التمرين رقم 3 مع التصحيح

التحليل إلى عوامل أولية، القاسم المشترك الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر

تمارين متنوعة في التحليل والعلاقات العددية والهندسة
1) نعتبر العددين \( a = 2^3 \times 9 \) و \( b = 162 \).
  1. فكك العددين \( a \) و \( b \) إلى جداء عوامل أولية.
    تصحيح السؤال 1.أ
    \( a = 2^3 \times 9 \)
    \( = 2^3 \times 3^2 \)
    \( b = 162 \)
    \( = 2 \times 81 \)
    \( = 2 \times 3^4 \)
  2. بيّن أن الجداء \( a \times b \) هو مربع كامل.
    تصحيح السؤال 1.ب
    \( a \times b = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 3^4) \)
    \( = 2^{3+1} \times 3^{2+4} \)
    \( = 2^4 \times 3^6 \)
    \( = (2^2)^2 \times (3^3)^2 \)
    \( = (2^2 \times 3^3)^2 \)
    \( = (4 \times 27)^2 \)
    \( = 108^2 \)
    إذًا الجداء مربع كامل.
  3. احسب ق.م.أ \( (a, b) \) و م.م.أ \( (a, b) \).
    تصحيح السؤال 1.ج
    لدينا:
    \( a = 2^3 \times 3^2 \)
    \( b = 2^1 \times 3^4 \)
    ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر) هو حاصل ضرب العوامل المشتركة مرفوعة لأصغر أس:
    \( \text{ق.م.أ}(a, b) = 2^{\min(3,1)} \times 3^{\min(2,4)} \)
    \( = 2^1 \times 3^2 \)
    \( = 2 \times 9 \)
    \( = 18 \)
    م.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر) هو حاصل ضرب العوامل المشتركة وغير المشتركة مرفوعة لأكبر أس:
    \( \text{م.م.أ}(a, b) = 2^{\max(3,1)} \times 3^{\max(2,4)} \)
    \( = 2^3 \times 3^4 \)
    \( = 8 \times 81 \)
    \( = 648 \)
2) لتلميذ ورقة مقواة على شكل مستطيل بعداها \( a \) و \( b \) بحساب السنتيمتر. أراد تقسيمها إلى قطع مربعة الشكل ومتقايِسة دون اتلاف أي جزء من الورقة.
أوجد معّللًا جوابك طول ضلع المربع إذا علمت أنه محصور بين 8 و12 سنتيمترًا.
تصحيح السؤال 2
لكي يتم تقسيم الورقة إلى قطع مربعة الشكل ومتقايِسة دون إتلاف أي جزء، يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسمًا مشتركًا لكل من البعدين \( a \) و \( b \).
ولإيجاد أكبر طول ممكن لضلع المربع، نحتاج إلى حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين \( a \) و \( b \).
من السؤال السابق، \( \text{ق.م.أ}(a, b) = 18 \).
لكن المطلوب أن يكون طول ضلع المربع محصورًا بين 8 و 12 سنتيمترًا.
نحتاج الآن إلى إيجاد القواسم المشتركة للعددين \( a \) و \( b \) التي تقع في النطاق المحدد.
قواسم \( \text{ق.م.أ}(a, b) = 18 \) هي أيضاً قواسم مشتركة لـ \( a \) و \( b \).
قواسم 18 هي: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
القاسم الوحيد الذي يقع بين 8 و 12 هو 9.
إذًا، طول ضلع المربع هو 9 سنتيمترات.
3) قامت وزارة الصحة بتقسيم تلاميذ السنوات التاسعة أساسي لعدد من المدارس الإعدادية إلى مجموعات ذات 72 تلميذاً لتقصي الحالات الحاملة لفيروس الكورونا فكانت المجموعة الأخيرة تضم 37 تلميذاً وبعد صدور النتائج كانت عدد الحالات الإيجابية 162 تلميذاً وكانوا من الذين تأهلوا لاجتياز المناظرة للالتحاق إلى المعاهد النموذجية لذلك قامت وزارة التربية بتقسيم كل تلاميذ السنوات التاسعة الذين عبّروا عن رغبتهم في اجتياز المناظرة إلى مجموعات ذات 162 تلميذاً.
تصحيح السؤال 3
لتحديد عدد المجموعات أو الباقي عند التقسيم الثاني، نحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي لتلاميذ السنوات التاسعة.
من المعطيات الأولى:
عدد التلاميذ الكلي \( N \) يمكن كتابته على الصورة:
\( N = 72k + 37 \) حيث \( k \) هو عدد المجموعات الكاملة.
عدد الحالات الإيجابية هو 162 تلميذاً. هؤلاء التلاميذ هم جزء من العدد الكلي \( N \). ولكن النص لا يوضح ما إذا كان هؤلاء الـ 162 تلميذاً هم جميع من يرغب في اجتياز المناظرة، أو جزء منهم.
إذا افترضنا أن الـ 162 تلميذاً هم جميع الذين تأهلوا لاجتياز المناظرة والذين ستقوم وزارة التربية بتقسيمهم، فإن:
عدد المجموعات التي سيتم تشكيلها هو \( \frac{162}{162} = 1 \) مجموعة.
وفي هذه الحالة، لا يوجد أي باقي.
ملاحظة: إذا كان العدد الكلي لتلاميذ التاسعة الراغبين في اجتياز المناظرة غير معلوم، أو إذا كان 162 هو عدد الحالات الإيجابية وليس العدد الكلي للمرشحين للمناظرة، فإن السؤال يحتاج إلى معلومات إضافية ليتم حله بشكل كامل.
بناءً على التفسير الأكثر ترجيحًا للمعطيات المتاحة (أن 162 هو عدد التلاميذ الذين سيتم تقسيمهم في المرحلة الثانية)، فإنهم سيشكلون مجموعة واحدة كاملة بدون باقي.