العمليات على الأعداد الصحيحة الطبيعية \(\mathbb{N}\)

منهجية البرهان الرياضي لمستوى السابعة أساسي

كيف أبين أن عددًا مجهولًا في عملية جمع يمكن إيجاده بالطرح ؟

1 الفكرة الأساسية
عملية الجمع هي عملية عكسية لعملية الطرح. إذا علمنا المجموع وأحد الحدين، يمكننا دائماً معرفة الحد الآخر.
2 التفسير الرياضي
نعتمد هنا على تعريف عملية الطرح في \(\mathbb{N}\). البحث عن حد مجهول يعني طرح الحد المعلوم من النتيجة الإجمالية للمجموع.
3 البرهان خطوة بخطوة
1. بما أن لدينا مساواة بين مجموع عددين ونتيجة معلومة.
2. إذن المجهول يمثل الفارق بين المجموع الكلي والحد الموجود.
3. نستنتج أن المجهول يساوي المجموع ناقص المعلوم.
4 مثال عددي واضح
لنبحث عن العدد \(x\) حيث: \(x + 25 = 100\)
الحل: \(x = 100 - 25 = 75\)
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[a + c = b \Rightarrow c = b - a\]

كيف أبين أن الفرق لا يتغير إذا أضفنا نفس العدد إلى الحدين ؟

1 الفكرة الأساسية
تسمى هذه "خاصية ثبات الفرق". إذا زدنا نفس القيمة لكل من العددين، فإن المسافة بينهما تبقى ثابتة.
2 التفسير الرياضي
الإضافة المتساوية للحدين "المطروح منه" و "المطروح" تعوض بعضها البعض في النتيجة النهائية.
3 البرهان خطوة بخطوة
1. ليكن الفرق الأصلي هو \(a - b\).
2. بما أننا أضفنا \(c\) لكليهما، تصبح العملية \((a+c) - (b+c)\).
3. نستنتج أن الزيادة في الطرف الأول ألغيت بالزيادة في الطرف الثاني، فيبقى الفرق \(a - b\).
4 مثال عددي واضح
الفرق بين \(15\) و \(10\) هو \(5\).
إذا أضفنا \(2\) للطرفين: \((15+2) - (10+2) = 17 - 12 = 5\).
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[(a + c) - (b + c) = a - b\]

كيف أبين أن الفرق لا يتغير إذا طرحنا نفس العدد من الحدين ؟

1 الفكرة الأساسية
كما في الإضافة، النقصان المتساوي من الطرفين لا يغير الفجوة بينهما.
2 التفسير الرياضي
طرح نفس القيمة من الحدين يحافظ على التوازن، بشرط أن يكون الطرح ممكناً في \(\mathbb{N}\).
3 البرهان خطوة بخطوة
1. بما أننا أنقصنا \(c\) من الحد الأول \(a\).
2. وإذا أنقصنا نفس المقدار \(c\) من الحد الثاني \(b\).
3. إذن الفرق الجديد هو نفسه الفرق القديم.
4 مثال عددي واضح
نأخذ \(100 - 40 = 60\).
نطرح \(10\) من الطرفين: \((100-10) - (40-10) = 90 - 30 = 60\).
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[(a - c) - (b - c) = a - b\]

كيف أبين أن مجموع عددين لا يتغير إذا أضفنا عددًا إلى أحدهما وطرحناه من الآخر ؟

1 الفكرة الأساسية
تسمى "خاصية التعويض". ما نربحه في جهة نخسره في الجهة الأخرى، فيبقى المجموع الكلي ثابتاً.
2 التفسير الرياضي
توزيع القيم داخل المجموع لا يغير النتيجة. نقل قيمة من حد إلى آخر عملية متوازنة.
3 البرهان خطوة بخطوة
1. بما أن المجموع هو \(a + b\).
2. إذن \((a + c) + (b - c) = a + b + c - c\).
3. نستنتج أن \(c - c = 0\)، فيعود المجموع إلى أصله \(a + b\).
4 مثال عددي واضح
لدينا \(12 + 8 = 20\).
نضيف \(2\) لـ \(12\) ونطرح \(2\) من \(8\): \((12+2) + (8-2) = 14 + 6 = 20\).
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[(a + c) + (b - c) = a + b\]

كيف أبين طريقة طرح مجموع عددين من عدد ثالث ؟

1 الفكرة الأساسية
طرح "حزمة" من الأعداد يعني طرح كل عدد منها بالتتالي.
2 التفسير الرياضي
تسمى هذه الخاصية "طرح مجموع من عدد". إزالة المجموع \(b+c\) من \(a\) تعادل إزالة \(b\) أولاً ثم إزالة \(c\).
3 البرهان خطوة بخطوة
1. بما أننا نريد طرح الكتلة \((b+c)\) من \(a\).
2. إذن يمكننا فتح القوسين وتحويل الجمع داخل القوس إلى طرح متتالي.
3. نستنتج أن \(a - (b+c) = (a-b) - c\).
4 مثال عددي واضح
\(50 - (10 + 5) = 50 - 15 = 35\).
بالتفكيك: \((50 - 10) - 5 = 40 - 5 = 35\).
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[a - (b + c) = (a - b) - c\]

كيف أبين خاصية التبديل في الجمع ؟

1 الفكرة الأساسية
ترتيب الأعداد في عملية الجمع لا يغير النتيجة النهائية.
2 التفسير الرياضي
الجمع عملية تبديلية في \(\mathbb{N}\)، أي أن البدء بالعدد الأول أو الثاني يعطي دائماً نفس الحصيلة.
3 البرهان خطوة بخطوة
1. بما أن الجمع يمثل تجميعاً لمجموعتين.
2. وإذا قمنا بقلب وضعية المجموعتين.
3. نستنتج أن النتيجة \(a+b\) هي نفسها \(b+a\).
4 مثال عددي واضح
\(365 + 100 = 465\)
\(100 + 365 = 465\)
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[a + b = b + a\]

كيف أبين خاصية التجميع في الجمع ؟

1 الفكرة الأساسية
عند جمع ثلاثة أعداد أو أكثر، لا يهم بأي عددين نبدأ.
2 التفسير الرياضي
تغيير مكان الأقواس في سلسلة من عمليات الجمع لا يغير المجموع.
3 البرهان خطوة بخطوة
1. بما أن لدينا ثلاثة أعداد \(a\) و \(b\) و \(c\).
2. إذن \((a+b)+c\) تعني جمع الأول والثاني ثم الثالث.
3. نستنتج أن هذا يساوي \(a+(b+c)\) أي ترك الأول وجمع الثاني مع الثالث أولاً.
4 مثال عددي واضح
\((12 + 5) + 3 = 17 + 3 = 20\)
\(12 + (5 + 3) = 12 + 8 = 20\)
5 الصيغة الرياضية النهائية
\[a + (b + c) = (a + b) + c\]
🌐 Devoirati.net 🌐
📘 صفحة تربوية — كيف أبين ؟
🔢 العمليات على الأعداد الصحيحة الطبيعية \(\mathbb{N}\)