تدريج مستقيم بواسطة الأعداد العشريّة النّسبيّة

المستقيم المدرج الفواصل المقابل والمنتصف

التمرين 1

وضع نقاط على مستقيم مدرج

$\Delta$ مستقيم مدرّج بالمعلم $(O, I)$ حيث $OI = 2cm$. تُعيّن:

1) النّقاط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ الّتي فواصلها على التّوالي:

$$-2 \quad , \quad -4.5 \quad , \quad -1.5 \quad , \quad 4$$

2) ثمّ النّقطة $E$ الّتي فاصلتها مقابل فاصلة $C$.

3) أتمّم الجدول التّالي:

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$O$	$E$	$I$
فاصلتها

ب) رتّب تنازليّاً فواصلات النّقاط المذكورة.

ج) إذا كانت $O$ النّقطة الواحديّة و $A$ النّقطة أصل التّدريج، أتمّم الجدول التّالي:

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$O$	$E$	$I$
فاصلتها

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1 - وضع النقاط:

• وحدة التدريج $OI = 2cm$، أي كل وحدة = $2cm$

• النقاط ذات الفواصل السالبة توضع على يسار $O$

• النقاط ذات الفواصل الموجبة توضع على يمين $O$

مثال:

• $A$ فاصلته $-2$، إذن يبعد $2 \times 2cm = 4cm$ على يسار $O$

• $D$ فاصلته $4$، إذن يبعد $4 \times 2cm = 8cm$ على يمين $O$

للسؤال 2 - المقابل:

مقابل العدد هو نفس العدد بإشارة مختلفة

إذا كانت فاصلة $C$ هي $-1.5$، فإن مقابلها هو...؟

للسؤال 3.ب - الترتيب التنازلي:

من الأكبر إلى الأصغر

تذكر: $-2 > -4.5$ (السالب الأقل قيمة مطلقة هو الأكبر)

للسؤال 3.ج - تغيير الأصل:

إذا أصبح $A$ هو الأصل بدلاً من $O$:

• فاصلة $A$ الجديدة = $0$

• فاصلة $O$ الجديدة = $2$ (لأن $O$ يبعد $2$ وحدة على يمين $A$ في التدريج الأصلي)

• لكل نقطة: الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $-$ ($-2$) = الفاصلة القديمة $+ 2$

📝 منهجية الحل

السؤال 1: وضع النقاط

الخطوة 1: حساب المسافات من $O$

وحدة التدريج = $2cm$

• النقطة $A$ (فاصلة $-2$):

المسافة من $O$ = $|(-2) - 0| \times 2cm = 2 \times 2cm = 4cm$ على يسار $O$

• النقطة $B$ (فاصلة $-4.5$):

المسافة من $O$ = $|(-4.5) - 0| \times 2cm = 4.5 \times 2cm = 9cm$ على يسار $O$

• النقطة $C$ (فاصلة $-1.5$):

المسافة من $O$ = $|(-1.5) - 0| \times 2cm = 1.5 \times 2cm = 3cm$ على يسار $O$

• النقطة $D$ (فاصلة $4$):

المسافة من $O$ = $|4 - 0| \times 2cm = 4 \times 2cm = 8cm$ على يمين $O$

السؤال 2: النقطة $E$

فاصلة $C$ = $-1.5$

مقابل $-1.5$ = $1.5$

إذن فاصلة $E$ = $1.5$

السؤال 3.أ: إتمام الجدول الأول

في التدريج بأصل $O$ ونقطة واحدية $I$:

• فاصلة $O$ = $0$

• فاصلة $I$ = $1$

السؤال 3.ب: الترتيب التنازلي

نرتب الأعداد: $-4.5$، $-2$، $-1.5$، $0$، $1$، $1.5$، $4$

من الأكبر إلى الأصغر (تنازلياً)

السؤال 3.ج: تغيير المعلم

الأصل الجديد: $A$ (كان فاصلته $-2$)

النقطة الواحدية الجديدة: $O$ (كانت فاصلته $0$)

لحساب الفواصل الجديدة:

الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $- (-2)$ = الفاصلة القديمة $+ 2$

✅ الحل النهائي

1) وضع النقاط على المستقيم المدرج:

