1) من بين خوارج القسمة التالية، أيها مضبوطة؟
أ) \(213 \div 9\) ب) \(22 \div 7\) ج) \(1029 \div 147\) د) \(212 \div 18\)
2) أ) هل \(125\) من مضاعفات \(25\)؟ علل إجابتك.
ب) هل \(14\) قاسم للعدد \(147\)؟ علل إجابتك.
يكون خارج القسمة "مضبوطًا" عندما يكون باقي القسمة الإقليدية صفرًا. لمعرفة ما إذا كان عدد ما مضاعفًا لآخر، تحقق مما إذا كان الأول يقبل القسمة على الثاني بدون باقٍ.
1) قم بإجراء عمليات القسمة لكل حالة:
2) أ) اقسم 125 على 25. إذا كان الناتج عددًا صحيحًا، فهو مضاعف.
ب) اقسم 147 على 14. إذا كان الناتج عددًا صحيحًا، فإن 14 قاسم له.
1) خارج القسمة المضبوط الوحيد هو: ج) \(1029 \div 147 = 7\) لأن الباقي صفر.
2) أ) نعم، \(125\) من مضاعفات \(25\) لأن \(125 = 25 \times 5\).
ب) لا، \(14\) ليس قاسمًا للعدد \(147\) لأن قسمة \(147\) على \(14\) تعطي \(10\) والباقي \(7\).
1) اكتب المجموعة A للمضاعفات العشرة الأولى للعدد 15.
2) اكتب المجموعة B للمضاعفات العشرة الأولى للعدد 20.
3) ما هي المضاعفات المشتركة بين 15 و 20؟
4) ما هو أصغر مضاعف مشترك غير صفري للعددين 15 و 20؟
لإيجاد مضاعفات عدد، اضربه في الأعداد الصحيحة (0, 1, 2, 3...). المضاعفات المشتركة هي الأعداد التي تظهر في كلتا القائمتين.
1) مضاعفات 15: \(15 \times 0, 15 \times 1, ..., 15 \times 9\)
2) مضاعفات 20: \(20 \times 0, 20 \times 1, ..., 20 \times 9\)
3) قارن بين القائمتين وابحث عن الأعداد المتطابقة.
4) اختر أصغر عدد مشترك وجدته في الخطوة 3 (باستثناء الصفر).
1) \( A = \{0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135\} \)
2) \( B = \{0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180\} \)
3) المضاعفات المشتركة هي: 0, 60, 120.
4) أصغر مضاعف مشترك غير صفري هو: 60.
1) اكتب المجموعة A للمضاعفات الـ 14 الأولى للعدد 10.
2) اكتب المجموعة B للمضاعفات الـ 14 الأولى للعدد 20.
3) اكتب المجموعة C للمضاعفات الـ 14 الأولى للعدد 16.
4) ما هي المضاعفات المشتركة بين 10، 20 و 16؟
5) ما هو أصغر مضاعف مشترك غير صفري للأعداد 10، 20 و 16؟
بنفس طريقة التمرين السابق، قم بإنشاء ثلاث قوائم من المضاعفات. بعد ذلك، ابحث عن العدد الذي يظهر في القوائم الثلاث.
1) اكتب مضاعفات 10 حتى تصل إلى 130 على الأقل.
2) اكتب مضاعفات 20 حتى تصل إلى 130 على الأقل.
3) اكتب مضاعفات 16 حتى تجد عددًا مشتركًا مع القائمتين السابقتين.
4) ابحث عن الأرقام التي تظهر في المجموعات A و B و C.
5) اختر أصغر رقم مشترك غير الصفر.
1) \( A = \{0, 10, ..., 80, ..., 130\} \)
2) \( B = \{0, 20, ..., 80, ..., 260\} \)
3) \( C = \{0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128\} \)
4) المضاعفات المشتركة (ضمن القوائم المحدودة) هي: 0, 80.
5) أصغر مضاعف مشترك غير صفري هو: 80.
1) اكتب المجموعة D لقواسم العدد 30.
2) اكتب المجموعة E لقواسم العدد 12.
3) ما هي القواسم المشتركة بين 30 و 12؟
4) ما هو أكبر قاسم مشترك للعددين 30 و 12؟
لإيجاد قواسم عدد، ابحث عن كل الأعداد الصحيحة التي يمكن قسمته عليها دون باقٍ. ابدأ دائمًا بـ 1 والعدد نفسه.
1) قواسم 30: ابدأ بـ 1. \(30 \div 1 = 30\). إذن 1 و 30 قواسم. ثم جرب 2. \(30 \div 2 = 15\). إذن 2 و 15 قواسم. وهكذا.
2) قواسم 12: بنفس الطريقة، \(12 \div 1 = 12\), \(12 \div 2 = 6\), \(12 \div 3 = 4\).
3) قارن بين قائمتي القواسم.
4) اختر أكبر عدد مشترك في القائمة.
1) \( D = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \)
2) \( E = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \)
3) القواسم المشتركة هي: 1, 2, 3, 6.
4) أكبر قاسم مشترك هو: 6.
1) اكتب المجموعة M لقواسم العدد 45.
2) اكتب المجموعة N لقواسم العدد 63.
3) اكتب المجموعة P لقواسم العدد 27.
4) ما هي القواسم المشتركة بين 45، 63 و 27؟
5) ما هو أكبر قاسم مشترك للأعداد 45، 63 و 27؟ (ملاحظة: السؤال الأصلي ذكر 12 عن طريق الخطأ، تم تصحيحه إلى 27).
استخدم نفس استراتيجية التمرين السابق. لاحظ أن جميع هذه الأعداد فردية، لذا 2 ليس قاسمًا مشتركًا. جرب القسمة على 3، 5، 7، 9...
1) أوجد قواسم 45: \(1, 3, 5, 9, 15, 45\).
2) أوجد قواسم 63: \(1, 3, 7, 9, 21, 63\).
3) أوجد قواسم 27: \(1, 3, 9, 27\).
4) ابحث عن الأعداد الموجودة في القوائم الثلاث.
5) اختر أكبر عدد من القائمة المشتركة.
1) \( M = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} \)
2) \( N = \{1, 3, 7, 9, 21, 63\} \)
3) \( P = \{1, 3, 9, 27\} \)
4) القواسم المشتركة هي: 1, 3, 9.
5) أكبر قاسم مشترك هو: 9.
1) اكتب المجموعة A لقواسم العدد 19.
2) اكتب المجموعة B لقواسم العدد 31.
3) ماذا تلاحظ؟
حاول قسمة 19 و 31 على أعداد أصغر منهما (2, 3, 4...). ماذا تكتشف عن قواسمهما؟
1) ابحث عن قواسم 19. ستجد أن العدد الوحيد الذي يقسمه (باستثناء 1) هو 19 نفسه.
2) ابحث عن قواسم 31. ستجد أيضًا أن العدد الوحيد الذي يقسمه (باستثناء 1) هو 31 نفسه.
3) قارن بين مجموعتي القواسم. لاحظ عدد القواسم في كل مجموعة.
1) \( A = \{1, 19\} \)
2) \( B = \{1, 31\} \)
3) نلاحظ أن كلا العددين لهما قاسمان فقط: 1 ونفسيهما. هذه هي خاصية الأعداد الأولية.