 على 5؟ علل إجابتك.
ب) هل المساواة \(35 = 4 \times 7 + 7\) تمثل القسمة الإقليدية لـ 35 على 4؟ لـ 35 على 7؟ علل إجابتك.
ج) أعطِ، إن أمكن، خارج القسمة المضبوط لـ 135 على 9؛ 142 على 8؛ 165 على 11؛ 247 على 19.
لكي تمثل مساواة قسمة إقليدية، يجب أن يكون الباقي أصغر تمامًا من القاسم. خارج القسمة يكون "مضبوطًا" فقط إذا كان الباقي صفرًا.
أ) لـ 51 على 9: القاسم هو 9 والباقي هو 6. هل \(6 < 9\)? نعم. إذن هي قسمة إقليدية. لـ 51 على 5: القاسم هو 5 والباقي هو 6. هل \(6 < 5\)? لا. إذن ليست قسمة إقليدية.
ب) طبق نفس المنطق. لـ 35 على 4: هل الباقي (7) أصغر من القاسم (4)؟ لـ 35 على 7: هل الباقي (7) أصغر من القاسم (7)؟
ج) قم بإجراء القسمات وتحقق مما إذا كان الباقي يساوي صفر.
أ) نعم، تمثل القسمة الإقليدية لـ 51 على 9 (لأن \(6 < 9\)). لا، لا تمثل القسمة الإقليدية لـ 51 على 5 (لأن \(6 > 5\)).
ب) لا، لا تمثل القسمة الإقليدية لـ 35 على 4 (لأن \(7 > 4\)). لا، لا تمثل القسمة الإقليدية لـ 35 على 7 (لأن الباقي 7 ليس أصغر تمامًا من القاسم 7).
ج) خوارج القسمة المضبوطة هي: \(135 \div 9 = 15\)، \(165 \div 11 = 15\)، \(247 \div 19 = 13\). قسمة 142 على 8 ليست مضبوطة (الباقي 6).
من بين المساواة التالية، انسخ تلك التي تمثل قسمة إقليدية؟ علل.
a) \(54 = 27 \times 2 + 0\)
b) \(16 = 2 \times 7 + 2\)
c) \(16 = 3 \times 5 + 1\)
d) \(16 = 2 \times 4 + 8\)
e) \(25 = 5 \times 4 + 5\)
f) \(22 = 2 \times 10 + 2\)
g) \(22 = 5 \times 3 + 7\)
h) \(30 = 3 \times 9 + 3\)
i) \(15 = 3 \times 3 + 6\)
تذكر الشرط الأساسي للقسمة الإقليدية: الباقي يجب أن يكون أصغر تمامًا من القاسم. في كل مساواة من الشكل \(a = b \times q + r\)، تحقق مما إذا كان \(r < b\).
المساويات التي تمثل قسمة إقليدية هي:
الحالات الأخرى غير صحيحة لأن:
1) أوجد \(PPCM(18; 42)\) و \(PPCM(9; 21)\).
2) أوجد \(PPCM(18; 42; 21)\).
3) أوجد \(PGCD(9; 30; 45)\).
لجميع الأسئلة، الطريقة الأكثر فعالية هي تفكيك كل عدد إلى جداء عوامله الأولية أولاً، ثم تطبيق قواعد PPCM و PGCD.
1) فكك الأعداد:
\(18 = 2 \times 3^2\)
\(42 = 2 \times 3 \times 7\)
\(9 = 3^2\)
\(21 = 3 \times 7\)
ثم احسب PPCM لكل زوج.
2) استخدم التفكيك السابق للأعداد 18, 42, 21. لإيجاد PPCM لثلاثة أعداد، خذ جميع العوامل الأولية التي تظهر في أي من التفكيكات، بأكبر أس لها.
3) فكك الأعداد:
\(9 = 3^2\)
\(30 = 2 \times 3 \times 5\)
\(45 = 3^2 \times 5\)
لإيجاد PGCD لثلاثة أعداد، خذ فقط العوامل الأولية المشتركة بينها جميعًا، بأصغر أس لها.
1) \(PPCM(18; 42) = 2 \times 3^2 \times 7 = 126\).
\(PPCM(9; 21) = 3^2 \times 7 = 63\).
2) التفكيكات هي: \(18=2 \times 3^2\), \(42=2 \times 3 \times 7\), \(21=3 \times 7\).
\(PPCM(18; 42; 21) = 2^1 \times 3^2 \times 7^1 = 2 \times 9 \times 7 = 126\).
3) التفكيكات هي: \(9=3^2\), \(30=2 \times 3 \times 5\), \(45=3^2 \times 5\).
العامل المشترك الوحيد بين الثلاثة هو 3. أصغر أس له هو 1 (في تفكيك 30).
\(PGCD(9; 30; 45) = 3^1 = 3\).