تمرين جديد

تفكيك العدد \( m = 441 \):

441 ÷ 3 = 147

147 ÷ 3 = 49

49 ÷ 7 = 7

7 ÷ 7 = 1

إذن، \( m = 441 = 3^2 \times 7^2 \)

تفكيك العدد \( n = 135 \):

135 ÷ 3 = 45

45 ÷ 3 = 15

15 ÷ 3 = 5

5 ÷ 5 = 1

إذن، \( n = 135 = 3^3 \times 5^1 \)

لدينا من السؤال السابق: \( m = 3^2 \times 7^2 \)

يمكننا كتابة \( m \) كالتالي:

\( m = (3 \times 7)^2 \)

\( m = 21^2 \)

بما أن \( m \) مكتوب على شكل مربع لعدد صحيح طبيعي (21)، إذن \( m \) هو مربع كامل لعدد صحيح طبيعي.

من السؤال 1 أ)، لدينا التفكيكات الأولية:

\( m = 3^2 \times 7^2 \)

\( n = 3^3 \times 5^1 \)

تفكيك \( m \times n \):

\( m \times n = (3^2 \times 7^2) \times (3^3 \times 5^1) \)

نجمع قوى العوامل الأولية المتشابهة:

\( = 3^{2+3} \times 5^1 \times 7^2 \)

\( = 3^5 \times 5^1 \times 7^2 \)

تفكيك \( m^5 \):

\( m^5 = (3^2 \times 7^2)^5 \)

نطبق خاصية القوى \( (a^x)^y = a^{x \times y} \):

\( = 3^{2 \times 5} \times 7^{2 \times 5} \)

\( = 3^{10} \times 7^{10} \)

من التفكيكات الأولية لـ \( m \) و \( n \):

\( m = 3^2 \times 7^2 \)

\( n = 3^3 \times 5^1 \)

حساب ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر) ( \( m \); \( n \) ):

ق.م.أ هو حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة مرفوعة لأصغر أس.

العامل الأولي المشترك الوحيد هو 3.

أصغر أس للعامل 3 بين \(3^2\) و \(3^3\) هو \(3^2\).

\( \text{ق.م.أ}(m, n) = 3^2 = 9 \)

مجموعة القواسم المشتركة لعددين (\( D_n \cap D_m \)) هي نفسها مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر لهذين العددين.

من السؤال I.2.أ)، حسبنا \( \text{ق.م.أ}(m, n) = 9 \).

إيجاد قواسم العدد 9:

• 9 ÷ 1 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 9 ÷ 9 = 1

إذن، مجموعة القواسم المشتركة للعددين \( m \) و \( n \) هي: \( D_n \cap D_m = \{1, 3, 9\} \).

لإيجاد مجموعة قواسم العدد 441، نستخدم تفكيكه الأولي.

من السؤال I.1.أ)، لدينا \( 441 = 3^2 \times 7^2 \).

لحساب عدد القواسم:

عدد القواسم = (أس العامل الأول + 1) × (أس العامل الثاني + 1)

عدد القواسم = \( (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9 \)

إيجاد قائمة القواسم:

نضرب قوى 3 (\(3^0, 3^1, 3^2\)) بقوى 7 (\(7^0, 7^1, 7^2\)).

• \( 3^0 \times 7^0 = 1 \times 1 = 1 \)
• \( 3^1 \times 7^0 = 3 \times 1 = 3 \)
• \( 3^2 \times 7^0 = 9 \times 1 = 9 \)
• \( 3^0 \times 7^1 = 1 \times 7 = 7 \)
• \( 3^1 \times 7^1 = 3 \times 7 = 21 \)
• \( 3^2 \times 7^1 = 9 \times 7 = 63 \)
• \( 3^0 \times 7^2 = 1 \times 49 = 49 \)
• \( 3^1 \times 7^2 = 3 \times 49 = 147 \)
• \( 3^2 \times 7^2 = 9 \times 49 = 441 \)

إذن، \( D_{441} = \{1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441\} \).

المعطيات:

• عدد السياح = 441.
• كل سيارة تحمل نفس العدد من السياح، مما يعني أن عدد السيارات هو قاسم لـ 441.
• عدد السيارات يتكون من رقمين.
• رقم آحاده أولي.
• رقم آحاده قاسم لرقم عشراته.

قواسم العدد 441 ذات الرقمين:

من السؤال II.أ)، قواسم 441 هي: \( \{1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441\} \).

القواسم ذات الرقمين هي: \( 21, 49, 63 \).

اختبار الشروط على القواسم ذات الرقمين:

• العدد 21:
  • رقم آحاده = 1. هل 1 عدد أولي؟ لا. (الشرط غير محقق)
• العدد 49:
  • رقم آحاده = 9. هل 9 عدد أولي؟ لا. (الشرط غير محقق)
• العدد 63:
  • رقم آحاده = 3. هل 3 عدد أولي؟ نعم. (الشرط محقق)
  • رقم عشراته = 6. هل رقم آحاده (3) قاسم لرقم عشراته (6)؟ نعم، لأن 6 ÷ 3 = 2. (الشرط محقق)

بناءً على الشروط، عدد السيارات هو 63 سيارة.