فرض مراقبة عدد 4 - تمارين شاملة

التمرين الأول

أتمّم ما يناسب

1) أتمّم ما يناسب:

✓ إذا كان $x = 2^7 \times 11 \times 13$ و $y = 2^2 \times 5^2 \times 11$، فإنّ:

$........... = (y ; x)$ م.أ.م

✓ $........... = (189 ; 130)$ م.أ.م ؛ إذن العددان $130$ و $189$ ...................

✓ إذا كنّ $a$ و $b$ أوّليّان فيما بينهما فإنّ م.أ.م$(a^2; b^3)$ $(ba; a^2)$ م.أ.م و ..... هو ...........

✓ ........................................................... هو نقطة تقاطع الوسطات العموديّة للمثلّث.

2) أكمّل رسم المثلّث $ABC$ حيث $ABC$ مثلّث متقايس الضّلعين

قمّته الرّئيسيّة $A$ و $G$ مركز ثقله و $F$ منتصف الضّلع $[AC]$.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال الأول:

• م.أ.م (PGCD) = حاصل ضرب العوامل المشتركة بأصغر أس

• إذا كان PGCD = 1، فالعددان أوليان فيما بينهما

• لـ $a$ و $b$ أوليان: $PGCD(a^n, b^m) = 1$

للسؤال الثاني:

• المثلث متساوي الساقين: $AB = AC$

• $G$ مركز الثقل: تقاطع الوسيطين

• $F$ منتصف $[AC]$، إذن $(BF)$ وسيط

📝 منهجية الحل

حساب PGCD:

نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس:

$x = 2^7 \times 11 \times 13$

$y = 2^2 \times 5^2 \times 11$

العوامل المشتركة: $2$ (بأس 2) و $11$ (بأس 1)

رسم المثلث:

1. ارسم القاعدة $[BC]$

2. $F$ منتصف $[AC]$

3. $(BF)$ وسيط يمر من $G$

4. $AB = AC$ (متساوي الساقين)

✅ الحل النهائي

1) الإكمال:

• م.أ.م$(x; y)$ = م.أ.م$(2^7 \times 11 \times 13; 2^2 \times 5^2 \times 11)$

$$= 2^2 \times 11 = 4 \times 11 = 44$$

• م.أ.م$(189; 130)$:

$189 = 3^3 \times 7 = 27 \times 7$

$130 = 2 \times 5 \times 13$

لا توجد عوامل مشتركة، إذن م.أ.م = $1$

إذن العددان $130$ و $189$ أوليّان فيما بينهما

• إذا كان $a$ و $b$ أوليان فيما بينهما:

م.أ.م$(a^2; b^3)$ = $1$ و م.أ.م$(ba; a^2)$ = $a$

• نقطة تقاطع الوسطات العمودية = مركز الدائرة المحيطة

2) رسم المثلث:

(يُرسم مثلث متساوي الساقين مع $A$ القمة، $F$ منتصف $[AC]$، و $G$ على $(BF)$ بحيث $BG = \frac{2}{3}BF$)

التمرين الثاني

حسابات وتمارين هندسية

1) احسب كلاً من العبارتين التّاليتين:

$$A = (2476 \times 0,01 - 13,7) + (52,4 - 0,024 \times 10^3)$$

$$B = 43,2 \times 23 + 21,6 \times 10 + 43,2 \times 72$$

2) أوجد العدد العشريّ $x$ في كلّ حالة من الحالتين التّاليتين:

$$(x + 545,76) - 231,5 = 765,26$$

$$(2345 - x) - 723,87 = 1000,13$$

3) نعتبر الرّسم التّالي:

أ) حدّد إحداثيّات النّقاط $A$ و $B$ و $C$

و $D$ و $I$ و $J$

ب) ارسم المثلّث $A'B'C'$ مناظر المثلّث $ABC$ بالنّسبة إلى المستقيم $(OI)$.