بما أن $OI = 2cm$، فإن:

• النقطة $A$ (فاصلة $-2$): تبعد $4cm$ على يسار $O$

• النقطة $B$ (فاصلة $-4.5$): تبعد $9cm$ على يسار $O$

• النقطة $C$ (فاصلة $-1.5$): تبعد $3cm$ على يسار $O$

• النقطة $D$ (فاصلة $4$): تبعد $8cm$ على يمين $O$

2) النقطة $E$ (مقابل $C$):

فاصلة $C$ = $-1.5$

مقابل $-1.5$ = $+1.5$

إذن فاصلة $E$ = $1.5$ ✓

تبعد $3cm$ على يمين $O$

3.أ) إتمام الجدول الأول:

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$O$	$E$	$I$
فاصلتها	$-2$	$-4.5$	$-1.5$	$4$	$0$	$1.5$	$1$

3.ب) الترتيب التنازلي للفواصل:

$$4 > 1.5 > 1 > 0 > -1.5 > -2 > -4.5$$

أو بالنقاط:

$$D > E > I > O > C > A > B$$

3.ج) الجدول مع تغيير المعلم ($A$ أصل، $O$ نقطة واحدية):

الحساب:

في المعلم الجديد، $A$ هو الأصل (فاصلته $0$)

المسافة بين $A$ و $O$ في المعلم القديم:

$$AO = |0 - (-2)| = 2 \text{ وحدة}$$

إذن في المعلم الجديد، $O$ فاصلته $2$

لكل نقطة، نضيف $2$ إلى الفاصلة القديمة:

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$O$	$E$	$I$
الفاصلة القديمة	$-2$	$-4.5$	$-1.5$	$4$	$0$	$1.5$	$1$
الفاصلة الجديدة	$0$	$-2.5$	$0.5$	$6$	$2$	$3.5$	$3$

التحقق:

المسافة بين $A$ (الأصل الجديد) و $O$ (النقطة الواحدية الجديدة):

$$|2 - 0| = 2 \text{ وحدة}$$

وهذا صحيح! ✓

التمرين 2

المنتصف والفواصل

تأمّل الرّسم التّالي حيث $\Delta$ مستقيم مدرّج بالمعلم $(O, I)$

1) أتمّم الجدول التّالي:

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$O$	$I$
فاصلتها

2) عيّن النّقطة $F$ منتصف القطعة $[BO]$ واستنتج فاصلتها.

3) أوجد فواصلات النّقاط المذكورة إذا كانت النّقطة $A$ أصل التّدريج و النّقطة $E$ أصل التّدريج.

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$O$	$I$
فاصلتها

4) اذكر أصغر عدد صحيح نسبي أكبر من $(-3)$.

اذكر أكبر عدد صحيح نسبي أصغر من $(-10)$.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1 - قراءة الرسم:

من الرسم، حدد موقع كل نقطة بالنسبة لـ $O$ و $I$

عد الوحدات من $O$ إلى كل نقطة

انتبه للاتجاه: يسار $O$ = سالب، يمين $O$ = موجب

للسؤال 2 - المنتصف:

$F$ منتصف $[BO]$، إذن:

$$x_F = \frac{x_B + x_O}{2}$$

من الرسم، استنتج $x_B$ أولاً

للسؤال 3 - تغيير الأصل:

عندما يتغير الأصل، تتغير جميع الفواصل

إذا كان $A$ هو الأصل الجديد:

الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $-$ (فاصلة $A$ القديمة)

للسؤال 4 - الأعداد الصحيحة:

• أصغر عدد صحيح أكبر من $-3$ هو...؟ ($-2$ أم $-3$؟)

• أكبر عدد صحيح أصغر من $-10$ هو...؟ ($-11$ أم $-9$؟)

تذكر: $-2 > -3 > -4 > ...$

📝 منهجية الحل

السؤال 1: قراءة الفواصل من الرسم

الخطوة 1: تحديد موقع كل نقطة

من الرسم المعطى (يُفترض وجوده):

نقرأ الفواصل مباشرة من المستقيم المدرج

مثال:

إذا كانت $A$ على بعد $4$ وحدات على يسار $O$، فإن $x_A = -4$

إذا كانت $D$ على بعد $5$ وحدات على يمين $O$، فإن $x_D = 5$

السؤال 2: حساب فاصلة المنتصف

الخطوة 1: تحديد فاصلتي $B$ و $O$

من الرسم: $x_B = ...$ و $x_O = 0$

الخطوة 2: تطبيق صيغة المنتصف

$$x_F = \frac{x_B + x_O}{2} = \frac{x_B + 0}{2} = \frac{x_B}{2}$$

السؤال 3: تغيير المعلم

حالة 1: $A$ أصل التدريج

الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $- x_A$

حالة 2: $E$ أصل التدريج

الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $- x_E$

السؤال 4: الأعداد الصحيحة القريبة

أصغر عدد صحيح أكبر من $-3$:

الأعداد الأكبر من $-3$: $-2$، $-1$، $0$، $1$، ...

أصغرها هو $-2$

أكبر عدد صحيح أصغر من $-10$:

الأعداد الأصغر من $-10$: $-11$، $-12$، $-13$، ...

أكبرها هو $-11$

✅ الحل النهائي

ملاحظة: بما أن الرسم غير مرئي بوضوح في الصورة، سأفترض مواقع نموذجية للنقاط. يجب قراءة الفواصل الفعلية من الرسم المعطى.

1) إتمام الجدول (فرضية):

افترضنا من الرسم أن:

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$O$	$I$
فاصلتها	$-4$	$-2$	$2$	$5$	$7$	$0$	$1$

2) فاصلة النقطة $F$ (منتصف $[BO]$):

بما أن $F$ منتصف $[BO]$:

$$x_F = \frac{x_B + x_O}{2} = \frac{-2 + 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

إذن فاصلة $F$ هي $-1$ ✓

3) الفواصل مع تغيير الأصل:

حالة أ: $A$ أصل التدريج

فاصلة $A$ الأصلية = $-4$

الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $-$ ($-4$) = الفاصلة القديمة $+ 4$

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$O$	$I$
فاصلتها	$0$	$2$	$6$	$9$	$11$	$4$	$5$

حالة ب: $E$ أصل التدريج

فاصلة $E$ الأصلية = $7$

الفاصلة الجديدة = الفاصلة القديمة $- 7$

النّقطة	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$O$	$I$
فاصلتها	$-11$	$-9$	$-5$	$-2$	$0$	$-7$	$-6$

4) الأعداد الصحيحة القريبة:

أصغر عدد صحيح نسبي أكبر من $(-3)$:

الأعداد الصحيحة الأكبر من $-3$ هي: $-2$، $-1$، $0$، $1$، $2$، ...

أصغرها هو $-2$ ✓

أكبر عدد صحيح نسبي أصغر من $(-10)$:

الأعداد الصحيحة الأصغر من $-10$ هي: $-11$، $-12$، $-13$، ...

أكبرها هو $-11$ ✓

ملاحظة:

• $-2 > -3$ لأن $-2$ أقرب إلى الصفر

• $-11 < -10$ و $-11$ هو أقرب عدد صحيح أصغر من $-10$

التمرين 3

ترتيب وتصنيف الأعداد العشرية

لتكن المجموعة $A$ التّالية حيث:

$$A = \left\{(-3.5), 0, (-7.5), \frac{-111}{3}, \frac{2075}{25}, (-811), \frac{-2228}{4}, (-31)\times\frac{-171}{9}\right\}$$

1) رتّب تنازليّاً عناصر المجموعة $A$.

2) أتمّم الجدول التّالي:

الأعداد العشريّة الموجبة	الأعداد العشريّة النّسبيّة السّالبة	الأعداد الصحيحة النّسبيّة

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1 - الترتيب التنازلي:

قبل الترتيب، يجب تبسيط جميع الأعداد إلى شكل عشري

التبسيطات المطلوبة:

• $\frac{-111}{3} = ?$ (قسمة)

• $\frac{2075}{25} = ?$ (قسمة)

• $\frac{-2228}{4} = ?$ (قسمة)

• $(-31) \times \frac{-171}{9} = ?$ (ضرب عددين سالبين = موجب)

للترتيب:

• الأعداد الموجبة أكبر من الصفر

• الصفر أكبر من الأعداد السالبة

• بين الأعداد السالبة: الأقل قيمة مطلقة هو الأكبر

مثال: $-3 > -7$ لأن $|-3| < |-7|$

للسؤال 2 - التصنيف:

• عدد عشري موجب: عدد > 0 وليس صحيحاً

• عدد عشري سالب: عدد < 0 وليس صحيحاً

• عدد صحيح: عدد بدون فاصلة (مثل $-811$، $0$، $83$...)

• انتبه: العدد الصحيح قد يكون موجباً أو سالباً

📝 منهجية الحل

السؤال 1: الترتيب التنازلي

الخطوة 1: تبسيط جميع عناصر المجموعة

• $(-3.5)$ : جاهز

• $0$ : جاهز

• $(-7.5)$ : جاهز

• $\frac{-111}{3}$ : نقسم $-111 \div 3$

• $\frac{2075}{25}$ : نقسم $2075 \div 25$

• $(-811)$ : جاهز

• $\frac{-2228}{4}$ : نقسم $-2228 \div 4$

• $(-31) \times \frac{-171}{9}$ : نحسب الضرب (سالب × سالب = موجب)

الخطوة 2: ترتيب الأعداد

بعد التبسيط، نرتب من الأكبر إلى الأصغر

السؤال 2: التصنيف

الخطوة 1: تحديد نوع كل عدد

• هل هو موجب أم سالب؟

• هل هو صحيح أم عشري؟

الخطوة 2: وضع كل عدد في العمود المناسب

• عدد صحيح موجب → يدخل في الأعداد الصحيحة فقط

• عدد عشري موجب → الأعداد العشرية الموجبة فقط

• الصفر → عدد صحيح (لا موجب ولا سالب)

✅ الحل النهائي

التبسيطات الأولية:

• $(-3.5) = -3.5$

• $0 = 0$

• $(-7.5) = -7.5$

• $\frac{-111}{3}$:

$$\frac{-111}{3} = -37$$

• $\frac{2075}{25}$:

$$\frac{2075}{25} = 83$$

• $(-811) = -811$

• $\frac{-2228}{4}$:

$$\frac{-2228}{4} = -557$$

• $(-31) \times \frac{-171}{9}$:

$$(-31) \times \frac{-171}{9} = 31 \times \frac{171}{9} = 31 \times 19 = 589$$

(لأن $\frac{171}{9} = 19$ و سالب × سالب = موجب)

المجموعة بعد التبسيط:

$$A = \{-3.5, 0, -7.5, -37, 83, -811, -557, 589\}$$

1) الترتيب التنازلي (من الأكبر إلى الأصغر):

نرتب الأعداد:

$$589 > 83 > 0 > -3.5 > -7.5 > -37 > -557 > -811$$

التحقق:

• الأعداد الموجبة: $589$ و $83$ (الأكبر أولاً)

• الصفر

• الأعداد السالبة: من الأقل سلبية إلى الأكثر سلبية

$-3.5 > -7.5 > -37 > -557 > -811$ ✓

2) التصنيف في الجدول:

الأعداد العشريّة الموجبة	الأعداد العشريّة النّسبيّة السّالبة	الأعداد الصحيحة النّسبيّة
(لا يوجد) ملاحظة: $83$ و $589$ صحيحان وليسا عشريين	$-3.5$ $-7.5$	$589$ $83$ $0$ $-37$ $-557$ $-811$

التوضيح:

• الأعداد العشرية الموجبة: لا يوجد في المجموعة، لأن $83$ و $589$ صحيحان

• الأعداد العشرية السالبة: $-3.5$ و $-7.5$ فقط

• الأعداد الصحيحة: جميع الأعداد الأخرى (بدون فاصلة)

$589$، $83$، $0$، $-37$، $-557$، $-811$

دليل شامل للأعداد العشرية والتدريج

📏 المستقيم المدرج

🔢 فاصلة نقطة

↔️ المقابل والمنتصف

📊 المسافة بين نقطتين

⚠️ أخطاء شائعة

تدريج مستقيم بواسطة الأعداد العشريّة النّسبيّة

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي