تمرين رقم 3 - التفكيك والقواسم

دراسة العوامل الأولية والقاسم المشترك الأكبر والتطبيقات الهندسية

1) فكك إلى جداء عوامل أولية العددين 204 و 225
حل السؤال الأول
تفكيك العدد 204:
204 ÷ 2 = 102
102 ÷ 2 = 51
51 ÷ 3 = 17
17 ÷ 17 = 1
\(204 = 2^2 \times 3^1 \times 17^1\)
تفكيك العدد 225:
225 ÷ 3 = 75
75 ÷ 3 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1
\(225 = 3^2 \times 5^2\)
التحقق:
• \(2^2 \times 3^1 \times 17^1 = 4 \times 3 \times 17 = 204\) ✓
• \(3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 225\) ✓
النتائج النهائية:
\(204 = 2^2 \times 3^1 \times 17^1\)
\(225 = 3^2 \times 5^2\)
2) استنتج تفكيكاً لكل من \(204^3\)، \(\sqrt{225}\)، \(204 \times 225\)، 2250000
حل السؤال الثاني
تفكيك \(204^3\):
من النتيجة السابقة: \(204 = 2^2 \times 3^1 \times 17^1\)
204³ = (2² × 3¹ × 17¹)³
= 2⁶ × 3³ × 17³
حساب \(\sqrt{225}\):
من النتيجة السابقة: \(225 = 3^2 \times 5^2\)
√225 = √(3² × 5²)
= 3¹ × 5¹
= 15
تفكيك \(204 \times 225\):
204 × 225 = (2² × 3¹ × 17¹) × (3² × 5²)
= 2² × 3³ × 5² × 17¹
= 4 × 27 × 25 × 17
= 45900
تفكيك 2250000:
نلاحظ أن \(2250000 = 225 \times 10000 = 225 \times 10^4\)
و \(10^4 = (2 \times 5)^4 = 2^4 \times 5^4\)
2250000 = 225 × 10⁴
= (3² × 5²) × (2⁴ × 5⁴)
= 2⁴ × 3² × 5⁶
النتائج النهائية:
\(204^3 = 2^6 \times 3^3 \times 17^3\)
\(\sqrt{225} = 15\)
\(204 \times 225 = 2^2 \times 3^3 \times 5^2 \times 17^1\)
\(2250000 = 2^4 \times 3^2 \times 5^6\)
3) أحسب ق.م.أ (204, 225)
حل السؤال الثالث
التفكيكات:
\(204 = 2^2 \times 3^1 \times 17^1\)
\(225 = 3^2 \times 5^2\)
تحديد العوامل المشتركة:
العوامل الأولية في 204: {2, 3, 17}
العوامل الأولية في 225: {3, 5}
العامل المشترك الوحيد: 3
حساب القاسم المشترك الأكبر:
نأخذ أصغر أس للعوامل المشتركة:
العامل 3: min(1, 2) = 1
PGCD(204, 225) = 3¹ = 3
التحقق:
• \(204 \div 3 = 68\)
• \(225 \div 3 = 75\)
• \(\text{PGCD}(68, 75) = 1\) (أعداد أولية فيما بينها)
النتيجة: \(\text{PGCD}(204, 225) = 3\)
4) حدد D₂₂₅ باستعمال جدول بيتاغور
حل السؤال الرابع
من التفكيك السابق:
\(225 = 3^2 \times 5^2 = 9 \times 25\)
جدول بيتاغور للعدد 225:
× 1 3 5 9 15 25 45 75 225
1 1 3 5 9 15 25 45 75 225
3 3 9 15 27 45 75 135 225 675
5 5 15 25 45 75 125 225 375 1125
9 9 27 45 81 135 225 405 675 2025
15 15 45 75 135 225 375 675 1125 3375
25 25 75 125 225 375 625 1125 1875 5625
استخراج القواسم من الجدول:
القواسم هي الأعداد التي تظهر في تقاطعات الصفوف والأعمدة التي تعطي 225
مجموعة قواسم 225: \(D_{225} = \{1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225\}\)
5) أرض مستطيلة الشكل مساحتها 2025 متر مربع. حدد طول ضلعيها معللاً جوابك
حل السؤال الخامس
تحليل المسألة:
أرض مستطيلة مساحتها = 2025 م²
إذا كان الطول = a والعرض = b، فإن: a × b = 2025
تفكيك العدد 2025:
2025 ÷ 3 = 675
675 ÷ 3 = 225
225 ÷ 3 = 75
75 ÷ 3 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1
\(2025 = 3^4 \times 5^2\)
التحقق من أن 2025 مربع كامل:
جميع الأسس زوجية:
• أس العدد 3: 4 (زوجي) ✓
• أس العدد 5: 2 (زوجي) ✓
إذن 2025 مربع كامل
حساب الجذر التربيعي:
√2025 = √(3⁴ × 5²)
= 3² × 5¹
= 9 × 5
= 45
الحلول الممكنة للأبعاد:
بما أن 2025 = a × b، فإن القيم الممكنة هي قواسم 2025:
• 1 × 2025
• 3 × 675
• 5 × 405
• 9 × 225
• 15 × 135
• 25 × 81
• 27 × 75
• 45 × 45 (مربع)
التبرير:
أفضل حل للأرض المستطيلة هو 45 × 45 لأنه:
• يعطي شكلاً مربعاً (الأكثر اقتصادية في السياج)
• أبعاد معقولة للاستخدام الزراعي
• \(45^2 = 2025\) ✓
الإجابة المثلى: أرض مربعة الشكل 45م × 45م
التبرير: لأن 2025 مربع كامل وجذره 45