ج) حدّد إحداثيّات النّقاط $A'$ و $B'$ و $C'$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للحسابات:

• احسب ما بين الأقواس أولاً

• $0,024 \times 10^3 = 24$

• في $B$: استخرج $43,2$ كعامل مشترك

لإيجاد $x$:

• انقل جميع الحدود إلى طرف واحد

• احسب العمليات خطوة بخطوة

للتماثل:

• التماثل بالنسبة لـ $(OI)$: $(x, y) \to (x, -y)$

• الفاصلة تبقى نفسها، الترتيبة تتغير إشارتها

📝 منهجية الحل

السؤال 1 - الحسابات:

لـ $A$: احسب كل قوس على حدة:

القوس الأول: $2476 \times 0,01 = 24,76$

$24,76 - 13,7 = 11,06$

القوس الثاني: $0,024 \times 10^3 = 24$

$52,4 - 24 = 28,4$

لـ $B$: استخرج العامل المشترك $43,2$

السؤال 2 - إيجاد $x$:

نحل المعادلة خطوة بخطوة

السؤال 3 - التماثل:

اقرأ الإحداثيات من الشكل، ثم طبق قاعدة التماثل

✅ الحل النهائي

1) الحسابات:

حساب $A$:

$$A = (2476 \times 0,01 - 13,7) + (52,4 - 0,024 \times 10^3)$$

$$= (24,76 - 13,7) + (52,4 - 24)$$

$$= 11,06 + 28,4 = 39,46$$

حساب $B$:

$$B = 43,2 \times 23 + 21,6 \times 10 + 43,2 \times 72$$

$$= 43,2 \times 23 + 43,2 \times 5 + 43,2 \times 72$$

(لأن $21,6 \times 10 = 216 = 43,2 \times 5$)

$$= 43,2 \times (23 + 5 + 72) = 43,2 \times 100 = 4320$$

2) إيجاد $x$:

المعادلة الأولى:

$$(x + 545,76) - 231,5 = 765,26$$

$$x + 545,76 = 765,26 + 231,5 = 996,76$$

$$x = 996,76 - 545,76 = 451$$

المعادلة الثانية:

$$(2345 - x) - 723,87 = 1000,13$$

$$2345 - x = 1000,13 + 723,87 = 1724$$

$$x = 2345 - 1724 = 621$$

3) الرسم والإحداثيات:

أ) من الشكل (افتراضي):

• $A(4, 6)$

• $B(7, -1)$

• $C(-5, -1)$

• $D(-3, 3)$

• $I(1, 0)$

• $J(0, 1)$

ب) التماثل بالنسبة لـ $(OI)$:

$(OI)$ هو محور الأفاصيل، التماثل: $(x, y) \to (x, -y)$

ج) إحداثيات النقاط المتماثلة:

• $A'(4, -6)$

• $B'(7, 1)$

• $C'(-5, 1)$

التمرين الثالث

رسم تعيين في المستوى (OI) محور الفاصلات و (OJ) محور الترّتيبات و (OI) و (OJ) متعامدان

1) اكتب إحداثيّات النّقاط: $A(.......;.......)$ و $B(.......;.......)$ و $C(.......;.......)$

2) ابن $E$ مناظرة $A$ بالنّسبة إلى محور الفاصلات $(OI)$، اكتب إحداثيّات $E(.......;.......)$

3)

أ) تحقّق من أنّ $B$ منتصف $[AE]$

ب) ما هي طبيعة كلّ من المثلّثين $ABC$ و $EBC$

4) عيّن $M$ منتصف $[CA]$ و $N$ منتصف $[CE]$. ثمّ اكتب إحداثيّات $M$ و $N$ بقراءة من الشّكل.

أ) بيّن أنّ المثلّث $ACE$ متقايس الضّلعين.

ب) عيّن $G$ نقطة تقاطع $[CB]$ و $[EM]$. ماذا تمثّل النّقطة $G$ للمثلّث $ACE$ ؟ على جوابك.

ج) استنتج أنّ النّقاط $A$ و $G$ و $N$ على استقامة واحدة.

5) ابن $K$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(CE)$. وعيّن $H$ نقطة تقاطع $(AK)$ و $(BC)$.

بيّن أنّ $(EH)$ و $(AC)$ متعامدان.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للإحداثيات:

اقرأ من الشكل: النقطة $A$ حوالي $(4, 3.5)$ و $B$ حوالي $(5, 0.5)$ و $C$ حوالي $(-3, 0.5)$

للتماثل:

التماثل بالنسبة لـ $(OI)$: الترتيبة تتغير إشارتها

للمنتصف:

إحداثيات المنتصف: $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

لمركز الثقل:

تقاطع وسيطي المثلث

📝 منهجية الحل

السؤال 1: قراءة الإحداثيات من الرسم

السؤال 2: تطبيق قاعدة التماثل

السؤال 3:

• للتحقق من المنتصف: حساب إحداثيات منتصف $[AE]$

• لطبيعة المثلث: حساب الأطوال

السؤال 4:

• حساب إحداثيات $M$ و $N$

• $G$ مركز الثقل إذا كان على وسيطين

السؤال 5: استخدام خاصية المركز القائم

✅ الحل النهائي

1) إحداثيات النقاط (من الشكل):

• $A(4, 3.5)$ أو قريب من ذلك

• $B(5, 0.5)$

• $C(-3, 0.5)$

(يجب قراءة القيم الدقيقة من الشكل المعطى)

2) إحداثيات $E$:

$E$ مناظرة $A(4, 3.5)$ بالنسبة لـ $(OI)$

التماثل: $(x, y) \to (x, -y)$

$E(4, -3.5)$

3.أ) التحقق من أن $B$ منتصف $[AE]$:

منتصف $[AE]$:

$$\left(\frac{4+4}{2}, \frac{3.5+(-3.5)}{2}\right) = (4, 0)$$

لكن $B(5, 0.5)$... يبدو أن هناك خطأ في قراءة الإحداثيات

دعنا نفترض $A$ و $B$ بإحداثيات تحقق الشرط

(الحل يعتمد على الإحداثيات الدقيقة من الشكل)

3.ب) طبيعة المثلثات:

• المثلث $ABC$: نحسب الأطوال على المحاور

• المثلث $EBC$: نحسب الأطوال

4) المنتصفات ومركز الثقل:

• $M$ منتصف $[CA]$: $M\left(\frac{-3+4}{2}, \frac{0.5+3.5}{2}\right) = M(0.5, 2)$

• $N$ منتصف $[CE]$: حساب مماثل

4.أ) المثلث $ACE$ متساوي الساقين:

$CA$ و $CE$ متساويان بسبب التماثل

4.ب) $G$ مركز ثقل:

$G$ على تقاطع $(CB)$ و $(EM)$ وهما وسيطان

إذن $G$ مركز ثقل المثلث $ACE$

5) التعامد:

بخواص المركز القائم، يمكن إثبات $(EH) \perp (AC)$

التمرين الرابع

$(O, I, J)$ معيّناً متعامداً حيث: $OI = OJ = 1cm$

عيّن النّقطة $A(-5, 3)$ و $B$ مناظرة $A$ بالنّسبة إلى محور الفاصلات $(OI)$.

أ) أتمّم الجدول التّالي:

النّقطة	$O$	$I$	$J$	$B$
إحداثيّاتها

ب) بيّن أنّ: $IA = IB$

ج) ليكن $F$ مناظرة النّقطة $A$ بالنّسبة إلى $(OJ)$.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للتماثل بالنسبة لـ $(OI)$:

الفاصلة تبقى نفسها، الترتيبة تتغير إشارتها

$(x, y) \to (x, -y)$

لإثبات $IA = IB$:

احسب المسافات على المحاور

$I(1, 0)$، $A(-5, 3)$، $B(-5, -3)$

📝 منهجية الحل

السؤال أ:

• $O(0, 0)$ الأصل

• $I(1, 0)$ على محور الأفاصيل

• $J(0, 1)$ على محور التراتيب

• $B$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $(OI)$

السؤال ب:

حساب المسافات العمودية

✅ الحل النهائي

أ) إتمام الجدول:

النّقطة	$O$	$I$	$J$	$B$
إحداثيّاتها	$(0, 0)$	$(1, 0)$	$(0, 1)$	$(-5, -3)$

ب) إثبات $IA = IB$:

• $I(1, 0)$، $A(-5, 3)$، $B(-5, -3)$

حساب $IA$:

المسافة الأفقية: $|(-5) - 1| = |-6| = 6$

المسافة العمودية: $|3 - 0| = 3$

لا يمكن استخدام فيثاغورس، لكن يمكن ملاحظة أن $A$ و $B$ متماثلتان بالنسبة لـ $(OI)$

و $I$ على $(OI)$، إذن $IA = IB$ (خاصية الوسيط العمودي)

$IA = IB$ ✓

ج) التماثل بالنسبة لـ $(OJ)$:

$F$ مناظرة $A(-5, 3)$ بالنسبة لـ $(OJ)$

التماثل: $(x, y) \to (-x, y)$

$F(5, 3)$

دليل شامل - فرض مراقبة عدد 4

📐 المعلم المتعامد

🎯 المراكز الهندسية

⚠️ تذكير مهم

فرض مراقبة عدد 4 (نموذج 1)

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي